Аналіз діючих підручників та тестів

Підручник під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.»

Підручник під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.»

§1 Показникова функція

n.1.Степінь з ірраціональним показником

Фіксують додатнє число а і ставлять кожному числу число . Цим самим отримують числову функцію , визначену на множені Q раціональних чисел. Зазначається, що при а=1 функція стала, так як для будь-якого раціонального числа.

Будуються графіки функцій і і порівнюються. Далі описується як визначається число для ірраціональних при а>1, в загальних рисах. Аналогічно описується визначення числа , для . Крім цього вважають, що для будь-якого і для

§1 Поняття показникової функції.

n.1. Означення і графік показникової функції.

Дається означення: Функція , де а>0, називається показниковою (з основою а).

Вивчення показникової функції починається з функції , потім розглядається , будуються їхні графіки і порівнюються. Далі розглядається функція . Порівнюються графіки функції і . З графікив зчитуються спільні властивості. Далі порівнюються графіки функцій () і (). З графіків зчитуються властивості функцій.

n.2. Властивості показникової функції.

Означення: Функція, задана формулою (де a>0, ), називається показниковою з основою а. Формулюються основні властивості:

Область визначення множина R дійсних чисел.

Область значень множина R₊ всіх додатніх дійсних чисел.

При функція зростає на всій числовій прямій; при функція спадає на множині R.

При будь-яких дійсних значеннях х і у справедливі рівності

;

.

n.2. Загальні властивості показникової функції.

D(y)=R

якщо x=0, показникова функція

Зазначені вище властивості доводяться, розглядаються всі можливі випадки. Далі наводяться властивості без доведення.

якщо і то .

якщо і , то якеб не було додатнє число N, існує, і до того ж єдине, таке значення х, що

n.3. Властивості графіка показникової функції.

Графік розміщений у верхній півплощині, тобто там де ординати додатні.

Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, перетинає графік і до того ж тільки в одній точці.

Крива проходить через точку (0;1), тобто коли х=0, функція чисельно дорівнює 1.

З двох точок графіка вище розміщена та , яка лежить правіше, тобто в міру просування зліва на право він піднімається вгору.

На графіку є точки, які лежать вище будь-якої прямої, паралельної осі 0х. На графіку є точки, що лежать нижче будь-якої прямої, проведеної у верхнії півплощині паралельно осі Х.

Будь-яка пряма, що паралельна осі Х і лежить у верхній півплощині, перетинає графік, і при чому в одній точці.

n.4.Приклади застосування властивостей показникової функції.

В цьому пункті наводяться приклади вправ на показникову функцію і варіанти їх розв’язування.

n.5. Використання показникової функції під час вивчення явищ навколишнього середовища

Задача про радіоактивний розпад.

Задача про зміну атмосферного тиску.

Задача про розмноження бактерій.

Задача про вакуумування.

Задача про приріст деревини.

Всі запропоновані задачі наводяться з розв’язанням.

n.6. Основні показникові тотожності.

Для будь-яких дійсних значень х і у справедливі рівності:

;

§2 Розв’язування показникових рівнянь і нерівностей.

n.1. Рівняння.

Розглядається найпростіше показникове рівняння , і . Кажуть, що у випадку або рівняння не має розв’язків.

Нехай . Функція на проміжку зростає при (спадає при ) і набуває додатних значень. Застосувавши теорему про корінь, дістаємо, що рівняння при будь-якому , , має єдиний корінь.

Щоб його знайти треба подати у вигляді . Очевидно, що є розв’язком рівняння , демонструється на графіку функції. Розглядається 4 приклади.

§2 Розв’язування показникових рівнянь і нерівностей.

n.1. Показникові рівняння. Показниковим називають рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів при сталих основах. Найпростішим рівнянням є

і . Говорять, що загального методу розв’язування показникових рівнянь немає. Виділяють кілька типів показникових рівнянь і наводять схеми (приклади) їх розв’язання.

Найпоширеніший спосіб: зведення обох частих показникового рівняння до спільної основи. Приклади.

