Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики

Висновки.

В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнута мета за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:

Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.

З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.

Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція».

Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.

Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .

Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.

За допомогою комп’ютера і використовуючи програму^Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів, ^{яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції».}

У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функції, їх властивості та графіки, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової і логарифмічної функції, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами і степенями.

Учні повинні навчитися схематично зображати графіки показникових і логарифмічних функцій при різних основах, пам’ятати основні властивості цих функцій та вміти використовувати їх при розв’язанні показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей та їх систем. Бажано ознайьмити учнів на факультативних чи гурткових заняттях із схематичним зображенням графіків показникових та логарифмічних функцій з модулями.

У процесі розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь та їх систем корисно систематизувати знання учнів про рівносильність рівнянь і систем, виділити операції, які можуть порушувати рівносильність. Слід звернути увагу на причини виникнення сторонніх коренів при розв’язуванні рівнянь і в зв’язку з цим на необхідність перевірки знайдених розв’язків, а також на причини втрати коренів.

Засвоення учнями нових знань при вивченні розділу базується на раніше вивченному матеріалі про степені й корені, розв’язанні системи алгеьраїчних рівнянь і нерівностей, тощо. Бажано, щоб актуальні питання раніше вивченного матеріалу грунтовно систематизувалися за рахунок часу, виділеного на узагальнююче повторення. При плануванні узагальнюючого повторювання це слід урахувати, і до повторенного матеріалу безпотреби можна не повертатися.

Кваліфікаційна робота написана на тему «Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності в шкільному курсі алгебри».

Актуальність теми полягає в тому, що тема «Показникова і логарифмічна функції» є однією з основних тем в шкільній програмі з математики в 11 класі, її приділяється велика кількість навчального часу (20(30)). У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функцій, їх властивості та графік, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової та логарифмічної функціями, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи.

Розв’язуванню задач, а точніше рівнянь або нерівностей, показникових та логарифмічних, приділяється багато уваги, осбливо на вступних екзаменах до ВУЗів та інших навчальних закладах. Тому розгляд цієї теми дуже важливий.

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.

Підібрати диференційовану систему вправ.

Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.

Опробувати розроблену методику в сучасній школі.

Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;

аналітичні методи;

практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

пояснювально--ілюстраційний;

конкретно--індуктивний;

абстрактно- дедуктивний

дослідницький.

Робота складається з таких частин: Вступ, 3 розділи, які включають в себе 8 параграфів, висновки та додатки.

В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнуті цілі за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:

Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.

В данній кваліфікаційній роботі проаналізовані різни підходи при вивченні показникових та логарифмічних рівнянь, а також взагалі при вивченні теми «Показникова і логарифмічна функції». З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.

Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. Проведено порівняльну характеристику вивчення данної теми в підручниках під редакцією А.Н. Колмогорова та під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С.

Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.

Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», а токож фрагменти уроків, план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .

Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.

За допомогою комп’ютера і використовуючи програму^Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів (теоретичних і практичних), ^{яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Яку я продемонструю.}

^{1. Диференційована система вправ:}

Система задач має три рівні складності:

І. Обов’язковий рівень - містить задачі та вправи, в основному репродуктивного характеру на 2-3 логічних кроки, представлені у формі тестів. Для їх розв’язування цчням достатньо знати правила, означення, формули, теореми та ознаки, передбачені навчальними програмами, а також вміти виконувати найпростіші тотожні перетворення, спрощення та обчислення.

ІІ. Підвищенний рівень - містить завдання на 4-6 логічних кроки, розв’язання яких вимагає від учня творчого застосування одержаних знань з достатньо повним і строгим обгрунтуванням ходу розв’язку.

ІІІ. Поглиблений рівень - це, як правило задачі та вправи, розв’язання яких вимагає вміння орієнтуватися в нестандартних ситуаціях, застосовувати орігінальні та штучні прийоми, глибини та строгості суджень, характерних для тих, хто вивчає шкільний курс математики на поглибленому рівні.

^{а) Показникові рівняння і нерівності;}

Обов’язковий рівень.

Розв’язати рівняння.

