Методика решения задач, связные с понятиями «концентрация » и « процентное содержания »

3.2 Методика решения задач, связные с понятиями «концентрация » и « процентное содержания »

Рассматривая задачи на проценты нужно обратить внимание на задачи где нужно составлять уравнения, остановимся, прежде всего, на задачах, решение которых связано с использованием понятий « концентрация » и « процентное содержания ». Обычно в условиях таких задач речь идет о составлений сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.

Основное допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

A) все получающиеся сплавы или смеси однородные;

B) при слиянии двух растворов, имеющих объемы V1 и V2 , получается смесь, объем которой равен V1 + V2, т.е.

V0 = V1 + V2.

Заметим, что такое допущение не представляет собой закон физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при слиянии двух растворов не объем, а масса или вес смеси равняется сумме масс или весов составляющих ее компонент.

Рассмотрим для определенности смесь трех компонент А, В и С. объем смеси Vo складывается из объемов чистых компонент:

V0 = VA + VB + VC ,

а три отношения:

CA = VA/V0 , CB = VB/V0 , CC = VC/V0.

показывают, какую долю полного объема смеси составляют объемы отдельных компонент:

VA = CA * V0 , VB = CB * V0 , VC = CC * V0.

Отношение объема чистой компоненты ( VA ) а растворе ко всему объему смеси ( V0 ).

CA = VA/V0 = VA/( VA + VB+ VC ) (*)

называется объемной концентрацией этой компоненты.

Концентрация – это безразмерные величины; сумма концентрации всех компонент, составляющих смесь очевидно, равна единицы:

CA + CB + CC = 1.

Поэтому, для того чтобы структура раствора, состоящего из n компонент, была определена, достаточно

Vo

СМЕСЬ А : В : С

VA = CA * V0

VC = CC * V0

VB = CB * V0

Рис. 1.

знать концентрацию ( n – 1 ) – й компоненты. Если известны концентрации CA, CB и CC компоненты, составляющих данную смесь, то ее объем можно разделить на объемы отдельных компонент ( рис. 1 ):

V0 =CA * V0 + CB * V0 + CC * V0 .

( 1 )

Объемным процентным содержанием компоненты А называется величина

PA = CA * 100% ,

т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.

Если известно процентное содержание вещества А, то его концентрация находится по формуле

CA = PA / 100 .

Так, например, если процентное содержание составляет 70%, то
соответствующая концентрация равна 0,7. Процентному
содержанию 10% соответствует концентрация 0,1 и т.д.

Таким же способом определяются и весовые ( массовые )
концентрация и процентное содержание, а именно как отношение
веса ( массы ) чистого вещества А в сплаве к весу ( массе ) всего
сплава. О какой концентрации, объемной или весовой, идет речь в
конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.

Встречаются сравнительно немного задач, в которых приходится пересчитывать объемную концентрацию на весовую или наоборот. Для того чтобы это сделать, необходимо знать удельные веса компонент, составляющих раствор или сплав. Рассмотрим для примера двухкомпонентную смесь с объемными концентрациями компонент C1 и С2 (С1 + С2 = 1 ) и удельными весами компонент d1 и d2. Вес смеси может быть найден по формуле

q = V1 * d1 + V2 * d2 ,

в которой V1 и V2 – объемы составляющих смесь компонент. Весовые концентрации компонент находятся из равенства

k1 = V1d1 /( V1d1 + V2d2 ) = C1d1 /( C1d1 + C2d2) = C1d1/( C1( d1 – d2 ) + d2 ),

k2 = V2d2/( V1d1 + V2d2 ) = C2d2 /( C1d1 + C2d2) = C2d2/( C2( d2 – d1 ) + d1 ),

которое определяют связь этих величин с объемными концентрациями.

Как правило, в условиях задач рассматриваемого типа встречаются один и тот же повторяющийся элемент: из двух или нескольких смесей, содержащих компоненты A1, A2, A3, ..., An, составляется новая смесь путем перемешивания исходных смесей, взятых в определенной пропорции. При этом требуется найти, в каком отношении компоненты A1, A2, A3, ..., An, войдут в получившуюся смесь.

