Комплексные числа

Введение.

Современная жизнь человека невозможна без использования самых разнообразных машин, облегчающих его жизнь. С помощью машин человек обрабатывает землю, добывает нефть, руду, прочие полезные ископаемые, передвигается и т.д. Основным свойством машин является их способность совершать работу. Во всех механизмах и машинах прежде, чем совершить работу, энергия переходит из одного вида в другой. Нельзя получить энергии одного вида больше, чем другого при любых превращениях энергии, т.к. это противоречит закону сохранения энергии. В связи с этим нельзя создать вечный двигатель, т.е. такой двигатель, в котором в результате превращения энергии одного вида ее получается больше, чем было. Так называемый вечный двигатель занимает в истории науки и техники особое и очень заметное место, несмотря на то, что он не существует и существовать не может. Этот парадоксальный факт объясняется прежде всего тем, что поиски изобретателей вечного двигателя, продолжающиеся более 800 лет, связаны с формированием представлений о фундаментальном понятии физики — энергии. Более того, борьба с заблуждениями изобретателей вечных двигателей и их ученых защитников в значительной степени способствовала развитию и становлению науки о превращениях энергии — термодинамики. У всех без исключения авторов, писавших о вечном двигателе, основное внимание уделялось так называемому вечному двигателю первого рода, которым занимались изобретатели прежних времен. Вечные двигатели второго рода, которые пытаются создать теперешние изобретатели, почти не рассматриваются. Между тем именно здесь находится центральный пункт полемики, связанной с предложениями о создании «инверсионных» энергетических устройств, могущих, якобы, обеспечить человечество энергией навечно и без расходования каких-либо возобновляемых и не возобновляемых ресурсов.

Вот как писал о значении для человечества вечного двигателя французский инженер Сади Карно: « Общее и философское “perpetuum mobile” содержит в себе не только представление о движении, которое после первого толчка продолжается вечно, но действие прибора или какого-нибудь собрания таковых, способного развивать в неограниченном количестве движущую силу, способную выводить последовательно из покоя все тела природы, если бы они в нем находились, нарушать в них принцип инерции, способного, наконец, черпать из самого себя необходимые силы, чтобы привести в движение всю Вселенную, поддерживать и беспрерывно ускорять ее движение. Таково было бы действительно создание движущей силы. Если бы это было возможно, то стало бы бесполезным искать движущую силу в потоках воды и воздуха, в горючем материале, мы имели бы бесконечный источник, из которого могли бы бесконечно черпать.»

Действительно, положение о невозможности осуществления вечного двигателя первого рода очевидно для современного человека, который со школьных лет знает закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии был сформулирован еще в 1748 году М.В. Ломоносовым, который писал: «…так, ежели где убудет несколько материи, то умножится в другом месте; …Сей всеобщий естественный закон простирается и в самые правила движения, ибо тело, движущее своею силою другое, столько же оныя у себя теряет, сколько сообщает другому телу, которое от него движение получает.»

При рассмотрении идеи вечного двигателя второго рода нужно не только выявить противоречие с законом природы, но и убедить в незыблемости самого этого закона. Однако второй закон термодинамики далеко не так очевиден, как закон сохранения энергии.

От утопии - к науке, от науки – к утопии.

Приступая к разбору истории вечного двигателя, нужно, по-видимому, начать с того, откуда взялось это понятие и что, собственно оно означает.

Идея об устройстве, которое могло бы приводить в движение машины, не используя ни мускульную силу, ни силу ветра и падающей воды, возникла впервые, насколько известно, в Индии в XII веке. Однако практический интерес к ней проявился в средневековых городах Европы в XIII веке. Это не было случайностью; универсальный двигатель, способный работать в любом месте, был бы очень полезен средневековому ремесленнику. Он мог бы приводить в движение кузнечные меха, подававшие воздух в горны и печи, водяные насосы, крутить мельницы, поднимать грузы на стройках. Говоря современным языком, создание такого двигателя позволило бы сделать существенный шаг и в энергетике, и в развитии производительных сил в целом.

Средневековая наука не была готова к тому, чтобы хоть как-то помочь этим поискам. Привычных нам представлений, связанных с энергией и законами ее превращений, в то время еще не было. Естественно поэтому, что люди, мечтавшие создать универсальный двигатель, опирались прежде всего на то вечное движение, которое они видели в окружающей природе: движение солнца, луны и планет, морские приливы и отливы, течение рек. Такое вечное движение называлось «perpetuum mobile naturae» — естественное, природное вечное движение. Существование такого природного вечного движения со средневековой точки зрения неопровержимо свидетельствовало о возможности создания и искусственного вечного движения — «perpetuum mobile artificae».надо было только найти способ перенести существующие в природе явления на искусственно созданные машины.