1.

1) ,

2) ,

,

.

2.

1,

2,

2; 3,

інша відповідь.

2,

3,

4,

інша відповідь.

3,

-3,

1,

інша відповідь.

,

,

2,

інша відповідь.

Розв’язати нерівності.

1.

,

,

інша відповідь.

,

,

,

інша відповідь.

,

,

,

інша відповідь.

,

,

,

інша відповідь.

,

,

.

інша відповідь.

Підвищний рівень

Розв’язати рівняння

Розв’язати нерівності

Розв’язати нерівность графічно.

Поглиблений рівень

Розв’язати рівняння.

1.

,

Розв’язати нерівності

1.

^{б) Логарифмічні рівняння і нерівності;}

Обов’язковий рівень.

Знайти корені рівняння.

5,

3,

4,

інша відповідь.

2.

1),

,

інша відповідь.

-2; 0,

інша відповідь,

0; -2.

3,

8,

інша відповідь.

-4,

4,

2

інша відповідь.

При яких значеннях справедлива рівність.

,

,

,

інша відповідь.

2.

,

9,

-9

інша відповідь.

2,

,

-2

інша відповідь.

Розв’язати нерівності

,

,

інша відповідь.

,

,

інша відповідь.

3.

,

,

,

інша відповідь.

4.

,

,

інша відповідь.

Підвищний рівень

Розв’язати рівняння

Розв’язати нерівності

Поглиблений рівень

Розв’язати рівняння.

Розв’язати нерівності

Логіко- дидактичний аналіз при вивченні теми
" Показникова функція"
	Зона І	Зона ІІ
Статус	Навчальний матеріал, який	Навчальний матеріал, який
	актуально сприймається	актуально контролюється
	(зона найближчого розвитку)	(зона актуального розвитку)
П	1. Показникова функція.	1.1. Узагальненне поняття степеня
		1.2. Властивості арифметичного
		кореня
Ф	2.Задачі на побудову графіків	2.1. Властивості степеня з
		раціональним показником
Т	3. Властивості показникової	3.1. Властивості степеня з
	функції	дійсним показником
Т	4. Властивості графіка
	показникової функції
Ф	5. Застосування властивостей	5.1. Властивості степеня з
	показникової функції в	дійсним показником
	математиці	5.2. Спадна і зростаюча функції
Ф	6. Застосування властивостей	6.1. Властивості степеня з
	показникової функції в	дійсним показником
	практиці	6.2. Радіоактивний розпад
		6.3. Атмосферний тиск
Ф	7. Основні показникові	7.1.Узагальнене поняття степеня
	тотожності
П	8. Показникові рівняння
Ф	8'. Найпростіші	8'.1.Узагальнене поняття степеня
	показникові рівняння.
Ф	8''. Типи і методи	8''.1. Властивості степеня з
	розв'язання показникових	дійсним показником
	рівнянь
Ф	8'''. Показникові нерівності	8'''.1.Властивості степеня з
		дійсним показником
Логіко- дидактичний аналіз при вивченні теми
" Логарифмічна функція"
	Зона І	Зона ІІ
Статус	Навчальний матеріал, який	Навчальний матеріал, який
	актуально сприймається	актуально контролюється
	(зона найближчого розвитку)	(зона актуального розвитку)
Ф	1. Вступ
П	2. Логарифм	2.1.Узагальнене поняття степеня
Ф	3.Ілюстративні вправи	3.1. Показникова рівність ab=N
Ф	4. Задачі на логарифм
П	5. Десяткові логарифми
Ф	6. Ілюстративні задачі
Т	7. Основна логарифмічна	7.1. Властивості степеня з
	тотожність	дійсним показником
		7.2. Показникова рівність
Ф	8. Ілюстративні вправи
Т	9. Основні властивості
	логарифмів
СД	10. Логарифмування виразів
Т	11. Тотожності, що містять	11.1. Властивості степеня з
	логарифми	дійсним показником
Ф	12. Ілюстративні вправи
СД	13. Потенціювання
Ф	14. Ілюстративні вправи
СД	15. Перехід від однієї основи
	логарифмів до іншої
Ф	16. Ілюстративні вправи
П	17. Натуральні логарифми
П	18. Логарифмічна функція	18.1. Узагальнене поняття степеня
Т	19. Зв'язок між показниковою	19.1. Узагальнене поняття степеня
	і логарифмічною функціями	19.2. Поняття оберненої функції
Ф	20. Ілюстративні вправи
Т	21. Властивості логарифмічної	21.1. Властивості показникової
	функції	функції
Т	22. Спільні властивості
	логарифмів для конкретних
	випадків
Ф	23. Ілюстративні вправи	23.1. Область визначення функції
П	24. Логарифмічні рівняння
П	25. Застосування
	логарифмічної функції до
	розв'язування рівнянь і
	нерівностей.