Для решения этой задачи удобно ввести в рассмотрение объемное или весовое количество каждой смеси, а так же концентрации составляющих их компонент A1, A2, A3, ..., An. С помощью концентрации нужно « расщепить » каждую смесь на отдельные компоненты, как это сделано в формуле ( 1 ), а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко подсчитать, какое количество каждой компоненты входит в получившуюся смесь, а также полное количество этой смеси. После этого определяются концентрации компонент A1, A2, A3, ..., An, в новой смеси.

Проиллюстрируем сказанное выше на примере следующей задачи

Задача: Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди р % и q % соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вмести, получить сплав, содержащий r % меди?

Cu + Zn

P%

Cu + Zn

q%

Y кг

Х кг

X * P/100

Cu

X * (1 - P/100)

Zn

Y * P/100

Cu

Y * (1 - P/100)

Zn

X * P/100 + Y* q/100

Cu

X*(1-P/100) + Y*(1-q/100)

Zn

Рис. 2.

Решение. Составим иллюстративный рисунок к этой задаче ( рис. 2 ). Концентрация меди в первом сплаве равна Р/100, во втором q/100. Если первого сплава взять Х кг, a второго Y кг, то с помощью концентраций ( ясно, что речь идет о весовых концентрациях ) можно « расщепить » эти количества на отдельные составляющие:

X = X * Р/100 (кг меди) + Х * ( 1 - Р/100) (кг цинка)

и

У = У * q/100 ( кг меди ) + У * ( 1- q/100) (кг цинка).

Количество меди в получившемся сплаве равно

X * Р/100 + У * q/100 (кг меди),

а масса этого сплава составит X + У кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве, согласно определению, ровна.

X * Р/100 + У * q/100

Х+У

По условию задачи эта концентрация должна равняться

X * Р/100+ У* q/100

= r/100

Х+У

или

Р*Х +q*Y

= r

Х+У

Решим полученное уравнение. Прежде всего заметим, что уравнение содержит два неизвестных Х и Y. Нетрудно понять, что оба неизвестных однозначно не находится. Концентрация получившегося сплава определяется не массой взятых кусков, а отношением этих масс. Поэтому в задаче и требуется определить не сами величины Х и Y, а только их отношения.

Отметим попутно, что выражение вида

A*X +B*Y

F(X,Y) = ——————————

C*X + d*Y

называемое дробно-линейной функцией, часто встречаются в задачах на составление уравнений. В числители и знаменателе этой дроби стоят линейно однородные выражения, зависящие от Х и Y. Если не рассматривать случай Y =0, функция r( х, у ) зависят фактически только от одной переменой, а именно от отношения Х/Y:

А*(Х/Y) +В

F(X,Y)= —————————— =φ(X/Y)

С*(Х/Y)+d

При этом уравнение F ( X ,Y ) = С позволяет найти это отношение.

Запишем уравнение задачи в следующем виде:

Х*(р – r ) = У*(r –q).

Рассмотрим возможные случаи:

1) р = г = q.

В этом случае концентрации всех сплавов одинаковые и уравнение показывает, что имеется бесчисленное множество решений. Можно взять сколько угодно первого сплава и сколько угодно второго сплава.

2) р = г ≠ q.

В этом случае уравнение приобретает вид

X * 0 = Y * ( r – q ),

Откуда находим: Х – любое, Y = 0. Физический смысл этого решения понятен: если концентрация сплава, который требуется получить, совпадает с концентрацией первого сплава, но не равна концентрации второго сплава, то первого сплава можно взять сколько угодно, а второго сплава не брать вовсе.

3) р ≠ г = q.

Получаем уравнение

X *( p – r ) = Y * 0, откуда находим: Y – любое, X = 0.

4) p≠ r, p≠ q, q≠ r.

В этом случае можно написать

Х = Y * ( r – q )/(р – r ).

Поскольку Y ≠ 0, то

Х/Y = ( r – q )/( p – r ).

Это значение будет давать решение задачи, если выполняется неравенство

( r – q )/( p – r )>0,

которое, как нетрудно показать, имеет место, если значение r заключено между значениями р и q. Таким образом, если p≠ q, то можно получить сплав с любым процентным содержанием меди между р и q.

Несмотря на то, что этот пример весьма простой, он достаточно хорошо иллюстрирует основной метод решения задач, связанных со смеся смесями.

Рассмотрим еще одну задачу

Задача: Три одинаковые пробирки наполнены до половины растворами спирта. После того как содержимое третьей пробирки разлили поровну в, первые две, объемная концентрация спирта в первой уменьшилась на 20% от первоначальной, а во второй увеличилась 10% от первоначального значения. Во сколько раз первоначальное количество спирта в первой пробирке превышало начальное количество спирта во второй пробирке?

Р

V0

C1

V0

C2

V0

C3

ешение: Введем рассмотрение объем половины пробирки V0 и концентрации растворов спирта в каждой из пробирок С1, С2 и СЗ. Тогда первоначальное количества спирта в первой пробирки равно V0 * С1, во второй V0 * С2, в третьей V0 * СЗ ( рис 3 ). Для того чтобы решить задачу, подсчитаем количество спирта в первой и второй пробирках после того, как туда добавят содержимое третьей пробирки. Эти количества будут равны: в первой проборке

( рис. 3 )

V0 * C1 + S * V0 * С3 ,

во второй пробирке

V0 * С2 + S * V0 * С3 .

Найдем новые концентрации спирта в этих пробирках. Для первой пробирки она равна

V0 * C1 + S * V0 * С3

C1’ =

3/2 V0

для второй

V0 * C2 + S * V0 * С3

C2’ =

3/2 V0

По условию C2’ = 0,8 * C2 и C2’ = 1,1 * C2. Тогда имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными:

2/3 * C1 + l/3 * С3 = 0,8 * C1,

2/3 * C2 + l/3 * С3 = 1,1 * C1

или.

2 * C1 – 5 * С3 = 0,

13 * С2 – 10 * С3 = 0.

Из этой системы, так же как и в предыдущее, задаче, нельзя определить все три концентрации C1, C2 и С3. Но благодаря тому, что уравнение системы представляют собой однородные линейные выражения, из нее можно найти отношения двух концентраций к третьей, например C1/ C3 и C2/ C3:

m = C1/C2 = 5/2,

n = C2/С3 =13/10.

Количество спирта в первой пробирке относится к количеству спирта во второй пробирке как m/n. Действительно,

( V0 * C1 )/( V0 * С3 ) = m/n = 13/4.

Поэтому ответ в данной задаче равен 13/4.

Обратимся теперь к задачам, которые можно объединить в одну группу из-за того, что их решение связано с выявлением общей закономерности изменения той или иной величины в результате многократно повторяющейся операции.

Рассмотрим следующий пример.

В сосуде, объем которого равен V0 л. Содержится Р % -ный раствор соли ( рис. 4 ). Из сосуда выливается А л. смеси и доливается А л. воды, после чего раствор перемешивается.

V0

P% -ный раствор.

А л. А л.

Воды Смесь

( Рис. 4. )

Эта процедура повторяется n раз. Спрашивается, по какому закону меняется концентрация соли в сосуде, т. е. какова будет концентрация соли после n процедур?

Решение: Очевидно, что первоначальное количество соли в растворе равно

( Р/100 ) * V0.

После того как отлили А л. смеси, в растворе осталось

( Р/100 ) * V0 - ( Р/100 ) * А = ( Р/100 ) * V0 * ( 1 – А/ V0 ).

соли, а ее концентрация после добавления А л. воды стала равной

C1 = ( Р/100) * ( l – A/V0).