Представление о вечном двигателе существенно менялось в соответствии с развитием науки, в частности физики, и задачам, которые возникали перед энергетикой.

В первый период развития perpetuum mobile (XIII—XVIII вв.) его изобретатели не понимали принципиальной разницы между вечным движением небесных тел и связанных с ним явлений (например, морских приливов) и тем движением, посредством которого они хотели производить работу в двигателях. Как это ни покажется странным теперь, вопрос о том, откуда должна была взяться эта работа, тогда вообще не возникал. Только примерно в XVI веке, когда постепенно начала формироваться мысль о некой «силе» как источнике движения и о том, что эта сила не может ни возникнуть из ничего, ни исчезнуть бесследно, появились сомнения в возможности, а затем и убеждения в невозможности perpetuum mobile. Однако, как мы увидим далее, этого мнения придерживался очень небольшой круг квалифицированных ученых-физиков и механиков. Все же официальным решением Парижской академии наук в 1775 году было прекращено рассмотрение любых проектов perpetuum mobile.

Второй период продолжался примерно до последней четверти XIX века. За это время было определено понятие энергии и закон ее сохранения получил окончательное научное оформление. Были заложены основы термодинамики — науки об энергии и о ее превращениях. Однако усилия изобретателей, работающих над различными вариантами perpetuum mobile, нисколько не ослабели.

Создалась интересная ситуация — сосуществование науки и антинаучной изобретательской деятельности. Этот парадокс объяснялся, с одной стороны, возросшими требованиями к энергетике, и с другой — тем, что первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) не был еще достаточно хорошо известен широкому кругу людей, занимавшихся техникой.

На этом, по существу, заканчивается история так называемого вечного двигателя первого рода, изобретатели которого пытались нарушить первый закон термодинамики. Напомним, что он требует, чтобы общее количество энергии, поступающей в двигатель, было в точности равно общему количеству выходящей из него; энергия не может исчезать и возникать из ничего. А perpetuum mobile-1 производил бы работу, вообще не получая энергию извне!

Третий период развития perpetuum mobile продолжается и теперь. Этот период характерен тем, что современные изобретатели perpetuum mobile, в отличие от своих коллег, работавших!в предыдущие времена, знают о существовании научных законов, исключающих его создания. Поэтому они пытаются создать perpetuum mobile совсем другого рода. Такой вечный двигатель не должен нарушать закон сохранения энергии — первый закон термодинамики. Здесь все в порядке. Но он должен действовать вопреки второму закону термодинамики. Этот закон определенным образом ограничивает превращаемость одних форм энергии в другие. Такой двигатель, в отличие от предшествующих ему вариантов perpetuum mobile-1, относящихся к первым двум периодам, был назван вечным двигателем второго рода — perpetuum mobile-2.

Простейшим perpetuum mobile-2 был бы такой, который, получая тепло от окружающей среды (например, от воды или атмосферного воздуха), полностью или частично превращал бы его в работу. Он позволил бы обойтись не только без затраты органического или ядерного топлива, но и без загрязнения окружающей среды.

Можно подсчитать, что при охлаждении мирового океана только на один градус Цельсия можно получить энергию, достаточную для обеспечения всех потребностей человечества при современном уровне ее потребления на 14000 лет. Но второй закон термодинамики это превращение запрещает.

Поскольку этот закон известен и существует, изобретателям perpetuum mobile-2 не остается ничего другого, как бороться именно с ним. Эта борьба вокруг второго закона термодинамики составляет, по существу, основное содержание третьего периода истории perpetuum mobile.

На начальном этапе истории perpetuum mobile дискуссии вокруг него способствовали в определенной степени прогрессу физики, а на последнем этапе — и развитию термодинамики, и прогрессу энергетики. Более того, оба закона термодинамики родились из положения о невозможности существования вечного двигателя. В целом эти этапы истории perpetuum mobile можно характеризовать как движение от утопии к науке. В конечном счете, сам вечный двигатель породил, если так можно выразиться, те фундаментальные научные положения, которые вырвали из-под него почву и обусловили конец его многовековой истории.

Теперешний этап истории вечного двигателя характеризуется попытками продвинуться в обратном направлении — от науки к утопии.