^{Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.}

Хочу поділитися своїми враженнями від нової форми навчання - за допомогою комп’ютера. Звичайно, не можна все зводити до нього, - і кількість годин, проведенних за екраном, не може служити критерієм якості навчання, як це намагаються представити в деяких приватних школах. Але безсумнівно одне - комп’ютер відмінний помічник для организації індивідуального навчання. Бо як тільки педагог перестає бачить в учені просто сосуд, який треба наповнити знаннями та вміннями, йому доводиться шукати індивідуальний підхід до кожного, підстраюватися до його інтересів, темп засвоєння матеріалу, особисті особливості психіки. Наприклад, в деяких школах кожен учень може вибрати для себя не просто курс, який його цікавить, але навіть окремі предмети. Комп’ютер, як відомо, виконує ту программу, яка в нього закладена, і надає великий вибір тем для вивчення. Сучасні методи представлення інформації в комп’ютерах включають в себе не просто текст, але і картинки, відео, звукові фрагменти. Це дозволяє задіяти практично всі органи почуттів, використовуваємих для сприйняття інформації, при цьому здійснюється її дублювання по різним каналам сприйняття, що різко підвищує швидкість і якість засвоєння матеріалу. Комп’ютерный підручник неможна вже порівнювати з книгою, як це було всього декілька років тому - зараз більшість навчаючих програм неможливо відрізнити від ігр, і для того, щоб перемогти в такій грі, будуть потрібні знання, які дитині важко приїняти як необхідні йому тільки зараз - але ж всім нам притаманно відкладати "на потім" рішення багатьох проблем. А такий елемент сучасних комп’ютерних документів, як гипертекстова ссилка дозволяє при необхідності звернутися до будь-якого місця документа за додатковою інформацією, і втой же час при повторному вивченні не перевантажує початковий текст документу. Доречі, по принципу гіпертексту влаштована всесвітня інформаційна мережа Internet, за допомогою якої вже зараз проводится так зване "дистанціоне навчання" - коли професори престижних університетів виступають з лекціями і відповідають на питання не звичної студентської аудиторії, а перед тими, хто в цей момент підключен до їх вузлу мережи. Недивлячись на тишу і візуальну відстутність слухачів, яких може бути не менше, чим глядачів у телеекрана, але на відміну від книги чи телепередачі зберігається зворотній зв’язок між викладачем і учнями. Це - реальність сьогоднішнього дня. Цікаво, що нас (і наших дітей) чекає в недалекому третьому тисячолітті.

^{Широке впровадження в навчальний процес нових інформаційних технологій відкриває широкі перспективи щодо поглиблення і розширення теоретичної бази знань, надання результатам навчання практичного значення, активізації пізнавальної діяльності, створення умов для повного розкриття творчого потенціалу учнів з урахуванням вікових особливостей, індивідуальних нахилів.}

^{На сьогодні розроблено значну кількість програмних засобів, що дозволяють розв’язувати за допомогою комп’ютера досить широке коло математичних задач різних рівнів складності. Це такі програми як DERIVE, EURIKA, GRAN1, Maple, MathCad. Причому одні з цих програм розраховані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші - на учнів середніх навчальних закладів та студентів.}

^{Можливість провести необхідний чисельний експеримент, швидко виконати потрібні обчислення чи графічні побудови, перевірити ту чи іншу гіпотезу, випробувати той чи інший метод розв’язування задачі, вміти проаналізувати та пояснити результати, отримані за допомогою комп’ютера, з’ясувати межі можливостей застосування комп’ютера чи обраного методу розв’язування задачі має надзвичайне значення у вивченні математики.}

^{Не торкаючись докладно всіх тем, які вивчаються в курсі математики загальноосвітньої середньої школи, можна зауважити, що комп’ютерні програми згаданого типу можуть бути використані практично на всіх уроках математики, починаючи вже з п’ятих-шостих класів, зокрема під час вивчення системи координат на прямій і на площині, поняття функції, елементарних функцій та їхніх властивостей, методів розв’язування рівнянь і нерівностей та їх систем, елементів теорії границь числових послідовностей, диференціального та інтегрального числень та їх застосування.}

^{Використовуючи програму Arbeit я розробила програму, яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Це контролююча програма, в якій передбачено самокотроль знань та контроль знань. Тобто за допомогою цієї програми учень може сам перевіряти набуті знання, і вчитель може перевіряти знання певного учня.}

Вступ.

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.

Підібрати диференційовану систему вправ.

Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.

Опробувати розроблену методику в сучасній школі.

Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;

аналітичні методи;

практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

пояснювально--ілюстраційний;

конкретно--індуктивний;

дослідницький.

Історична довідка.

Логарифми: Винайдення логарифмів значною мірою прискорилось потребами удосконалення обчислень. Винайшли логарифми і майже одночасно почали їх застосовувати шотландський математик Джон Непер (1550-1617) і швейцарський математик, астроном і механік Йост Бюргі (1552-1632). Проте перший крок до спрощення обчислень зробив німецький математик Михаель Штіфель (1487-1567), у якого поняття логарифма з’явилося в результаті зіставлення геометричної і арифметичної прогресій. Ця ідея бере свій початок у працях Архімеда (бл. 287-212 до н.е.).

Таблиці логарифмів дуже спрощували обчислення, дії другого ступеня (множення, ділення) звелися до дій першого ступення (додавання, віднімання) над відповідними логарифмами. При цьому довелося виконувати дії із значно меншими числами. Але у зв’язку з впровадженням сучасних ЕОМ обчислення за допомогою логарифмів втаратило своє значення.

Показникова функція: До початку XVII ст. у математиці уникали вживання дробових та від’ємних показників степенів. Лише в кінці XVII ст. у зв’язку з ускладенням математичних задач виникла необхідність поширити область визначення показника степеня на всі дійсні числа. Узагальнення поняття степеня , де n - будь-яке дійсне число, дало змогу розглянути показникову функцію на множині дійсних чисел і степеневу функцію на множині додатних чисел ( для цілих n степенева функція визначена і для x" (, то

Формула для логарифму частки

Якщо і , то

Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів.

Якщо і , то

Формула логарифма степеня.

Якщо , то

Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи цього степеня.

Формула переходу від одної основи логарифму до другой.

Якщо , то для будь-якого дійсного числа b>0 та b№1

Таким чином ми бачимо, що при зміні основи значення логарифмів змінюються пропорційно. Коефіцієнт пропорційності називають модулем переходу.

Частинні випадки :

або ;

, .

Властивості степенів і логарифмів тісно пов’язані між собою. Вони фактично виражають одне і теж тільки один раз ми звертаємо увагу на поведінку самих степенів, а другий - на поведінку показників степеня:

Основні властивості логарифмічної функції:

Область визначення логарифмічної функції - множина всіх додатних чисел R₊, тобто D(log_a)= R₊. (0; +Ґ). Справді, кожне додатне число х має логарифм за основою а.

Область значень логарифмічної функції - множина всіх дійсних чисел

(Ґ; +Ґ). Для будь-якого дійсного y виконується рівність тобто функція набуває значення в точці .

Логарифмічна функція монотонна на всій області визначення. Якщо функція зростає , тобто якщо , то . Якщо функція спадає, тобто якщо , то .