Спеціальні способи розв’язання: зведення до спільного показника.

А також показникове рівняння перетворюють відомими методами: заміни, зведення до квадратного рівняння, а потім вже використовують певну схему.

n.2. Нерівності і системи рівнянь.

Розв’язання найпростійших показникових показникових нерівностей грунтується на відомій властивості функції ; ця функція зростає, якщо , і спадає, якщо . Розглядаються приклади.

n.2. Розв’язування нерівностей, які містять показникову функцію.

Найпростішими є нерівності виду . Під час розв’язування використовують властивість монотонності показникової функції.

І кажуть, що для розв’язування даної нерівності зведеться до розв’язування нерівності , а для зводиться до розв’язування нерівності . Приклади розв’язання нерівностей.

Підручник під редакцією А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.»

Підручник під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.»

§1 Логарифми і їх властивості.

§1 Логарифми.

n.1.Логарифм.

Даэться означення: Логарифмом числа b за основою а називається показник степеня, до якого слід піднести основу а, щоб отримати число b.

Тут же зазначається, що формулу ( де b>0, a1) називають основною логарифмічною тотожністю.

n.1. Поняття логарифма.

Дається означення: Корінь рівняння , де a>0, a1, називають логарифмом числа N за основою а.

Логарифмом числа N за основою а (a>0, a1) називається показник степеня х, до якого треба піднести а, щоб дістати число N.

Далі наводиться логарифмічна рівність і показникова рівність і зазначається, що ці рівності визначають одне і теж співвідношення. Наводяться три основні задачі:

Знайти число N за даним його логарифмом b і за основою а.

Знайти основу а за даним числом N і його логарифмом b.

Знайти логарифм від даного числа N за данною основою а.

Далі наводять приклади.

n.2. Основна логарифмічна тотожність.

Розглядається показникова рівність (1). За означенням логарифма (2), (3). Рівність (3) називається основною логарифмічною тотожністю.

n.2. Основні властивості логарифма.

Для будь-яких a>0 (a№1) і будь-яких додатніх х і у виконуються рівності

Далі наводиться формула переходу від однієї основи логарифма до іншої

Далі дається означення десяткового логарифма на описовому рівні: Десятковим називається логарифм за основою10 і позначається . Але більш конкретно на десяткових логарифмах не зупиняються.

n.3. Основні властивості логарифма.

Т.1. Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів, тобто де

Т.2. Логарифм частки двох додатних чисел (дробу) дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (чисельника і знаменника), тобто , де

Наслідок: Логарифм дробу, чисельник якого дорівнює одиниці, дорівнює логарифму знаменника взятого з протилежним знаком.

Т.3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня, тобто , де m - будь-яке число,

Т.4. Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеного на показник кореня, тобто

5.

Всі властивості доводяться.

n.4. Деякі важливі тотожності, що містять логарифми.

Всі тотожності доводяться.

n.5. Потенціювання

Перетворення за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число (вираз), називають потенціюванням.

n.6. Перехід від однієї основи логарифма до іншої.

Вводиться формула

n.7. Натуральні логарифми з основою е називають натуральним, або неперовим.

§2 Логарифмічна функція

Функція задана формулою , називається логарифмічною з основою а.

Перечисляють основні властивості цієї функції. Властивості аналогічні до перших трьох властивостей логарифмічної функції наведені у підручнику Шкіля М.І. Далі зазначається, що графіки показникової і логарифмічної, що мають однакову основу, симетричні відносно прямої у=х. Потім розглядаються приклади застосування властивостей логарифмічної функції. На цьому вивчення теми логарифмічна функція в підручнику під редакцією Колмогорова закінчується.

§2 Логарифмічна функція

n.1. Поняття логарифмічної функції:

Функцію , називають логарифмічною функцією за основою а (a>0 ,a№1). Зазначається, що графік функції можна дістати з графіка функції , симетрично відобразивши останній відносно прямої у=х.

n.2. Властивості логарифмічної функції.

Область визначення логарифмічної функції множина всіх додатніх чисел.

