Поляризация меняется с той же частотой w, что и внешнее поле

1.   Поляризация меняется с той же частотой w, что и внешнее поле.

2.   Амплитуда поляризации существенно зависит от соотношения частот w и w₀.

a.   Если w=w₀ (резонанс), амплитуда максимальна;

b.   Вдали от резонанса |w-w₀| >> g_з

В этом случае фаза поляризации близка к нулю (см. (12)). Тогда поляризация

(13a)

т.е. восприимчивость зависит от частоты.

c.   В предельном случае постоянного поля для восприимчивости получаем вновь формулу аналогичную (7а) (w=0 ® (13a)):

До сих пор предполагалось, что на электрон действует поле малой напряженности. Мы брали F_У = - k r (линейное приближение, пригодное для случая малого смещения электрона). Теперь будем считать, что напряженность светового поля и смещение электрона могут быть достаточно большими, и для упругой силы возьмем F_У = - k r - q r³:

	(14)
	(15)

Будем, как и раньше считать, что поле E(t) меняется по гармоническому закону, рассматривая нерезонансный случай (|w-w₀| >> g_з). Членами при g_з и P' ³ пренебрегаем. Решение опять ищем в виде P'=P'₀+P'₁ (два порядка малости), подставляем его в (15) и собирая отдельно члены нулевого и первого порядков малости, получаем:

	(16)
	(17)

Первое уравнение мы уже решали, это решение вдали от резонанса - (13a). Подставляем его в (17):

(18)

Т.к. напряженность поля меняется по гармоническому закону, то

E3(t) = 1/4 E03 (3 cos wt + cos 3wt)

(19)

Уравнение (18) - это уравнение гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила (правая часть уравнения), состоящая из двух компонент, одна из которых меняется с частотой w, а другая - с частотой 3w. Поэтому решение будем искать в виде P'₁=P'_1,w cos wt + P'_1,3w cos 3wt. Подставляя его в (18) и получаем:

	(20)
	(21)

Объединяем (20-21) и получаем общее решение:

P'= P'0 + P'1 = c(w,E0) E0 cos wt + c(3w,E0) E0 cos 3wt

(22)

где

(23)

Выводы:

Поляризация в сильном световом поле является функцией не только частоты падающего излучения, но и его третьей гармоники. Известно, что заряд, совершающий гармоническое колебание с некоторой частотой, излучает монохроматическую электромагнитную волну той же частоты. Поэтому в рассмотренной задаче появляются две волны: одна с частотой w, другая - с частотой 3w.

Таким образом, в рамках простейшей модели мы показали, каким образом из-за нелинейных свойств среды в сильном световом поле возникают высшие гармоники.

Нелинейное взаимодействие электромагнитных волн

Тензор нелинейной восприимчивости

Рассмотрим нелинейное взаимодействие двух электромагнитных полей. Одно из них, поляризованное вдоль j, описывается выражением:

Ejw1(t) = Re(Ejw1 exp iw1t) = 1/2(Ejw1 exp iw1t + к.с.),

(1)

а второе, поляризованное в направлении k, - выражением

Ekw2(t) = Re(Ekw2 exp iw2t)

Если среда нелинейная, наличие этих двух полей может привести к появлению поляризации на частотах nw₁+mw₂, где n и m - целые числа. Записав i-компоненту поляризации на частоте w₃=w₁+w₂ в виде

Piw3=w1+w2(t) = Re(Piw3 exp iw3t),

определим тензор нелинейной восприимчивости (раньше мы использовали c_ijk - тензор линейной восприимчивости) d_ijk^w3=w1+w2 с помощью следующего соотношения для комплексных амплитуд

(2)

Подобным же образом вводим тензор восприимчивости на разностной частоте d_ijk^w3=w1-w2

(3)

где согласно (1) E_k^-w2=(E_k^w2)*

Рассмотрение взаимодействия электромагнитных полей начнем с записи уравнения Максвелла, выделив в явном виде поляризацию P:

(4)

Примечание: rot rot E = grad div E - С2E

Представив поляризацию в виде суммы линейного и нелинейного членов, перепишем первое уравнение.

(5)

Возьмем ротор от обеих частей второго уравнения (4) и подставим rot H из (5) (см. тж. примечание), учитывая, что div E=0:

(6)

Дальнейший анализ проведем для одномерного случая (¶/¶x=¶/¶y=0). За направление распространения берем ось Z. Ограничимся рассмотрением взаимодействия колебаний трех частот и соответствующие поля возьмем в виде бегущих плоских волн:

Eiw1(z,t) = 1/2[E1i(z) exp i(w1t-k1z) + к.с.], Ekw2(z,t) = 1/2[E2k(z) exp i(w2t-k2z) + к.с.], Ejw3(z,t) = 1/2[E3j(z) exp i(w3t-k3z) + к.с.],

(7)

где ijk - декартовы координаты. Заметим, что при P_нел=0 решение уравнения (6) дается выражениями (7) с амплитудами, не зависящими от z. В качестве примера запишем i-компоненту нелинейной поляризации на частоте w₁=w₃-w₂. Согласно (3) и (7) она имеет вид

(7a)

Вернемся к уравнению (6). В одномерном случае

(8)

Дифференцируем и полагаем, что изменение комплексных амплитуд полей достаточно медленное, т.е.

(9)

Аналогичные выражения можно вывести для С²E_j^w3(z,t) и С²E_k^w2(z,t). Подставляя (9) в (6) и используя соотношение ¶/¶t=iw₁ получим волновое уравнение для E_i^w1(z,t):

(10)

Предполагаем, что при взаимодействии конечного числа полей уравнение (6) должно удовлетворяться по отдельности для компонент с различными частотами. Поставив (7а) и заметив, что w₁²m₀e=k₁², получим

(11)

или (считая s функцией частоты)

(11a)

и аналогично

(11b)

(11c)

Эти уравнения мы применим в дальнейшем при рассмотрении ряда конкретных случаев.

Генерация второй гармоники (ГВГ)

Первый эксперимент по генерации второй гармоники света был выполнен Франкеном в 1961 году. Луч рубинового лазера с l = 694,3 нм фокусировался на поверхность пластины из кристаллического кварца. Выходящее излучение анализировалось спектрометром. Было найдено, что в нем содержится компонента с удвоенной частотой (т.е. с l = 347,15 нм). Эффективность преобразования в первых экспериментах была порядка 10^-8. Использование более эффективных материалов, увеличение мощности лазера, обеспечение условий фазового синхронизма позволили в последние годы довести коэффициент преобразования почти до единицы.

Рис.1. Схема первых экспериментов по ГВГ. 1 - рубиновый лазер, 2 - фокусирующая линза, 3 - кварцевая пластинка, 4 - коллиматорные линзы, 5 - призма, 6 - фотопластинка (экран). Цвета показаны условно.

Применим уравнения (11a-11c) для рассмотрения ГВГ. Это частный случай взаимодействия полей трех частот, когда две частоты w₁ и w₂ одинаковы, а w₃ = 2 w₁. Следовательно, необходимо анализировать только два уравнения: первое (или второе) и последнее. В целях упрощения будем считать, что потери мощности входного луча (w₁) за счет преобразования во вторую гармонику малы, т.е. dE_1i/dz » 0. Следовательно, можно рассматривать только последнее уравнение (11c). Если среда прозрачна на частоте w₃, то s₃=0 и

(12)

где w = w₁ = ¹/₂ w₃,  Dk = k₃^(j) - k₁⁽ⁱ⁾ - k₁^(k),  а k₁⁽ⁱ⁾ - волновое число волны с частотой w₁, поляризованной по оси i. Если E_3j(0) = 0, т.е вторая гармоника на входе отсутствует, и кристалл имеет длину l, решением (12) будет

(13)

или

(14)

где e¦e₃. Чтобы получить выражение для мощности второй гармоники P^2w на выходе, воспользуемся соотношением

(15)

где S - площадь поперечного сечения пучка. Приняв e₁»e₃»e₀n² приходим к коэффициенту преобразования

(16)

Фазовый синхронизм при генерации второй гармоники

Из (16) следует, что предпосылкой для эффективной ГВГ является выполнение условия Dk = 0, или, поскольку w₃ = 2 w, а w₁ = w₂ = w,

Dk = k2w - 2 kw = 0 ®  k2w = 2 kw

(17)

Если Dk ¦ 0, то волна удвоенной частоты, генерируемая в некоторой плоскости (z₁), дойдя до другой плоскости (z₂), окажется не в фазе с волной удвоенной частоты, генерируемой в этой плоскости. Результат интерференции таких волн представлен в (16) множителем (¹/₂ Dk l)^-2 sin²(¹/₂ Dk l). Два соседних максимума этой интерференции удалены на расстояние, называемое "когерентной длиной":

(18)

Она является в сущности максимальной длиной кристалла, которую можно использовать для ГВГ. Показатель преломления, как правило, растет с увеличением частоты, так что

Dk = k2w - 2 kw = (2 w /c)(n2w - nw)

(19)

Здесь использовано k=wn/c. Когерентная длина выражается формулой

(20)

в которой l - длина волны падающего света.

Пример

Если l = 1 мкм и n^2w - n^w = 0,01 , то l_c = 100 мкм.

Увеличение l_c от 100мкм до 2см согласно (16) влечет за собой возрастание мощности второй гармоники в 4·10⁴ раз.

Способ, который широко применяется для обеспечения условий фазового синхронизма, заключается в использовании анизотропных кристаллов, обладающих естественным двулучепреломлением. Используя связь k^w = w Цme₀ n^w, вместо условия (17) получим условие n^2w = n^w, т.е. коэффициенты преломления на основной частоте и на удвоенной должны совпадать. В материалах с нормальной дисперсией показатель преломления обыкновенной и необыкновенной волн, распространяющихся в данном направлении, растет с частотой. Т.е. удовлетворить условию равенства коэффициентов преломления невозможно, если волны частот w и 2w принадлежат одному типу (обыкновенные или необыкновенные). Однако фазовый синхронизм может осуществляться благодаря использованию волн разных типов.

В качестве примера рассмотрим зависимость показателя преломления необыкновенной волны в одноосном кристалле от угла q между направлением распространения и оптической осью (осью Z) кристалла. Эта зависимость имеет вид

(21)

Если n_e^2w < n_o^w, то существует угол q_синх, при котором n_e^2w(q_синх) = n_o^w. Таким образом, если волна частоты w распространяется под углом q_синх к оси и имеет поляризацию, отвечающую обыкновенному лучу, то волна удвоенной частоты, возбуждаясь в том же направлении, будут обладать поляризацией необыкновенного луча. (См. рис.2).

Рис.2. Поверхности показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей в отрицательном одноосном кристалле.

Угол q определяется пересечением сферы, представляющей собой поверхность показателей преломления для обыкновенного луча частоты w (желтая сфера) с эллипсоидом показателей преломления необыкновенного луча частоты 2w (розовый эллипсоид). В случае отрицательного одноосного кристалла (n_e^w < n_o^w), угол, удовлетворяющий условию n_e^2w(q_синх) = n_o^w, определяется так

(22)

откуда

(23)

Пример

Генерация второй гармоники в кристалле KDP. Исходное излучение - рубиновый лазер (l = 694,3 нм). Значения показателей преломления: n_e^w = 1,466, n_e^2w = 1,487, n_o^w = 1,506, n_o^2w = 1,534. Угол синхронизма, вычисленный по формуле (23), равен q_синх = 50,4°.

Вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР)

Комбинационное или рамановское рассеяние света давно используется для изучения колебательных спектров молекул и оптической ветви колебаний кристаллических решеток. Ячейка, содержащая исследуемое вещество (жидкость, газ или кристалл), облучается светом с узкой спектральной линией. Спектральный анализ рассеянного излучения обнаруживает присутствие линий, смещенных вниз по частоте на величину, равную колебательным частотам облучаемого образца. Этот тип рассеяния называется стоксовым рассеянием.

В спектре рассеянного излучения присутствуют также частоты, равные сумме частоты падающего излучения и колебательных частот вещества. Это так называемое антистоксово рассеяние, интенсивность которого на несколько порядков меньше интенсивности стоксовой компоненты.

Указанные два типа рассеяния поясняются на рис.3.

(a)		Стоксово рассеяние, при котором поглощается лазерный фотон и вместе со стоксовым фотоном на частоте wc = wл - wu возникает квант колебаний молекулы (u = 1).
(b)		Антистоксово рассеяние, при котором поглощаются лазерный фотон и колебательный квант, а испускается фотон на частоте wac = wл + wu.
(c)		Процесс поглощения фотонов частоты wc = wл - wu, стимулированный наличием лазерного излучения частоты wл.
Рис.3. Переходы при вынужденном комбинационном рассеянии.

Т.к. антистоксово излучение определяется молекулами, находящимися в возбужденном состоянии, то его интенсивность ниже интенсивности стоксова излучения на величину множителя exp (--w_u /kT). На рис.3 (c) представлен также обратный процесс, при котором фотон стоксовой частоты поглощается.

До недавнего времени в спектроскопии комбинационного рассеяния применялись интенсивные источники некогерентного излучения (например, ртутные лампы). В последнее время когерентные лазерные источники вытеснили ртутную лампу.

Характерные частоты колебаний атомных групп в молекулах ([2] с.370)

Частота, см-1	Колеблющаяся атомная группа	Тип соединения
445-550	S-S	Алифатические дисульфиды
510-594	C-Br	Алифатические соединения
750-850		Парапроизводные бензола
884-899		Циклопентан и монопроизводные
939-1005		Циклобутан и производные
990-1050		Бензол и одно- и трехзамещенные бензолы
»1340		Ароматические соединения
»1380		Нафталин и производные
»1630	C=N	Ароматические соединения
1654-1670	C=N	Алифатические соединения
1974-2260	C¦C	Алифатические соединения
2150-2245	C¦N	Нитрилы
4160	H-H	H2

Характерно, что частоты мало меняются от соединения к соединению.

Если среду, способную к комбинационному рассеянию, поместить в оптический резонатор, то при наличии поля лазерной накачки усиление стоксовой компоненты способно скомпенсировать потери, и на частоте w_c возникает генерация. Генерация при ВКР представляет собой практический способ преобразования излучения импульсных лазеров (например, лазера на неодимовом стекле) в когерентное излучение, сдвинутое по частоте на колебательную частоту вещества.

Эксперименты по исследованию влияния интенсивности лазерной накачки на интенсивность стоксовой компоненты показали, что по достижении некоторой критической интенсивности накачки интенсивность стоксовой компоненты резко возрастает, а затем идет насыщение (см. рис.4).

Рис.4. Зависимость интенсивности генерации стоксовой компоненты от интенсивности накачки лазера

Макроскопическая теория ВКР. Стоксово рассеяние.

В экспериментах по ВКР было обнаружено, что выходное излучение содержит несколько стоксовых (w_л - w_u ), (w_л - 2w_u ), ... и антистоксовых (w_л + w_u ), (w_л + 2w_u ), ... компонент. Из рис. 3 видно, что процесс излучения стоксовой компоненты приводит к увеличению населенности колебательного уровня (u=1), поэтому становится возможным излучение на антистоксовой частоте. Стоксова (w_c) и антистоксова (w_ас) компоненты могут, в свою очередь, служить исходным излучением, генерирующим частоты w_с - w_u = w_л - 2w_u и w_ас + w_u = w_л + 2w_u. Аналогично можно объяснить появление комбинационных частот более высоких порядков.

Чтобы пояснить основные особенности возникновения ВКР, получим условие усиления или генерации на первой стоксовой частоте w_с = w_л - w_u, т.к. первоначально может усиливаться только эта компонента. Для возникновения других спектральных компонент требуется либо наличие молекул в возбужденном состоянии, либо присутствие стоксовой компоненты первого порядка.

Для анализа используется такая модель: рассеивающая среда состоит из N независимых осцилляторов (т.е. ансамбль осцилляторов не поддерживает волновое движение с отличной от нуля групповой скоростью), каждый характеризуется своим положением z (одномерный случай ¶/¶x=¶/¶y=0) и нормальной колебательной координатой X(z,t). Уравнение движения для осциллятора имеет вид

(1)

где Г - постоянная затухания, выбранная так, что наблюдаемая ширина линии спонтанного комбинационного рассеяния равна Dn=^G/_2p; w_u - резонансная частота колебаний молекулы в отсутствие затухания; m - масса; F(z,t) - возбуждающая сила.

Возбуждающую силу можно получить, рассматривая электромагнитную энергию в молекулярной среде. Плотность энергии, запасенной в электрическом поле E=¹/₂eE² при использовании равенства

e = e0 (1 + Na) = e0 {1 + N [a0 + (¶a/¶X)0 X]}

(2)

может быть записана в виде

E=1/2 e0 {1 + N [a0 + (¶a/¶X)0 X]} E2

(3)

Сила, действующая на единицу объема поляризуемой среды, равна ¶e/¶X, откуда делением на N получаем силу, действующую на один осциллятор.

F(z,t)=1/2 e0 (¶a/¶X)0 <E(z,t)>2

(4)

<E(z,t)> означает усреднение за несколько колебаний, предпринимаемое потому, что молекула неспособна реагировать на эти колебания. Из (4) видно, что при отличной от нуля дифференциальной поляризуемости (¶a/¶X)₀ колебания молекул могут возбуждаться электрическим полем.

Дальнейшая задача - показать, как колебания молекул воздействуют на электромагнитное поле. В соответствии с (2) колебания молекул с частотой w_u вызывают модуляцию диэлектрической проницаемости с той же частотой. Это приводит к фазовой модуляции поля излучения (появляются боковые составляющие, смещенные на w_u друг от друга). Т.е. происходит обмен энергией между электромагнитными полями различных частот., разделенных интервалами, кратными w_u.

Полное поле является суммой лазерного (w₂) и стоксова (w₁) полей:

E(z,t) = 1/2 E1(z) exp iw1t + 1/2 E2(z) exp iw2t + к.с.	(5)
<E(z,t)>2 = 1/4 E2(z) E1*(z) exp i(w2-w1)t + к.с.	(6)
(6) ® (4) ® (1)
	(7)

Здесь использованы соотношения ¶/¶t=iw и

X(z,t) = 1/2 X(z) exp iwt + к.с.

(8)

Из (7) следует, что на частоте w=w₂-w₁ молекулярные колебания имеют комплексную амплитуду

(9)

Поляризация, наведенная полем частоты w₁, имеет вид

P = e0 N a(z,t) E(z,t) = e0 N [a0 + (¶a/¶X)0 X(z,t)] E(z,t).

(10)

Используя (5), (9) и (10) для нелинейная поляризации (второй член поляризации, пропорциональный X E) получаем:

(11)

Примечание:

Осуществив умножение в формуле (11) (см. тж. примечание), получим составляющие поляризации, осциллирующие с частотами w₁, w₂, 2w₁-w₂ и 2w₂-w₁. Рассмотрим сначала составляющую нелинейной поляризации, имеющую частоту w₁:

Pнелw1(z,t) = 1/2 Pнелw1(z) exp iw1t + к.с.,

(12)

где

(13)

Коэффициент пропорциональности между полем и поляризацией представляет собой восприимчивость. Нелинейная комбинационная восприимчивость подобно линейной восприимчивости имеет лоренцеву форму линии.

Форма линии стоксова рассеяния имеет вид

(13a)

Антистоксово рассеяние

Антистоксово излучение на частоте w₃ = w₂ + w_u является результатом комбинационного рассеяния света молекулой, находящейся в возбужденном колебательном состоянии (u=1). При классическом подходе к задаче мы должны найти поляризацию на w₃, наведенную электрическим полем:

E(z,t) = 1/2 [E1(z) exp iw1t + E2(z) exp iw2t + E3(z) exp iw3t + к.с.],

(14)

где w₃ - w₂ = w₂ - w₁.

В выражении для поляризации по аналогии с (11) найдем член, соответствующий возбуждению молекулярных колебаний силой, пропорциональной E₃ E₂^*. Из (13) заменой частот и индексов у E получим

(15)

Важно, что мнимые части (13) и (15) имеют разные знаки, поэтому

антистоксова волна, распространяясь в среде, активной в комбинационном отношении, в присутствии излучения лазера (w₂), но в отсутствии стоксова излучения (w₁ = w₂ - w_u) будет затухать.

Существует, однако, еще одна компонента поляризации на частоте w₂:

Pнелw3(z) ~ E2 E2 E*1 exp [i(2w2-w1)t]

(16)

Она не содержит E₃ и может рассматриваться как верхняя боковая частота [w₂ + (w₂ - w₁)] в спектре модулированных колебаний диэлектрической проницаемости с несущей w₂ и модулирующей w₂ - w₁ частотами. Эта компонента является источником излучения с частотой w₃.

Если дополнить (16) пространственной зависимостью поляризации, то

Pнелw3(z) ~ E2 E2 E*1 exp [-i(2k2-k1)r]

(17)

Этому члену соответствует поле E₃exp(-ik₃r), причем

k3 = 2 k2 - k1

(18)

Следовательно, антистоксова волна может излучаться только в направлениях, удовлетворяющих условию (18). См. рис.5. А так как |k_i| = w_i n_i / c, то антистоксова компонента распространяется в направлениях, составляющих коническую поверхность с половинным углом b при вершине и осью лазерного луча.

Реальная ситуация сложнее. Помимо наличия стоксовых и антистоксовых компонент высоких порядков, имеет место отклонение от направлений, рассчитанных по формуле (18) из-за эффекта самофокусировки.

Рис.5. Диаграмма для определения направления распространения антистоксова излучения.

Рис.6. Схема эксперимента по изучению комбинационного рассеяния. 1 - рубиновый лазер; 2 - линза; 3 - ячейка с бензолом; 4 - экран Цвета показаны условно.

Самофокусировка света

Выше уже упоминалось, что ВКР в среде наступает только при превышении некоторого порога интенсивности электрического поля. Однако измеренная пороговая интенсивность часто оказывается ниже ожидаемой. Расхождения между теорией и экспериментом могут быть весьма значительными: в некоторых жидкостях соответствующие пороги отличаются в сотни и более раз, что обусловлено явлением самофокусировки. В таком случае диаметр пучка по мере распространения в среде уменьшается и на некотором расстоянии пучок собирается в "фокусе". В фокальной области плотности мощности лазерного излучения очень велики и могут привести к разрушению материала. Это явление имеет непосредственное отношение к импульсным лазерам с очень высокой мощностью излучения, поскольку разрушению может подвергаться и активный элемент лазера.

В первой лекции были выведены зависимости c(w,E₀) и c(3w,E₀) (формулы (23)), на основе которых можно записать:

eобщ = 1 + c + bE2 ,

(19)

тогда

nобщ = Цeобщ ¦ n + n2 E2 , где n2 = b / 2n

(20)

Если n₂>0, то в местах большой напряженности поля - показатель преломления больше. Т.е. в нелинейном материале сам пучок формирует положительную линзу. Это так называемая крупномасштабная самофокусировка. Существует также мелкомасштабная самофокусировка, обусловленная нарастанием возмущений в пучке в поле мощной световой волны.

На рисунках показано применение ВКР.

Рис.7a. КАРС спектроскопия.

Рис.7b. Многопроходные кюветы.