Логарифмічна функція , де та - це функція обернена до показникової функції . Графіки показникової і логарифмічної функції, що мають однакову основу, симетричні відносно прямої .

Логарифмічним рівнянням називається рівняння, що містять невідому величину під знаком логарифма або в основі логарифма (або те і друге одночасно). Найпростійшими логарифмічними рівняннями назвемо рівняння виду:

та

Для рівняння , де ,,

Це основано на наступній важливій властивості логарифма :

Логирифм двох додатніх чисел по одій і тій же додатній і не рівній нулю основі рівні тоді і тільки тоді коли рівні ці числа.

При розв’язуванні логарифмічних рівннянь використовуються означення логарифма та його властивості, дії логарифмування та потенціювання, різні логарифмічні тотожності.

Логарифмічне рівняння , в якому під знаком логарифма стоїть деяка функція ,

, , ,

має множину допустимих значень х, заданих нерівністю еквівалентно рівнянню

.

Приклад 13: Розв’язати рівняння

Розв’язок: Початкове рівняння рівносильно рівнянню

, звідки . Число (-9) -єдиний корінь данного рівняння.

До простійших логарифмічних рівнянь відносяться також рівняння виду

, де , яке

а) при і має єдиний корінь ;

б) при і має розв’язком будь-яке додатне, відмінне від одиниці число;

в) при і коренів не має;

г) при і коренів не має .

Приклад 14:

Розв’язок: Оскільки , то , тобто початкове рівняння рівносильно рівнянню , звідки . Число 4 -єдиний корінь данного рівняння.

Розв’язування логарифмічних рівнянь зведенням до простійших логарифмічних рівнянь.

Рівняння, що розв’язуються за допомогою означення логарифма:

Приклад 15: Розв’язати рівняння

Розв’язок: За означенням логарифма отримуємо

Перевірка:

Логарифмічні рівняння ,що розв’язуються потенціюванням

Приклад 16: Розв’язати рівняння

Розв’язання: Знаходимо область визначення: .

Рівняння набирає вигляду

звідки

А данне рівняння рівносильно такому : . Розглядаючи два випадки і розв’язуючи відповідні рівняння матимемо:

1), ,

, , .

Відповідь: , .

Теорема: Рівняння рівносильно рівнянню при обмеженнях , .

Доведення: Нехай - розв’язок рівняння . Тоді визначені логарифми чисел та , тобто ці числа повинні бути більше нуля. Потенцируя рівність , отримуємо рівність . Навпаки, нехай - розв’язок рівняння , причому та . Тоді рівність можно прологарифмувати, і ми отримаємо .

Логарифмічне рівняння

()

Рівносильно кожній з наступних систем:

або

Для розв’язку рівняння переходять тільки до одної з цих систем ( та, яка легше) або розв’язують рівняння , яке може мати корні лишні для початкового рівняння , і перевіряють кожне з них підстановкою в початкове рівняння.

Для розв’язування рівнянь

,

Використовуючи властивості логарифма , їх приводять відповідно до виду:

і далі розв’язуються так, як вказано попередньо. Із знайдених коренів слідує включити до відповіді ті, для яких , , , або перевірити кожен з них підстановкою до початкового рівняння.

Якщо при розв’язуванны за допомогою формул виконуються перетворення виду , , , де - парне число, то виникає можливість втрати коренів заданого рівняння. Для того щоб уникнути можиливої втрати коренів, треба користуватися вказаними формулами у такому вигляді:

=

=

=, - парне число.

Приклад 17: Розв’язати рівняння

Враховуючи область визначення логарифмічної функції, квадратного кореня, отримуємо систему , рівносильну заданому рівнянню:

або

Обидві частини рівняння розділимо на х ( при цьому не буде втрати коренів, так як ) та помножимо на ( при чому не з’являться зайві корені, так як ). Тоді отримаємо систему . З рівняння знаходимо , , оскільки . Далі маємо або . Значить, , звідки х=9>1; , що неможливо. Отримаємо відповідь .

Аналогічно рівняння виду ,

можна замінити рівносильною системою

або

Для розв’язку рівняння переходять тільки до одної з цих систем ( та, яка легше) або розв’язують рівняння , яке може мати корні лишні для початкового рівняння , і перевіряють кожне з них підстановкою в початкове рівняння.

Приклад 18:Розв’язати рівняння .

Розв’язування: Рівняння рівносильно змішаній системі

Рівняння системи має два корені: . Число задовольняє всім співвідношенням системи , а для числа не виконується умова . Таким чином рівняння має один корінь - число .

Зведення логарифмічних рівнянь до простійших рівнянь, нерівностей, систем.

Рівняння виду , , рівносильно сукупності рівнянь , де - всі корені рівняння .

Приклад 19: Розв’язати рівняння

Розв’язування: Позначимо і проведемо заміну невідомого у рівнянні . Отримаємо

Таким чином, рівняння рівносильно сукупності двох простійших рівнянь

Тобто, множина всіх розв’язків рівняння складається з чисел та 10.

Рівняння виду , , рівносильно сукупності рівнянь , де - всі корені рівняння .

Приклад 20: Розв’язати рівняння

Розв’язок: Позначимо і зробимо заміну невідомого у рівнянні Тоді

Таким чином,

Тобто, множина всіх розв’язків рівняння складається з чисел та .

Рівняння виду рівносильно мішаній системі

Приклад 21: Розв’язати рівняння

Розв’язок: Данне рівняння рівносильне системі

Тобто, єдиним корнем рівняння є число 4.

Рівняння виду можна замінити системами

або

Рівняння виду можна замінити системами

або

Рівняння виду рівносильне системі

, яка в свою чергу рівносильна системі

Приклад 22: Розв’язати рівняння

Розв’язок: Данне рівняння рівносильне системі

тобто системі

Розв’яжемо рівняння цієї системи :

Число -3 не задовольняє умові . Число (-1) задовольняє всім умовам системи. Тобто, данне рівняння має єдиний корінь .

Розв’язування логарифмічних рівнянь за допомогою властивостей логарифмічної функції.

Деякі логарифмічні рівняння вдається розв’язати за допомогою дослідження поведінки функції, які належать до правої та лівої частини рівняння. Монотонність функції часто дозволяє визначити число коренів рівняння, а іноді і знайти значення.

Приклад 23: Розв’язати рівняння

Розв’язання: Підстановкою (підбором) перевіряємо, що х=5 є розв’язком рівняння. Інших розв’язків рівняння не має, так як функція, яка знаходиться в лівій частині, зростає , а в правій - спадає, з цього випливає , що графіки цих функції не можуть мати більше одного перетину, тобто має один єдиний корінь.

Означення: Нерівності, де хоча б одна з функцій логарифмічна, називаються логарифмічними нерівностями.

Розв’язання логарифмічних нерівностей потребує міцьних знань з багатьох розділів алгебри. Потрібно вміти свідомо користуватися означенням логарифма, логарифмуванням та потенціюванням і, що дуже важливо, пам’ятати про те, що властивості логарифмічної функції різні при основах, менших або більших одиниці. Суттєвим при розв’язуванні таких нерівностей є обмеженість області визначення логарифмічної функції.

Нерівність виду , де , зводиться до розв’язування систем:

а) б)

Розв’язування нерівностей виду де , зводиться до розв’язування систем:

а) б)

Розв’язування нерівностей виду , де , зводиться до розв’язування систем:

а) б)

Розв’язування нерівностей виду , де , зводиться до розв’язування систем:

а) б)

В розглянутих перходах від найпростійшої логарифмічної нерівності до рівносильних систем нерівностей, які не містять знака логарифма, врахована область допустимих значень початкової нерівності.

Розв’язання будь-якої нестрогої логарифмічної нерівності відрізняється від розв’язання відповідної строгої логарифмічної нерівності тільки включенням у множину всіх її розв’язків множину коренів відповідного логарифмічного рівняння.

Приклад 24: Розв’язати нерівність

Розв’язання: Користуючись властивістю логарифмічної функції, дістаємо, що дана нерівність рівносильна нерівності

або

Розв’яжемо ці нерівності:

-1 1 3 5

Відповідь: .