Область значень- множина всіх дійсних чисел.

Логарифмічна функція на всій області визначення R₊ зростає, якщо a>1 і спадає, якщо 0

^{ІІІ. Методика навчання розв’язання показникових і логарифмічних рівнянь та нерівностей.}

1. ^{Методичні особливості навчання.}

Показникові рівняння.

Приступаючи до розв’язування найпростійших показникових рівнянь, доцільно вписати на довідковій таблиці або на дошці основні формули дій із степенями.

Спочатку доцільно розглянути найпростіші рівняння виду . Записуючи праву частину рівняння як степінь чисоа 2, дістаємо . Оскільки основи даних степенів рівні і самі степені рівні, то маємо змогу прирівняти показники: . Тоді дістаємо:

Звертаємо увагу учнів на те, що записані вище формули, якщо їх застосовувати зліво направо, дають змогу замість двох степенів записати один степінь. Отже, якщо в лівій і правій частинах даного показникового рівняння тільки добутки, частки, степені або корені, то можна це рівняння завжди звести до найпростійшого рівняння виду , . Цей орієнтир бажано занотувати в зошитах учнів, щоб вони в подальшому вільно пізнавали такі показникові рівняння, які безпосередньо зводяться до найпростійших.

Приклад: Розв’язати рівняння

.

Розв’язання: Звертаємо увагу учнів на те, що в лівій і правій частинах цього рівняння є добуток, частка, степінь або корінь із степеня числа 3. Отже, це рівняння можна безпосередньо звести до найпростішого. Тобто після перетворення степенів дістаємо:

Звідси .

Розв’язавши це рівняння дістаємо: .

Після відпрацювання розв’язання найпростійших рівнянь бажано запропонувати учням загальну схему пошуку розв’язку складніших показникових рівнянь. Ця схема може бути, наприклад, такою:

Звільняємось від числових доданків упоказниках степенів.

Пробуємо всі степені звести до однієї основи.

Якщо не вдається звести до однієї основи, то пробуємо звести до двох основ так, щоб дістати однорідне рівняння.

В інших випадках використовуємо спеціальні прийоми розв’язування: а) використовуємо монотонність показникової функції; б) оцінюємо множину значень функції, у лівій і правій частині рівняння і т.д.

Приклад: Розв’язати рівняння .

Розв’язання: Звільнившись від числових доданків у показниках, дістаємо:

Як бачимо, звести всі степені до однієї основи не вдається, тому пробуємо звести всі степені до двох основ. Помічаємо, що , а . Тоді наше рівняння перетворюється в таке:

Звертаємо увагу учнів на те, що всі члени цього рівняння мають однаковий сумарний степінь - . Згадуємо означення і ідею розв’язку однорідного рівняння. (Рівняння, всі члени якого мають однаковий сумарний степінь, називається однорідним. Розв’язується однорідне рівняння діленням на найвищий степінь.)

Після відпрацювання зазначних прийомів розв’язування показникових рівнянь доцільно звернути увагу учнів на те, що для розв’язування деяких показникових рівнянь доречно використовувати теорему про корінь. Нагадаємо цю теорему:

Якщо функція зростає (або спадає) на деякому проміжку, то рівняння не може мати більше ніж один корінь у цьому проміжку.

Приклад: Розв’язати рівняння

Розв’язання: Зведемо це рівняння до виду , - зростаюча або спадна функція. Для цього поділимо обидві частини цього рівняння на , дістаємо:

Але і спадні функції, отже, і їх сума теж спадна функція. Тоді за теоремою про корінь дане рівняння може мати тільки один корінь. Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що є коренем даного рівняння. Інших коренів рівняння не має.

Відповідь: .

Доцільно виділити для учнів загальну ідею виконаного розв’язування, наприклад, у такому вигляді:

За допомогою підстановки конкретних значень змінної знаходимо один або кілька коренів даного рівняння.

Доводимо, що дане рівняння інших коренів не має.