Чтобы разобраться во всех этапах истории perpetuum mobile и двинуться дальше, надо обязательно сформулировать определение того о чем пойдет речь. Итак, вечный двигатель — это воображаемое устройство, способное производить работу в нарушение первого или второго законов термодинамики.

Первые проекты механических, магнитных и гидравлических perpetuum mobile.

Сейчас трудно установить, когда, где и кем был предложен первый проект perpetuum mobile. Есть данные о том, что в трактате великого индийского математика Бхаскара Ачарья (1114-1185 гг.) «Сиддханта Сиромани» (ок. 1150 г.) есть упоминание о perpetuum mobile. Об этом же говорится в сочинении араба Фахра ад-дин-Ридваи бен Мохаммеда (ок. 1200 г.).

В Европе первые известия о perpetuum mobile связаны с именем одного из выдающихся людей XIII века — Виллара д’Оннекура — французского архитектора и инженера.

Как и большинство деятелей того времени, он занимался и интересовался многими делами: строительством соборов, созданием грузоподъемных сооружений, пилы с водяным приводом, военной стенобитной машины и даже … дрессировкой львов. Он оставил дошедшую до наших дней «Книгу рисунков» — альбом с записями и чертежами (ок. 1235-1240 гг.), которая хранится в парижской национальной библиотеке. Для нас представляет интерес прежде всего то обстоятельство, что в этом альбоме приведен рисунок и описание первого из достостоверно известных проектов perpetuum mobile.

М

Груз Стержень

Модель вечного двигателя Оннекура.

акет чертежа показан на рисунке. Текст, относя-

щийся к чертежу, гласит: «С некоторого времени мастера

спорят, как можно было бы заставить колесо вращаться са-

мо собой. Этого можно достигнуть посредством нечетного

числа молоточков следующим образом» (следует рисунок).

Д’Онекур не пишет, сам он придумал двигатель или

Заимствовал эту идею у другого мастера. Да это и не так

Важно. Главное — существо дела. Обратим прежде всего

внимание на то, что автор совершенно не сомневается, что

заставить колесо вращаться само собой можно. Вопрос

только в том, как это сделать. Из текста в сочетании с

рисунком идею изобретения можно понять. Поскольку

число молоточков на ободе колеса нечетное, всегда с одной стороны их будет больше, чем с другой. В данном случае слева будет два молоточка, а справа — три. Следовательно, правая сторона колеса будет тяжелее левой, естественно, колесо повернется по направлению часовой стрелки. Тогда следующий молоточек повернется в том же направлении и перекинется на правую сторону, снова обеспечивая ее перевес. Таким образом, колесо будет постоянно вращаться.

Идея колеса с грузами или тяжелой жидкостью, неравномерно распределенными по окружности колеса, оказалась очень живучей. Она разрабатывалась в самых различных вариантах многими изобретателями в течение почти шести веков и породила целый ряд механических perpetuum mobile.

Обратимся ко второй, не менее интересной идее perpetuum mobile, возникшей тоже в XIII веке и также породившей большую серию изобретений. Речь идет о магнитном вечном двигателе, предположенном Петром Пилигримом из Мерикура в 1269 году. В отличие от практика-инженера д’Оннекура Петр Пилигримом все же был больше «теоретиком», хотя занимался и экспериментами; поэтому его проект выглядит скорее как принципиальная схема, чем как чертеж.

По мнению Петра, таинственные силы, заставляющие магнит притягивать железо, родственны тем, которые заставляют небесные тела двигаться по круговым орбитам вокруг земли (в то время господствовала геоцентрическая система мира Птолемея). Следовательно, если дать магниту возможность двигаться по кругу и не мешать ему, то он при соответствующей конструкции реализует эту возможность. Двигатель состоит из двух частей — подвижной и неподвижной. Подвижная часть — это стержень, на одном (внешнем) конце которого закреплен магнит, а другой (внутренний) насажен на неподвижную центральную ось. Таким образом, стержень может двигаться по окружности подобно стрелке часов. Подвижная часть представляет собой два кольца — наружное и внутреннее, между которыми находится магнитный материал с внутренней поверхностью в форме косых зубцов. На подвижном магните, установленном на стержне, написано «северный полюс», на магнитном кольце — «южный полюс». Отметим, кстати, что Пилигрим первым установил два вида магнитного взаимодействия — притяжение и отталкивание и ввел обозначения полюсов магнита — северный и южный.

Автор, по-видимому, полагал, что магнит, установленный на стержне, будет поочередно притягиваться к зубцам магнитов, установленных в кольцевой части, и таким образом совершать непрерывное движение по окружности.

Несмотря на явную неработоспособность такого устройства, сама идея воспользоваться магнитными силами для создания двигателя была совершенно новой и очень интересной. Она породила в дальнейшем целое семейство магнитных вечных двигателей. В конечном счете, не нужно забывать, что современный электродвигатель работает на магнитном взаимодействии статора и ротора.

Несколько позже появились и вечные двигатели третьего вида — гидравлические. Идеи, положенные в их основу, не были столь новыми; они опирались на опыт античных водоподъемных сооружений и средневековых водяных мельниц.

Механические вечные двигатели.

Все механические вечные двигатели средневековья основаны на одной и той же идее, идущей от д'Онекура: создании постоянного неравновесия сил тяжести на колесе или другом постоянно движущемся под их действием устройстве. Это неравновесие должно вращать колесо двигателя, а от него приводить в действие машину, выполняющую полезную работу.

Все такие двигатели можно разделить на две группы, отличающиеся видом груза— рабочего тела. К первой группе относятся тем, в которых используются грузы из твердого материала, ко второй — те, в которых грузом служат жидкости. Количество разных вариантов perpetuum mobile в обеих группах огромно.

Начнем с двигателей первой группы. Итальянский инженер Мариано ди Жакопо из Сиены (недалеко от Флоренции) в рукописи, датируемой 1438 годом, описал двигатель, повторяющий по существу идею д'Онекура. Грузы, представляющие собой уолстые прямоугольные пластины, закреплены так, что могут откидываться только в одну сторону. Число их нечетно; поэтому с одной стороны при любом положении их будет больше, чем с другой. Это и должно вызвать непрерывное вращение колеса.

Англичанин Эдуард Соммерсет, тоже разработавший механический вечный двигатель в виде колеса с твердыми грузами и в 1620 году построивший его, принадлежал в отличие от своих предшественников к самым аристократическим кругам общества. Он носил титул маркиза Вустерширского и был придворным короля Карла I. это не мешало ему серьезно заниматься механикой и разными техническими проектами. Эксперимент по созданию двигателя был поставлен с размахом. Мастера изготовили колеса диаметром 14 футов (около 4 м); по его периметру было размещено 14 грузов по 50 фунтов (около 25 кг) каждый. Испытание машины в лондонском Тауэре прошло с блеском и вызвало восторг у присутствующих, среди которых были такие авторитеты, как сам король, герцог Ричмондский и герцог Гамильтон. К сожалению, чертежи этого perpetuum mobile до нас не дошли, так же как и технический отчет об этом испытании; поэтому установить, как оно проходило по существу, нельзя. Известно только, что в дальнейшем маркиз этим двигателем больше не занимался, а перешел к другим проектам.

Аллесандро Капра из Кремоны (Италия) описал еще один вариант вечного двигателя в виде колеса с грузами. Двигатель представлял собой колесо с 18 расположенными по окружности равными грузами. Каждый рычаг, на котором закреплен груз, снабжен опорной деталью, установленной под углом 90˚ к рычагу. Поэтому грузы на одной стороне колеса, находящиеся по горизонтали на большем расстоянии от оси, чем с другой, должны всегда поворачивать его и заставлять непрерывно вращаться.

Жидкостные вечные двигатели принципиально ничем не отличаются от описанных ранее perpetuum mobile первой группы. Разница состоит только в том, что вместо перемещающихся относительно колеса грузов используется жидкость, переливающаяся при его вращении так, чтобы ее центр тяжести перемещался в нужном направлении.

Все такие двигатели в разных видах развивали идею индийца Бхакскара (1150 г.). По описанию можно представить лишь принципиальную схему двигателя. На окружности колеса под определенным углом к его радиусам закреплены на равных расстояниях замкнутые трубки, создавая таким образом разницу веса в правой и левой частей колеса.

Все последующие проекты механических perpetuum mobile как с жидкими, так и с твердыми грузами, в сущности, повторяли одну и ту же идею: создать так или иначе постоянный перевес одной стороны колеса над другой и тем заставить его непрерывно вращаться.

Была даже идея заставить колесо катиться, сделав его в виде барабана, разделенного вертикальной перегородкой. По обе стороны должны были быть залиты две жидкости разной плотности (например, вода и ртуть). Автор этой идеи Клеменс Септимус был учеником Галилея. Описание этого двигателя помещено в книге известного физика Джиованни Альфонсо Борелли (1608-1679 гг.), члена Флорентийской академии. Любопытно, что в комментариях Борелли доказывал неработоспособность этого двигателя. Он считал, что нет никаких причин, чтобы барабан Септимуса катился; если бы он и сдвинулся, то достиг бы положения равновесия и остановился. Основанием для такого утверждения служила мысль о том, что сила тяжести, действующая одинаково на все части устройства, не может стать причиной постоянного нарушения равновесия. Сила тяжести не может производить работу, передаваемую какой-либо машине, которая ее использует.

Пока изобретатели механических perpetuum mobile ломали головы над очередными вариантами своих машин, постепенно развивалась механика. Она вырабатывала новые представления, которые шли дальше античной механики и позволяли количественно точно определить результат одновременного действия на тело нескольких сил. Тем самым новая наука подрывала «под корень» идейную базу механических вечных двигателей. Действительно, если выработано четкое правило, как подсчитать результат действия сил, прилагаемых к колесу вечного двигателя, то всегда легко определить, будет колесо в равновесии или нет. В первом случае двигатель работать не сможет. Если же, напротив, будет доказано, что неравновесие будет существовать постоянно, то вечный двигатель может существовать. Дело, таким образом, сводилось к установлению соответствующего закона механики (точнее, ее раздела — статики).

Первый шаг в этом направлении сделал, по-видимому, Леонардо да Винчи (1452-1519 гг.). В рукописи 1515 года он ввел понятие, которое теперь называется в механике «моментом силы». Со времен Архимеда был известен закон, который определял условие равновесия прямого рычага. Он составлял содержание VI теоремы Архимеда из сочинения по механике: «Два соизмеримых груза находятся в равновесии, если они обратно пропорциональны плечам, на которые эти грузы подвешены». Другими словами если вес изобразить в виде отрезков А и В соответствующих направлений и длины от какой-либо точки О, то условие равновесия будет таким: , или, то же самое, .

При всей важности закон рычага Архимеда не мог быть использован для анализа равновесия механического perpetuum mobile. Дело в том, что для такого анализа нужно было уметь определять равновесие и для случая, когда сила веса груза направлена не под прямым углом к рычагу, а под любым углом — острым или тупым. В данном случае равновесие наступит при соблюдении равенства , где и — проекции соответственно рычагов Оа и Ob на горизонтальную ось. Для проверки возможностей любого механического perpetuum mobile нужно сложить все моменты сил, расположенных справа от оси О, и то же проделать с моментами сил грузов, расположенных слева. Первые стремятся повернуть колесо по часовой стрелке, вторые — против. Если общая сумма моментов сил будет равна нулю, то колесо не движется — наступит равновесие.

Таким образом легко показать, что, несмотря на все ухищрения, сумма моментов сил у всех механических perpetuum mobile равна нулю. Леонардо да Винчи понимал это очень четко. Стоит только вспомнить слпва из одной его записи по поводу вечных двигателей: «Искатели вечного движения, какое количество пустейших замыслов пустили вы в мир!»

К сожалению, записи Леонардо да Винчи остались не известными ни его современникам, ни ближайшим потомкам. Только с конца XVIII века началась планомерная расшифровка его тетрадей.

Магнитные вечные двигатели.

Первым известным магнитным вечным двигателем была машина Петра Пилигрима (1269 г.), уже описанная ранее.

Новые виды магнитных вечных двигателей, появившихся позже, основывались также как и первый, на аналогии между силой тяжести и силой притяжения магнита.

Такая аналогия была совершенно естественна; она подкреплялась общефилософскими соображениями; кроме того, силу притяжения магнита можно было непосредственно сравнить с силой тяжести.

Действительно, если на одну чашу весов положить кусок железа, а на другую — равную по весу гирю, то, воздействуя снизу на железо магнитом, можно определить его силу. Для этого нужно вновь уравновесить весы, добавочный груз будет равен силе притяжения магнита. Такое измерение произвел Николай Кербс (1401-1464 гг.), известный под именем Николая Кузанского. Именно совместное действие двух тождественных сил — магнита и тяжести — служило основой почти всех предложенных после Петра Пилигрима магнитных perpetuum mobile.

Л

F

I G

H

Магнитный вечный двигатель А.Кирхера

юбопытный магнитный вечный двигатель

Предложил любитель науки, изобретатель и кол-

лекционер, иезуит Анастасиус Кирхер (1602-

1