Існують різні способи оформлення розв’язання логарифмічної нерівності. Найбільш поширені з них - метод переходу до розв’язання рівносильних совокупностей нерівностей і метод розбиття ОДЗ даної нерівності на проміжки, на яких розв’язуються відповідні рівносильні (на проміжку, що розглядається) нерівності. По суті, ці методи розв’язування однакові і розрізняються тільки способом оформлення.

Приклад 25: Розв’язати нерівність

Розв’язання:

Перший спосіб: Данна нерівність рівносильна нерівності

, яке рівносильно сукупності двох систем

а) б)

Розв’язками системи а) є проміжки і .

Розв’язками системи б) є проміжки і .

Об’єднавши отримані множини розв’язків систем сукупності, знаходимо множину всіх розв’язків початкової нерівності - всі з чотирьох проміжків:

, , , .

Другий спосіб: Область допустимих значень данної нерівності визначється

системою , звідки знаходимо ОДЗ нерівності:

, , ,

а) Розглянемо спочатку данну нерівність на множині . На цій множині вона рівносильна нерівності (так як ), розв’язком якої на цій множині є проміжки , .

б) На множині дана нерівність равносильна нерівності (так як ), розв’язками якого на цій множині є проміжки і .

Об’єднавши отримані розв’язки, отримуємо множину розв’язків початкової нерівності - всі з чотирьох проміжків:

Відповідь:, , , .

При розв’язуванні логарифмічних нерівностей слід уникати перетворень, які можуть привести до втрати або появи сторонніх розв’язків, так як в протилежному випадку обгрунтування правильності відповіді, як правило, є більш складною задачею, чим розв’язання початкової нерівності. Тим самим, по суті, єдиним методом розв’язування логарифмічних нерівностей є метод переходу до рівносильних нерівностей ( системам або сукупностям)

Приклад26: Розв’язати нерівність

.

Розв’язок: Області допустимих значень нерівності належать всі значення , які задовільняють умові . При цих значеннях невідомого

та

тому початкову нерівність можна записати у вигляді

,

або .

Таким чином, початкова нерівність рівносильна системі нерівностей:

Розв’язком першої нерівності цієї системи є проміжок . З цих значень другій нерівності задовольняють тільки ті , які належать інтурвалу . Тобто, множиною всіх розв’язків початкової нерівності є інтервал .

Відповідь: .

45

Література.

Методика викладання математики. Під ред. Бевз Г.П.-К.: Рад.школа, 1974.

Методика викладання математики. Практикум./за заг. ред. доц. Г.П. Бевз, -К.:Вища школа,1991.

Програми з математики для 5-9 кл. основної та 10-11 кл. старшої школи.- К, 1994.

Груденов Я.І. Психолого-дидактичні основи методики викладання математики.- М:Педагогіка, 1987.

Образование: идеалы и ценности(историко-теоретический аспект) Под ред. З.И.Равкина. - М.: ИТПиО РАО,1995. - С. 361.

Литвиненко Г.М., Федченко Л.Я., Швець В.О. - «Збірник завдань для екзамену з математики на атестат про середню освіту», частина І.

«Алгебра і початки аналізу 10-11 клас» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук -К: Зодіак-ЕКО,1995р.

«Алгебра і початки аналізу 10-11 клас» ^{за редакцією Колмогорова А.М. та ін}

^{Швець В.О. Навчальні цілі і методика їх формування / методика викладання математики і фізики. Респ. наук. метод. зб.} К.: ^{Рад. шк., 1992 р.}

^{Особливості поглибленого вивчення математики в 11 класі / Навчально-методичний посібник / К.: Освіта, 1992 р.}

Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. / М.: Наука, 1988г.

^{Сліпкань З.І. Психолого-педагогічні основи навчання математики./Київ: "Вища школа".}

^{Ципкін О.Г., Пінський О.І. Довідник по методам розв’язання задач з математики./Москва:"Наука", 1989 р.}

^{Гайштут О.Г., Литвиненко Г.М. Розв’язування алгебраїчних задач./Київ:"Радянська школа",1991р.}