При доведенні того, що рівняння не має інших коренів, крім знайдених, поряд з теоремою про корінь інколи використовується така властивість: якщо на деякій множині функція зростає, а функція спадає, то рівняння не може мати на множині більш ніж один корінь.

Приклад: Розв’язати рівняння .

Розв’язання: Підбором знаходимо, що - корінь рівняння.

Доведемо, що інших коренів це рівняння не має. Рівняння не може мати від’ємних коренів, бо при ліва частина - додатнє число, а права частина - від’ємне. При функція спадає, а функція зростає як сума двох зростаючих функцій. Отже коли , рівняння має тільки один корінь .

Відповідь: .

Розв’язуючи показникові рівняння, можна використовувати ті загальні прийоми, які використовувались при розв’язуванні інших типів рівнянь. Наприклад, розв’язуючи рівняння виду , можна розкласти на множники і використати умову рівності добутку нулю.

Показникові нерівності.

При розв’язуванні найпростіших показникових нерівностей, що дуже доступно викладено в підручнику, доцільно звернути увагу учнів на те, що іноді потрібен спеціальний аналіз для оцінки основи показникової функції.

Приклад : Розв’язати нерівність

Розв’язання: Оскільки (очевидно, що , отже, , крім того, ), то показникова функція є спадною. При переході в даній нерівності до аргументу знак нерівності змінюється на протилежний, тобто дана нерівність рівносильна нерівності . Розв’язуючи цю квадратну нерівність, дістаємо: .

Розв’язуючи складніші показникові нерівності, бажано звернути увагу учнів на доцільність використання тієї самої схеми розв’язування нерівностей, що й для показникових рівнянь.

Бажано показати учням можливість застосування узагальненого методу інтервалів до розв’язування показникових нерівностей. Доцільно нагадати відому їм з курсу 10-го класу схему розв’язання нерівностей виду ( де - неперервна на кожному інтервалі своєї області визначення функція) методом інтервалів, а саме:

Знаходимо область визначення нерівності.

Знаходимо нулі функції.

Позначаємо нулі функції на області визначення і знаходимо знак у кожному інтервалі, на які розбивається область визначення.

Приклад: Розв’язати нерівність

Розв’язання. Перенесемо всі члени нерівності в ліву частину і розв’яжемо нерівність методом інтервалів.

Область визначення: - будь-яке число.

Нулі функції:

або

або

або .

Позначимо нулі функції на області визначення і знайдемо знаки лівої частини нерівності в кожному інтервалі.

- + -

0 2

Відповідь: .

Іноді під час розв’язування складніших нерівностей використовують властивості монотонності функцій.

Приклад: Розв’язанти нерівность

Розв’язання : Функція зростає на множині всіх дійсних чисел як сума зростаючих функцій. Знайдемо корінь рівняння . За теоремою про корінь це рівняння має єдиний корінь. Легко бачити, що - корінь цього рівняння. Враховуючи зростання функції , дістаємо, що при , , де ; при , , де . Отже, розв’язком даної нерівності буде .

Логарифмічні рівняння і нерівності.

При введенні поняття логарифму і властивостей логарифмічної функції необхідно значну увагу приділити вмінню застосовувати основну логарифмічну тотожність, а також формулу переходу від однієї основи логарифма до іншої.

Приступаючи до розв’язування логарифмічних рівнянь, треба враховувати, що всі властивості логарифмічної функції були доведені за умови, що вирази, які стоять під знаком логарифма, додатні.

Наприклад, тільки при і .

Якщо ж у рівнянні або нерівності знаходиться вираз-добуток , то він буде додатнім не тільки тоді, коли і додатні, але й тоді,, коли та будуть одночасно від’ємні. У цьому випадку формулу «логарифм добутку» не використовують, бо можлива втрата коренів.

Структура рівносильних перетворень рівнянь або нерівностей.

Область визначення.

Обмеження, які необхідні для гарантування прямих і обернених перетворень.

Відповідні властивості числових рівностей або нерівностей або властивості відповідних функцій.

