2.3.4 Выводы по разделу
В этом разделе был показан пример минимизации (упрощения) конечного автомата с сокращением числа состояний, а также пример реализации автомата на логических элементах и элементах памяти. Мы убедились в том, что конечный автомат является расширением понятия комбинационной схемы на случай, когда для получения выходного сигнала в данный момент времени требуется “помнить” некоторое количество предыдущих значений входного сигнала, а не только его текущее значение. При практической реализации автомата стала очевидной польза проведённых операций по упрощению исходного автомата и приведению его комбинационной части к конкретному базису.
3 Сети Петри3.1 Постановка задачи
Для заданной сети Петри, описывающей распределение ресурсов для случая двух процессов, сделать следующее:
а) выписать матричное уравнение смены маркировок;
б) построить дерево и граф покрываемости маркировок;
в) описать поведенческие свойства сети на основе графа покрываемости и матричных уравнений;
г) выписать множество достижимых из μ0 маркировок;
д) разработать программу моделирования сети Петри.
3.2 Теоретические сведения
Сети Петри – наиболее удачный из существующих математический аппарат для моделирования, анализа, синтеза и проектирования самых разных дискретных систем с параллельно протекающими процессами.
Определение. Сетью Петри называется четвёрка элементов
C = (P, T, I ,O), (3.2.1)
где
P = { p1, p2,…,pn }, n > 0 (3.2.2)
множество позиций (конечное),
T = { t1, t2,…,tm }, m > 0 (3.2.3)
множество переходов (конечное),
I: T → P (3.2.4)
функция входов (отображение множества переходов во входные позиции),
O: T → P (3.2.5)
функция выходов (отображение множества переходов в выходные позиции).
Если pi I (tj) , то pi – входная позиция j - го перехода, если pi I (tj) , то pi – выходная позиция j - го перехода.
Для наглядного представления сетей Петри используются графы.
Граф сети Петри есть двудольный ориентированный мультиграф
G = (V,), (3.2.6)
где V = P U T , причём P ∩ T = Ø.
Исходя из графического представления сети Петри, её можно определить и так:
C = (P, T, A), (3.2.7)
где А – матрица инцидентности графа сети.
Определим понятие маркированной сети Петри – оно является ключевым для любой сети.
Маркировка μ сети Петри C = (P, T, I, O) есть функция:
N = μ(P), N N, (3.2.8)
отображающая множество позиций на множество натуральных чисел. Маркировку можно также определить как вектор:
μ = {μ1, μ2,…, μn} , (3.2.9)
где n = │P │, а μi N. Между этими определениями есть связь:
μi = μ (pi) (3.2.10)
На графе маркировка отображается ссответствующим числом точек в каждой позиции. Точки называются маркерами или фишками. Если фишек много (больше трёх), то их количество отображается числом.
Таким образом, маркированная сеть Петри представляет собой пятёрку элементов:
M = (P, T, I, O, μ). (3.2.11)
Пример простейшей сети Петри:
p1
▪▪▪
t1 p3
p2 ▪
Рисунок 3.2.1 – Пример сети Петри
Правила работы с сетями Петри.
Сеть Петри выполняется посредством запуска переходов. Переход может быть запущен в том случае, когда он разрешён. Переход является разрешённым, если каждая из его входных позиций содержит число фишек не меньшее, чем число дуг из неё в данный переход.
Процедура запуска состоит в удалении из каждой входной позиции перехода числа фишек, равного числу дуг из неё, и в выставлении в каждой выходной позиции числа фишек, равного числу дуг, входящему в неё.
Проиллюстрируем сказанное на примере уже нарисованной сети Петри. Запустим в ней переход t1 – он является разрешённым:
p1
▪
t1 p3
▪
p2 ▪
Рисунок 3.2.2 – Пример запуска перехода сети Петри
Пространство состояний и поведенческие свойства сетей Петри.
Пусть имеется маркированная сеть Петри:
M = (P, T, I, O, μ) (3.2.12)
У неё n позиций. В каждой позиции не более N фишек. Тогда пространство сотояний есть множество всех возможных маркировок сети. Определим δ – функцию следующего состояния.
Если переход tj разрешён при текущей маркировке μ , то следующая маркировка μ’ определится так:
μ’ = δ (μ, tj) (3.2.13)
Если переход tj не разрешён, то δ не определена.
