АППРОКСИМАЦИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

2. АППРОКСИМАЦИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Исходя из постановки задачи, нужно аппроксимировать полученное в п.1. решение ( Таблица 1. ) параболой методом наименьших квадратов, т.е. нужно найти функцию, в данном случае параболу, которая в точках X ( I ) принимала бы значения, как можно более близкие к значениям Y ( I ). Парабола является функцией с тремя параметрами: F (x) = ax² + bx + c

Сумма квадратов разностей значений функции и решений дифференциального уравнения (Таблица 1.) должна быть минимальной, т.е.:

( ax² + bx + c - y_i )² => min

Функция будет иметь минимум, когда все частные производные равны нулю.

DF / da = 0, dF / db = 0, dF / dc = 0

После преобразований получим систему уравнений:

a₁₁a + a₁₂b + a₁₃c = b₁

a₂₁a + a₂₂b + a₂₃c = b₂

a₃₁a + a₃₂b + a₃₃c = b₃

где a₁₁ =  , a₁₂ = a₂₁ =  , a₁₃ = a₂₂ = a₃₁ = , a₂₃ = a₃₂ =x_i , a₃₃ = n + 1

b₁ = y_i, b₂ =x_iy_i, b₃ =y_i.

2.2. РУЧНОЙ РАСЧЁТ КОЭФФИЦИЕНТОВ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассчитаем коэффициенты системы трёх линейных уравнений по формулам, взятым из п.2.2.:

а₁₁ = 0.7⁴ + 0.8⁴ + 0.9⁴ + 1.0⁴ + 1.1⁴ + 1.2⁴ + 1.3⁴ + 1.4⁴ + 1.5⁴ + 1.6⁴ + 1.7⁴ = 32.5094

а₁₂ = а₂₁ = 0.7³ + 0.8³ + 0.9³ + 1.0³ + 1.1³ + 1.2³ + 1.3³ + 1.4³ + 1.5³ + 1.6³ + 1.7³ = 22.9680

а₁₃ = а₂₂ = а₃₁ = 0.7² + 0.8² + 0.9² + 1.0² + 1.1² + 1.2² + 1.3² +1.4²+1.5²+1.6²+1.7² = 16.9400

а₂₃ = а₃₂ = 0.7 + 0.8 + 0.9 + 1 + 1.1 + 1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.5 + 1.6 + 1.7 = 13.2000

а₃₃ = n + 1 = 11

b₁ = 2.1 * 0.7² + 2.09763 * 0.8² + 2.105547 * 0.9² + 2.125049 * 1.0² + 2.157721 * 1.1² + 2.205613 * 1.2² + 2.271475 * 1.3² + 2.359045 * 1.4² + 2.473328 * 1.5² + 2.620626 * 1.6² + 2.807662 * 1.7² = 40.83941

b₂ = 2.1 * 0.7+ 2.09763 * 0.8+ 2.105547 * 0.9+ 2.125049 * 1.0+ 2.157721 * 1.1+ 2.205613 * 1.2+ 2.271475 * 1.3+ 2.359045 * 1.4+ 2.473328 * 1.5+ 2.620626 * 1.6+ 2.807662 * 1.7 = 31.119972

b₃ = 2.1 + 2.09763 + 2.105547 + 2.125049 + 2.157721 + 2.205613 + 2.271475 + 2.359045 + 2.473328 + 2.620626 + 2.807662 = 25.3237

Получим систему уравнений:

32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

22.968a + 16.94b + 13.2c = 31.119972

16.94a + 13.2b + 11c = 25.3237

Теперь нужно решить эту систему методом Гаусса и найти коэффициенты a,b,c.

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Суть этого метода состоит в том, что систему линейных уравнений преобразуют к системе с треугольной матрицей, а потом решают уравнения, начиная с последнего.

Решим систему уравнений, полученную в п. 2.2.:

Первое уравнение считается основным, его мы не изменяем. Второе уравнение нужно преобразовать так, чтобы первый его коэффициент стал равен нулю. Для этого второе уравнение нужно умножить на такой множитель, чтобы первые коэффициенты первого и второго уравнения стали равны.

Найдём множитель:

μ₂₁ = а₂₁ / а₁₁ = 22.968 / 32.5094 = 0.7065

Умножим на него первое уравнение:

32.5094a * 0.7065 + 22.968b * 0.7065 + 16.94 * 0.7065 = 40.83941 * 0.7065

Получим:

22.968a + 16.2269b + 11.9681c = 28.853043

Теперь нужно это уравнение почленно вычесть из второго:

0a + 0.7131b + 1.2319c = 2.266929

Аналогично преобразуем третье уравнение:

i₃₁ = a₃₁ / a₁₁ = 16.94 / 32.5094 = 0.5211

32.5094a * 0.5211 + 22.968b * 0.5211 + 16.94c * 0.5211 = 40.83941 * 0.5211

16.94a + 11.9686b + 8.8274c = 21.281416

Вычтем это уравнение из третьего, получим:

0a +1.2314b + 2.1726c = 4.042284

Таким образом, получится система, эквивалентная исходной:

32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

0.7131b + 1.2319c = 2.266929

1.2314b + 2.1726c = 4.042284

Третье уравнение нужно преобразовать так, чтобы второй его коэффициент стал равен нулю. Найдём множитель:

μ₃₂ = a₃₂ / a₂₂ = 1.2314 / 0.7131 = 1.7268

Умножим второе уравнение на него:

0.7131b * 1.7268 + 1.2319c * 1.7268 = 2.266929 * 1.7268

1.2314b + 2.1272c = 3.914533

Вычтем получившееся уравнение из третьего:

0b + 0.0454c = 0.127751

Получим треугольную матрицу, эквивалентную исходной:

32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

0.7131b + 1.2319c = 2.266929

0.0454c = 0.127751

Теперь найдём коэффициенты:

c = 0.127751 / 0.0454 = 2.813899

b = (2.266929 - 1.2319 * 2.813899) / 0.7131 = - 1.682111

a = (40.83941 - 16.94 * 2.813899 - 22.968 * (- 1.682111) ) / 32.5094 = 0.978384

Проверим результаты вычислений, подставив полученные значения корней в исходную систему:

32.5094 * 0.978384 + 22.968 * (- 1.682111) + 16.94 * 2.813899 = 40.83941

22.968 * 0.978384 + 16.94 * (- 1.682111) + 13.2 * 2.813899 = 31.119972

16.94 * 0.978384 + 13.2 * (- 1.682111) + 11 * 2.813899 = 25.3237

40.8394 » 40.83941

31.12 » 31.119972

25.3228 » 25.3237

Таким образом, уравнение аппроксимирующей параболы имеет вид:

F (x) = 0.978384x² - 1.682111x + 2.813899

4. НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Найдём значения функции F(x) = 0.978384 x² - 1.682111 x + 2.813899

на интервале [0.7; 1.7] с шагом h=0.1

x₀ = 0.7

F( x₀ ) = 0.978384 * 0.7² - 1.682111 * 0.7 + 2.813899 = 2.118622

x₁ = x₀ + h = 0.7 + 0.1 = 0.8

F( x₁ ) = 0.978384 * 0.8² - 1.682111 * 0.8 + 2.813899 = 2.095734

x₂ = 0.8 + 0.1 = 0.9

F( x₂ ) = 0.978384 * 0.9² - 1.682111 * 0.9 + 2.813899 = 2.092711

x₃ = 0.9 + 0.1 = 1.0

F( x₃ ) = 0.978384 * 1.0² - 1.682111 * 1.0 + 2.813899 = 2.109553

x₄ = 1.0 + 0.1 = 1.1

F( x₄ ) = 0.978384 * 1.1² - 1.682111 * 1.1 + 2.813899 = 2.14626

x₅ = 1.1 + 0.1 = 1.2

F( x₅ ) = 0.978384 * 1.2² - 1.682111 * 1.2 + 2.813899 = 2.202831

x₆ = 1.2 + 0.1 = 1.3

F( x₆ ) = 0.978384 * 1.3² -1.682111 * 1.3 + 2.813899 = 2.279266

x₇ = 1.3 + 0.1 = 1.4

F( x₇ ) = 0.978384 * 1.4² - 1.682111 * 1.4 + 2.813899 = 2.375567

x₈ = 1.4 + 0.1 = 1.5

F( x₈ ) = 0.978384 * 1.5² - 1.682111 * 1.5 + 2.813899 = 2.491732

x₉ = 1.5 + 0.1 = 1.6

F( x₉ ) = 0.978384 * 1.6² - 1.682111 * 1.6 + 2.813899 = 2.627762

x₁₀ = 1.6 + 0.1 = 1.7

F( x₁₀ ) = 0.978384 * 1.7² - 1.682111 * 1.7 + 2.813899= 2.783656