Як бачимо, щоб виконувані перетворення були рівносильні, необхідно, щоб виконувалися і обернені перетворення на області визначення даного рівняння.

Бажано по можливості не використовувати формули логарифмування добутку, частки, і парного степеня, якщо це призводить до звуженняобласті визначення рівняння, а користуватися цими формулами тільки справа наліво, що приводить до розширення області визначення (в цьому випадку модлива хіба що поява сторонніх коренів, але їх можна відсіяти перевіркою).

Приклад: Розв’язати рівняння (1).

Розв’язання: На області визначення рівняння це рівняння рівносильне рівнянню (2)

яке в свою чергу рівносильне рівнянню (3)

Усі перетворення рівносильні, бо на області визначення даного рівняння можна виконувати перетворення (1) - (2) - (3) і обернені перетворення (3) - (2) - (1). Скоротивши в рівнянні (3) дріб на ( на області визначення), дістанемо рівносильне рівняння: (4).

Це рівняння за означенням логарифма рівносильне рівнянню (5).

Звідси . Оскільки ці значення входять в область визначення рівняння і ніяких додаткових обмежень у нас не було, то - корені даного рівняння.

Слід звернути увагу учнів на те, що при розв’язуванні логарифмічних рівнянь можна користуватися не тільки рівносильними перетвореннями, але й діставати рівняння-наслідки (коли ми гарантуємо тільки прямі перетворення і не гарантуємо обернені). Учні повинні розуміти, що при використанні рівнянь-наслідків можлива поява стороніх коренівь і тому в цьому випадку перевірка є складовою частиною розв’язування рівняння.

Слід звернути увагу учнів на те, що певної акуратності потребує використання формули переходу від однієї основи до іншої:

де , , , .

Якщо і -числа, що недорівнюють одиниці, то цю формулу можна застосовувати і зліва направо і справа наліво ( при ), тобто використання цієї формули при розв’язуванні рівнянь або нерівностей приводить до рівняння (нерівності), рівносильного даному. Якщо ж новою основою логарифма є вираз із змінною, то може виявитися, що цей вираз на області визначення початкового рівняння дорівнюватиме одиниці, а після застосування формули переходу від однієї основи до іншої вираз, що стоїть в основі логарифма, вже недорівнюватиме одиниці. В цьому випадку застосування формули переходу від однієї основи до іншої може привести до втрати тих коренів початкового рівняння, для яких нова основа логарифма дорівнює одиниці.

Підсумовуючи ці міркування, робимо висновки: якщо при переході від однієї основи логарифмів до іншої нова основа - число (звичайно більше від нуля і не дорівнює одиниці), то дістанемо рівняння, рівносильне даному на його області визначення.

Якщо доводиться використовувати вираз із змінною як нову основу логарифма, то щоб не втратити корені рівняння, необхідно розглядати два випадки:

вираз, який береться як нова основа, дорівнює одиниці (якщо це можливо на області визначення розглядуваного рівняння), і перевіряємо, чи будуть ці значення змінної, при яких вираз дорівнює одиниці, коренями даного рівняння;

нова основа не дорівнює одиниці - в цьому випадку користуємося формулою переходу від однієї основи логарифма до іншої.

Бажано звернути увагу учнів на те, що деякі логарифмічні рівняння, які зведені до вигляду можна розв’язати за допомогою розкладання лівої частини рівняння на множники.

Досить часто зустрічаються рівняння, члени яких є степенями, в яких основа і показник степеня - функції від змінної величини.

Приклад: Розв’язати рівняння .

Розв’язання: Область визначення: . Тоді ліва і права частини цього рівняння додатні на області визначення. Прологарифмуємо обидві частини за основою 4:

.

Дістаємо рівняння, рівносильне даному на області визначення:

.

Позначимо і, врахувавши, що , маємо:

Звідсі або .

Тоді або . Отже, або .

Оскільки ці значення входять до області визначення, то і - корені даного рівняння.