После того как отлили еще А л. смеси ( но уже с концентрацией С1 ), в растворе осталось соли

( Р/100 ) * V0 * ( 1 – А/V0 ) - C1 * А = ( Р/100 ) * V0 * ( 1 – А/V0 )І

а ее концентрация после добавления А л. воды стала равной

C2 = ( Р/100) * ( l – A/V0)І

Нет надобности еще раз проделывать ту же процедуру, чтобы убедится, что концентрация соли в растворе после n переливаний определяется формулой

Cn = ( Р/100) * ( l – A/V₀)ⁿ

( 2 )

представляющей собой убывающею геометрическую прогрессию. Множитель

1 - A/ Vo

являющийся знаменателем этой прогрессии, показывает во сколько раз убывает концентрация после очередного переливания.

Пример 1. Пусть величина A/Vo известна. После скольких переливаний концентрация соли в растворе уменьшится более чем в к раз?

Решение: Используя формулу ( 2 ) для концентрации соли в растворе после n переливаний, получаем

( Р/100 ) * ( 1 - A/Vo )ⁿ < ( 1/К ) * ( P/100).

Отсюда находим

n > log _(1–a/v0) 1/K.

Наименьшее количество таких переливаний равно целой части числа log _(1–a/v0) 1/K плюс единица.

Пример 2: Известно, что после n переливаний концентрация соли в растворе уменьшилась в к раз. Определить, какую часть объема сосуда составляют А л.

Решение: Согласно формуле ( 2 ) имеем

( Р/100 ) * ( 1 - A/Vo )ⁿ < ( 1/К ) * ( P/100)

или

( 1 - A/Vo )ⁿ = ( 1/К ).

Отсюда находим отношение A/Vo:

A/Vo = l – 1/(ⁿ√k)

Пример 3: В каждом из двух сосудов находится по V0 л. кислоты одинаковой концентрации. Из первого сосуда отлил долили А л. раствора и долили А л. воды. Потом эту процедуру повторили еще раз. Из второго сосуда отлили 2А л. раствора и добавили 2А л. воды. Потом эту процедуру повторили еще раз. Известно, что концентрация кислоты в первом сосуде оказалось в 25/16 раз больше, чем концентрация кислоты во втором сосуде. Какую часть от объема сосуда составляет А л?

Решение. Используя полуученые выше результаты, имеем

(P/100)*(l-A/Vo)² = ( 25/16 ) * ( Р/100 ) * ( 1 – 2 * A/Vo )²

или

( 1 – A/Vo )² = ( 25/16 ) * ( 1 – 2 * A/V0 )²

Из этого уравнения находим отношение A/V0. Извлекая из обеих частей уравнения арифметический корень, получаем

[ 1 – A/Vo ] = ( 5/4 ) * [ 1 – 2 *A/Vo ].

Поскольку A/Vo < 1 и 2 * A/Vo < 1 , то

1 – A/Vo =(5/4)*( l – 2 *A/Vo ).

Отсюда находим решение задачи:

A/Vo =1/6.

Замечание: При извлечении арифметического корня из обеих частей уравнения используется формула

√Х = [X].

Приведем обобщение формулы ( 2 ) на случай, когда каждый раз в сосуд доливается не вода, а раствор той же соли с постоянной концентрацией q/100. Эта формула имеет вид

Cn = (p/100) + (( p – q )/100) * [( 1 – A/V0 )^n-1]

( 3 )

Для доказательства этой формулы обозначим концентрацию раствора соли, который содержится в сосуде после n переливаний, через Сn. Тогда после очередной ( n + 1) -ной процедуру, которая состоит в том, что выливают А л. раствора с концентрацией Cn и доливают А л. q% -ного раствора, концентрация соли становится равной Сn + 1:

V₀* Cn – A * Cn + A( q/100 )

Сn + 1 =

V₀

или

Cn + 1 = ( 1 - A/Vo ) * Cn + ( A/Vo ) * ( q/100 ) n = 0,1,2,…

Постараемся определить концентрацию Сn из полученного соотношения. При этом будем учитывать, что начальное концентрации известно:

Со = Р/100 при n = 0.