Пусть {tj0, tj1,…, tjs} – последовательность запущенных переходов. Тогда ей будет соответствовать последовательность {μ0, μ1,…,μs+1}, то есть
μk+1 = δ(μk, tjk) (3.2.14)
На основании последнего равенства можно определить понятие непосредственно достижимой маркировки. Для сети C = (P, T, I ,O) маркировка μ’ называется непосредственно достижимой из μ , если существует такой переход tj T, при котором
μ' = δ(μ , tj) (3.2.15)
Можно распространить это понятие на множество достижимых из данной маркировок. Определим множество достижимых из μ маркировок R(C, μ) следующим образом:
во - первых, μ R(C, μ);
во - вторых, если μ’ R(C, μ), μ’ = δ(μ , tj) и μ’’ = δ(μ’, tk), то и μ’’ R(C, μ).
На основе введённых понятий можно сформулировать ряд свойств сети Петри, характеризующих её в процессе смены маркировок – назовём их поведенческими свойствами сети Петри. Определим наиболее важные из них.
1 Достижимость данной маркировки. Пусть имеется некоторая маркировка μ, отличная от начальной. Тогда возникает вопрос достижимости: можно ли путём запуска определённой поледовательности переходов перейти из начальной в заданную маркировку.
2 Ограниченность. Сеть Петри называется k- ограниченной, если при любой маркировке количество фишек в любой из позиций не превышает k. В частности, сеть называется безопасной, если k равно 1. Кроме того, сеть называется однородной, если в ней отсутствуют петли и одинарной (простой), если в ней нет кратных дуг.
3 Активность. Сеть Петри называется активной, если независимо от дотигнутой из μ0 маркировки существует последовательность запусков, приводящая к запуску этого перехода.
Реально вводят понятия нескольких уровней активности для конкретных переходов. Переход tj T называется:
а) пассивным (L0- активным), если он никогда не может быть запущен;
б) L1- активным, если он может быть запущен последовательностью переходов из μ0 хотя бы один раз;
в) L2- активным, если для любого числа K существует последовательность запусков переходов из μ0 , при которой данный переход может сработать K и более раз;
г) L3- активным, если он является L2- активным при K → ∞.
4 Обратимость. Сеть Петри обратима, если для любой маркировки μ R(C, μ0) маркировка μ0 достижима из μ.
5 Покрываемость. Маркировка μ покрываема, если существует другая маркировка μ’ R(C, μ0) такая, что в каждой позиции μ’ фишек не меньше, чем в позициях маркировки μ.
6 Устойчивость. Сеть Петри называется устойчивой, если для любых двух разрешённых переходов срабатывание одного из них не приводит к запрещению срабатывания другого.
Существуют два основных метода анализа сетей Петри: матричные и основанные на построении дерева покрываемости.
Первая группа методов основана на матричном представлении маркировок и последовательностей запуска переходов. Для этого определим две матрицы размерности количество позиций количество переходов, связанные со структурой сети. Первая матрица называется матрицей входов:
D – [i, j] = # (pi , I(tj)), (3.2.16)
каждый её элемент равен числу фишек, уходящих из j- й позиции при запуске i- го перехода. Вторая матрица называется матрицей выходов:
D + [i, j] = # (pi , O(tj)), (3.2.17)
каждый её элемент равен числу фишек, приходящих в j- ю позицию при запуске i- го перехода. Определим единичный вектор e[j] размерности m, содержащий нули во всех позициях кроме той, которая соответствует запускаемому в данный момент переходу. Очевидно, что переход разрешён, если μ ≥ e[j]·D –. Тогда результат запуска j- го перехода можно описать так:
μ’ = μ + e[j]·D, (3.2.18)
где D = (D + – D –) – матрица изменений. Тогда все сформулированные ранее проблемы сети Петри легко интерпретируются матричными уравнениями вида
μ = μ0 + σ·D, (3.2.19)
где μ – исследуемая маркировка, σ – вектор, компоненты которого показывают, сколько раз срабатывает каждый переход.
Хотя данный метод достаточно прост, он не лишён некоторых недостатков. А именно, его применение даёт лишь необходимые условия существования какого- либо свойства, иными словами, может гарантировать лишь его отсутствие, а о присутствии мы сможем говорить с уверенностью, только проанализировав дерево покрываемости (смены) маркировок.
Дерево маркировок сети – это связанный граф, в вершинах которого находятся маркировки, которых мы достигли в результате последовательного запуска разрешённых переходов, а на дугах, соединяющих вершины – зпускаемые переходы. Путь от корня к каждой маркировке отражает последовательность запусков, приведшую к ней. Корнем дерева является начальная маркировка. При неограниченном накапливании фишек в позиции на дереве образуется петля, а в маркировке на месте, соответствующем зациклившейся позиции, ставится ω – символ бесконечно большого числа.
Ясно, что этот метод хотя и требует утомительного перебора всех возможных маркировок сети, но зато по уже готовому дереву достаточно легко анализировать проблемы достижимости, покрываемости, активности, обратимости сети.
Описав поведенческие свойства и методы анализа, можно перейти непосредственно к анализу конкретной сети Петри.
0 комментариев