Підводячи підсумки розв’язування цього рівняння, бажано звернути увагу учнів на те, що в цьому рівнянні (в його лівій частині) змінна входить і в основу, і в показник степеня. Доцільно зафіксувати в зошитах учнів, що рівняння, в якому змінна входить і в основу, і в показник степеня, найчастіше розв’язується логарифмуванням обох частин рівняння.

Слово «найчастіше» присутне в наведеному правилі в зв’язку з рівняннями типу: .

На його області визначення це рівняння рівносильне рівнянню: , яке за основною логарифмічною тотожністю рівносильне (на області визначення) рівнянню .

Звідси (не входить до області визначення) або (входить до області визначення і є коренем).

Після відпрацювання цього правилу на прикладах доцільно запропонувати учням більш загальний підхід (він, як правило, використовується тоді, коли немає можливості взяти логарифм від обох частин рівняння) - перехід від степеня, в основі якого стоїть вираз із змінною, до степеня з числовою основою за формулою

, де , .

Зауваження. Очевидно, що при цю формулу можна застосовувати як зліва направо, так справа наліво. Якщо ми використаємо цю формулу при розв’язуванні рівняння, на області визначення якого , то ми гарантуємо і прямі, і обернені перетворення, тобто гарантуємо рівносильність утвореного рівняння на області визначення даного.

Необхідно звернути увагу учнів на те, що ідея логарифмування обох частин рівняння (або нерівності) є досить плідною і може використовуватись для розв’язування різних типів рівнянь (нерівностей), починаючи з найпростійших показникових типу (за означенням логарифма або прологарифмувавши обидві частини за основою 2, маємо: , тобто ).

Враховуючи те, що в останні 40-50 років у старших класах середньої школи реалізується функціональний підхід до рівняння, будемо вважати, що степені, в яких і основа, і показник степеня є функціями відзміної величини, означені тільки для тих значень змінних, при яких їх основи додатні (якщо в самій умові задачі не сказано протилежне).

Логарифмічні нерівності.

Розв’язуючи логарифмічні нерівності, доцільно використати загальну схему рівносильних перетворень нерівностей. Ця схема іноді дає надмірну систему обмежень, яку можна суттєво спростити. Для рівносильності рівнянь надмірність системи обмежень майже не впливає на об’єм роботи щодо розв’язування цих рівнянь - можна не знаходити відповідні значення змінної з цих обмежень, а тільки перевіряти для кожного знайденого кореня. Розв’язком нерівності, як правило, є інтервал (або кілька інтервалів), які містять нескінчену множину чисел, а всі їх перевірити неможливо. Отже для розв’язування нерівності доведеться знаходити відповідні значення змінної з усіх записаних обмежень, і тому чим менше залишиться цих обмежень, тим краще. Бажано запропонувати учням не знаходити окремо область визначення нерівності, а спочатку записувати повну систему обмежень і рівносильну нерівность, а потім намагатися споростити утворену систему.

Приклад: Розв’язати нерівность

Розв’язання: Оскільки , то . Тоді функція -спадна, і наша нерівность рівносильна системі:

Нерівність (2) є наслідком нерівностєй (3) і (1) . Отже, ця система рівносильна системі, що складається тільки з нерівностей (1) і (3), тобто

Розв’язуючи окремо нерівності (1) і (3), дістаємо: для

(1) - ; для (3) - . Тоді загальним розв’язком системи буде .

Слід звернути увагу учнів на те, що при розв’язуванні логарифмічних нерівностей можна використовувати всі ті прийоми, які використовувалися при розв’язуванні логарифмічних рівнянь.

Розв’язування деяких нерівностей за допомогою рівносильних перетворень досить громіздке, і тому використовуємо для розв’язування деяких нерівностей узагальнений метод інтервалів.

Приклад: Розв’язати нерівность.

Розв’язання: Методом інтервалів.

Область визначення.

тобто

Корені . Це рівняння на області визначення рівносильне рівнянню . Звідсі або (входять до області визначення).

Позначимо корені на області визначення (на малюнку) і знайдемо знак у кожному інтервалі, на які розбивається область визначення.

+ - + - - +

0 1 2 3

Відповідь:

82