Запишем следующие два равенства:

Сn + 1 = ( 1 – A/Vo) * Сn + (A/Vo) * ( q/100 )

Сn = ( 1 – A/Vo ) * Сn – 1 + ( A/Vo ) * ( q/100 ) n = 0,1,2,…

Вычитая эти выражения почтенно друг из друга, получим

Сn + 1 – Сn – 1 = ( 1 – A/Vo) * ( Сn – Сn – 1 ).

Если обозначить разность концентраций Сn – Сn – 1 через Un, последнее равенство можно переписать в более простом виде:

Un + 1 = (1 – A/Vo ) * Un

или

Un + 1/Un = (1 – A/Vo )

Отсюда видно, что последовательность чисел Un образует геометрическую прогрессию со знаменателем 1 – А/V₀ :

Un = U1 * ( 1 – А/V₀ )^n-1.

Первым членом этой прогрессии легко определяется:

U1 = C1 – Со = [( 1 – A/Vo ) * ( Р/100 ) + ( A/Vo ) * (q/100)] – Р/100

U1 = (( q – p )/100) * ( A/Vo ).

После этого находим

Un = (( q – р )/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)^{n – 1}

или

Сn - Сn – 1 = (( q – р )/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)^{n – 1}

Запишем последнее равенство для значений n, равных 1, 2,3, …, n, и сложим получающиеся соотношение между собой

С1 – С0 = (( q – р )/100 ) * ( A/Vo ) * 1

С2 - С1 = (( q – р )/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo) ¹

+ ……………………………………………

Сn - Сn – 1 = (( q – р )/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)^{n – 1}

Сn – С0 = (( q – р )/100 ) * ( A/Vo ) * ((1 -A/Vo)ⁿ – 1)/((1 -A/Vo) – 1)

или

Сn = С0 + (( q – р )/100 ) * [(1 -A/Vo)ⁿ – 1].

При сложение правых частей рассматриваемых равенств использовалась формула для суммы членов геометрической прогрессии.

Подставляя вместо Со ее значение Р/100, получим формулу ( 3 ). Заметим, что при q = 0 эта формула переходит в ранее полученную формулу ( 2 ).

Формула ( 2 ) тесно связана с известным в теории процентов правилом начисления « сложных процентов ».

Мы говорим, что имеем дело со « сложных процентов », в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменения составляет определенное число процентов от значение, которое имела эта величина на предыдущем этапе.

Рассмотрим сначала случай, когда в конце каждого этапа величина, изменяется на одно и то же постоянное количество – Р%.

Некоторая величина А, исходное значение которой равно А0, в конце первого этапа будет равна

Al = А0 + ( Р/100 ) * А0 = А0 * ( 1 + Р/100 ).

В конце второго этапа ее значение станет равным

А2 = А1 + (Р/100 ) * А1 = А1 * ( 1 + Р/100 ) = А0 * (1 + Р/100 )².

Здесь множитель 1 + Р/100 показывает, во сколько раз величина А увеличилась за один этап. В предыдущих задачах о концентрациях эту роль играл множить 1 – A/Vo.

В конце третьего этапа

А3 = А2 + ( Р/100 ) * А2 = А0 * ( 1 + Р/100)³.

и т. д.

Нетрудно понять, что в конце n-го этапа значения величины А определяется формулой

Аn = А0 * ( 1 + Р/100)ⁿ.

( 4 )

Эта формула показывает, что величина А растет ( или убывает, если р < 0 ) как геометрическая прогрессия, первый член который равен А0, а знаменателем прогрессии служит величина

1 + Р/100.

Формула ( 4 ) является исходной формулой при решении многих задач на проценты.

Пример: Сберкасса выплачивает 3% годовых. Через сколько лет внесенная сумма удвоится?

Решение: Пусть величина вклада, составляв А0 руб. Тогда через n лет станет равной 2 А0 руб. Имеем

А0 * ( 1 + 3/100 )ⁿ = 2 * А0,

n = log _1,03