Пусть эта функция в каждой точке, по крайней мере, дважды дифференцируема по каждому аргументу

2.   Пусть эта функция в каждой точке, по крайней мере, дважды дифференцируема по каждому аргументу.

a.   

b.   

Это неоклассическая функция.

Пример: , где a > 0, b < 1

Общее положение: для описания поведения потребителя можно использовать особую функцию с перечисленными свойствами (неоклассическая функция потребления).

Экономический смысл: мы рассматриваем пространство товаров, в котором мы можем рассмотреть различные уровни полезности (C – значение полезности). q_i> 0 означает, что все товары необходимы. Свойство 2a показывает, как изменится полезность набора, если увеличить на единицу количество одного из благ – предельная полезность (U_j). В свойство 2b показывает: если в одном наборе мы последовательно наращиваем количество одного из благ, то предельная полезность уменьшается – закон Госсена.

Отныне мы можем считать, что каждый потребитель имеет собственную функцию полезности. С помощью этой функции он может определить полезность любого уровня благ. Если C – число, то возвращаемся к количественному подходу. Если C нельзя определить до числа, то остаемся в рамках порядкового подхода. Количественный и порядковый подход не противоречивы.

Глава 2: Формирование индивидуального рыночного спроса.

№1. АНАЛИЗ КРИВЫХ БЕЗРАЗЛИЧИЯ.

Требуется определить, как происходит эквивалентное замещение одного блага другим?

Условие задачи:

Пусть изменяется количество блага q₁. Необходимо определить, насколько должно измениться количество q₂, чтобы общая полезность набора не уменьшилась (q₂ – ?).

Решение задачи:

Мерой эквивалентной замены 2-х благ в потреблении является специальный показатель: – интервальная норма взаимной замены. Интервальная норма взаимной замены показывает, на сколько единиц нужно уменьшить потребление второго товара при увеличении первого товара на единицу при условии, что общая полезность неизменна. При последовательном увеличении количества одного и того же товара в наборе нам будет требоваться все меньшее количество второго товара для поддержания уровня полезности. Из этого следует два вывода:

·     Ценность каждой единицы блага зависит от количества данного блага и от количества других благ, причем, чем больше данного блага в наборе, тем меньше ценность каждой последующей единицы и наоборот.

·     Так как ценность благ существенно зависит от их количества, показатель интервальной нормы эквивалентной замены является очень грубым измерителем. Правильнее было бы измерять возможности эквивалентной замены благ в каждой точке кривой безразличия.

 – предельная норма замещения.

MRS показывает, как изменится потребление 2-ого товара при небольшом изменение 2-ого товара при неизменном уровне полезности – та же интервальная норма, но только в точке.

О возможностях эквивалентной замены благ можно судить по показателю предельной нормы замещения. Видно, что MRS двух благ должна быть каким–то образом связана с величиной предельной полезности. Рассмотрим некоторую неоклассическую функцию U(q₁, q₂). Известна формула Эйлера:

Экономический смысл: если q₁ растёт, то MRS падает, а U₁ стремится к 0 и U₂ стремится к бесконечности Þ U₁/U₂ ® 0. Общая тенденция: q₁ растет ÞU₁ падает Þ MRS быстро падает.

№2. БЮДЖЕТНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ.

Условие задачи:

R – бюджет потребителя – количество денег, которым он обладает. Пусть известны цены товаров . Запишем условие полного расходования бюджета потребителя. Пусть потребитель приобрел набор q₁ и q₂.

 

Требуется найти все комбинации товаров, которые потребитель может приобрести при данном бюджете и данных ценах.

Решение задачи:

Экономический смысл: рассмотрим различные наборы товаров, которые потребитель желает приобрести: набор А – может пробрести; набор D – может; B – нет. Бюджетное ограничение делит все пространство на 3 части.

 

Свойства:

1.   Наклон бюджетной линии определяется соотношением цен. 

2.   Если изменится бюджетная линия, например первый товар подешевеет при ceteris paribus, при этом же бюджете потребитель сможет купить больше Þ tg увеличится.

3.   Если цены на товары неизменны, а R увеличится, бюджетная линия изменится, так что произойдет параллельный сдвиг прямой, угол останется тот же.

№3. РАВНОВЕСИЕ ПОТРЕБИТЕЛЯ.

При известных предпочтениях потребителя, заданной системе цен и бюджете надо определить оптимальный потребительский набор.

 Эта задача имеет две постановки:

Условие задачи 1:

I)              Известны цены, потребительский бюджет. Рассмотрим потребительские предпочтения. Они задаются системой (картой) кривых безразличия.

Решение 1:

Рассмотрим 3 кривых безразличия. Потребительские наборы, лежащие на 1-ой кривой недоступны. На 3-ей кривой доступны многие ситуации. На 2-ой кривой существует один набор, который можно купить. Обозначим его точкой Е. Заметим, что не существуют других наборов, которые достигают E в полезности и находятся в рамках бюджета. Все наборы на 2-ой кривой лучше, чем на 3-ей. Решением этой задачи будет точка, полученная в результате касания бюджетной линии и максимально удаленной от начала координат кривой безразличия. При заданном бюджете цель потребителя – найти максимально удаленную от начала координат кривую безразличия. Точка касания единственная, следовательно, задача решена и имеет единственное решение.

Условие задачи 2:

Известно предпочтение. Задан целевой уровень благосостояния.

Решение задачи 2:

При заданных ценах, потребительском бюджете и потребительском предпочтении существует единственный товарный набор, который доставляет наибольшую полезность при заданных условиях. Либо наоборот – обеспечивает заданную полезность при наименьшем бюджете – основная неоклассическая задача потребления. А точка Е дает нам равновесное решение или, иначе, называется равновесие потребителя.

Существует правило, которое называется условие равновесия потребителя:

1)

2)

отсюда

Экономический смысл: предложим, потребитель осуществил закупки 1–ого и 2–ого товаров. Рассмотрим последние закупленные единицы обоих товаров. При оптимальном плане закупок предельная полезность от закупки каждого товара в расчете на единицу затрат, должна быть постоянной – правило условия равновесия потребителя.

Надо найти потребительский набор, который возвращает максимум этой функции при заданном ограничении

Данная задача относится к классу задач нелинейного программирования. Это приложение математики было специально разработано для экономики. Задача решается на основании теоремы Куна-Таккера методом разрешающих множителей Лагранжа.

№4. СРАВНИТЕЛЬНАЯ СТАТИКА ПОТРЕБЛЕНИЯ.

Существуют 2 модели:

·     Статическая модель – исследуют по методу при прочих равных условиях. Такой метод называется сравнительная статика.

·     Динамическая модель – при этом применяется несколько управляющих элементов. Исследование динамики – очень сложный вопрос.

Условие задачи:

Дана неоклассическая задача потребления, т.е. известны потребительские предпочтения, заданы потребительский бюджет и система цен. Определить оптимальный план закупок для данного потребителя

Решение:

Решив соответствующую задачу получим график:

Что влияет на объем закупок отдельного товара q_j? Предпочтения не меняются. Тогда, в общем виде:  – функция от (N+1) переменных.

Спрос на отдельно взятый товар – функция от цен и дохода – это функция покупательского спроса.

Метод сравнения статики заключается в следующем: берем один из аргументов, остальные считаем заданными: .

Рассмотрим влияние изменения дохода на покупательский спрос .

Давайте рассматривать непрерывное изменение дохода. Тогда мы много раз решаем неоклассическую задачу и находим точки равновесия.

Эта линия содержит точки равновесия, она называется «доход–потребление». Это ГМТ равновесия, полученных при решении задач  при различных уровнях дохода. Каждая точка этой линии дает оптимальный покупательский набор для заданного значения дохода. Она также называется «кривая Энгеля».

Что можно сказать про соотношение q₁ и q₂?

При R₁ закупки примерно в одинаковой пропорции. До R₂ – некоторое предпочтение q₁. Начиная с R₂ потребитель практически перестает потреблять q₂, т.е. происходит насыщение товаром q₂.

Если доход увеличивается на единицу и при этом стали потреблять q₁ больше, чем q₂, то q₁ ценнее. Ценность товара имеет относительное значение и в существенной мере определяется уже достигнутым уровнем потребления.

Можно построить другой график:

Задача Энгеля в интерпретации Торнквиста: необходимо рассмотреть всевозможные зависимости вида  и определить характерный вид кривых Энгеля по группам товаров.

Торнквист вывел, что все товары можно грубо разделить на 3 группы:

·     nовары первой необходимости;

·     в точке А – переключение спроса, т.е., начиная с уровня R_A, товары первой необходимости перестают доминировать в его потребительской корзине (этот порог часто отождествил с уровнем бедности);

·     предметы роскоши. Их потребление начинается на достаточно высоком уровне R и уже неограниченно. В точке B предмет роскоши начинает превалировать над (2).

№5. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН НА ПОКУПАТЕЛЬСКИЙ СПРОС.

Задача вида , все остальные цены и доход заданы. Для простоты введем условие: p₁ уменьшается.

Теперь рассмотрим всевозможные изменения p₁. Получилась линия EE₁, которая сплошь состоит из точек равновесия; она называется линия «цена–потребление». Это ГМТ равновесия, полученных при решении задачи .

Построим еще один, дополнительный, график:

Получилась кривая спроса. Ее экономический смысл: любая точка кривой D соответствует решению задачи потребителя.

Условие:

Предположим, мы рассматриваем случай, когда изменяются и p₁, и p₂. Принимаем одну из цен за единицу измерения и рассматриваем относительную цену p₁/p₂. Анализ проводится по той же схеме, т.к. для построения бюджетной линии необходимо соотношение цен и абсолютный размер бюджета.

№6. ЭФФЕКТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ДОХОДА.

Условие задачи:

Мы уже решили неоклассическую задачу. Пусть p₁ изменилась, т.е. тот же самый товарный набор можно приобрести дешевле. Это равнозначно образованию некоторого дополнительного дохода. Можно предположить, что сохраненный доход будет направлен на увеличение закупок q₁, но это не обязательно. Он может быть направлен, например, на приобретение q₂.

Для анализа этой ситуации понадобятся термины: номинальный доход – доход, который выражается в сумме денег и реальный доход – доход. который выражается в количестве товаров, которые можно приобрести за данный потребительский бюджет при данных ценах.

Если цены упали, то номинальный доход не изменился, а реальный доход повысился за счет закупок 1–ого и 2–ого товаров.

Нам необходимо выявить: