Круговая свёртка

2.6 Круговая свёртка .

Реальным сигналам соответствуют числовые последовательности конечной длины. Конечную числовую последовательность можно продолжить по оси времени путём периодического повторения и получить периодическую числовую последовательность. Периодической числовой последовательности соответствует спектр в виде периодической числовой последовательности. Обе последовательности имеют одинаковый период N и связаны формулами ДПФ.

Замена реальных последовательностей периодическими позволяет повысить эффективность использования вычислительной техники применительно к дискретным сигналам (скоростная свёртка, БПФ и др. )

Свёртка периодических последовательностей называется круговой и определяется на интервале равном одному периоду.

y(nT) =x(kT)Чh(nT - kT), (2.13)

Линейная и круговая свёртки дают одинаковый результат, если соответствующим образом выбрать в круговой свёртке размер исходных последовательностей. Дело в том, что свёртка конечных последовательностей приводит к последовательности, размер которой N превышает длину каждой из исходных последовательностей и, по определению, равен

N = N₁ + N₂ - 1, (2.14)

где N₁ - длина последовательности x(nT),

N₂ - длина последовательности h(nT).

Поэтому замена исходной последовательности на периодическую выполняется с таким расчётом, чтобы длина периода получилась равной N, добавляя с этой целью нули в качестве недостающих элементов.

Пример.

Вычислить круговую свёртку по данным примера в параграфе 2.4.

Решение.

Здесь, пренебрегая малыми значениями отсчётов представим импульсную реакцию в виде конечной числовой последовательности h(nT) ={0; 0,4 ; -0,032}.

Отсюда, поскольку x(nT) = {1,0; 0,5}, с учётом (2.14)

N₁ = 2,N₂ = 3,N = 4.

Следовательно исходные числовые последовательности запишутся так

x(nT) = {1,0; 0,5; 0; 0}, h(nT) ={0; 0,4; -0,032; 0}.

Отсюда, применяя (2.13), получаем

n=0: y(0T) = x(0T)h(0T) + x(1T)h(-1T) + x(2T)h(-2T) + x(3T)h(-3T) = 0;

n=1: y(1T) = x(0T)h(1T) + x(1T)h(0T) + x(2T)h(-1T) + x(3T)h(-2T) = 0,4;

n=2: y(0T) = x(0T)h(2T) + x(1T)h(1T) + x(2T)h(0T) + x(3T)h(-1T) = 0,168;

n=3: y(0T) = x(0T)h(3T) + x(1T)h(2T) + x(2T)h(1T) + x(3T)h(0T) = -0,016;

Следовательно y(nT)= {0; 0,4; 0,168; -0,016}, что совпадает с расчётами по линейной свёртке в примере параграфа 2.4.

Графики периодических числовых последовательностей x(nT), h(nT), y(nT) приведены на рис.(2.7).

К периодическим числовым последовательностям, полученным изложенным выше способом, можно применить ДПФ, перемножить результаты и после выполнения обратного ДПФ получить последовательность y(nT), совпадающую с результатами расчётов по круговой свёртке.

2.7. Энергия дискретного сигнала.

Корреляция и энергетический спектр.

В качестве энергии дискретного сигнала принята мера

W_x =x²(nT), (2.15)

соответственно в частотной области, согласно равенству Парсеваля,

W_x =X²(w)dw =X(jw)X^*(jw)d(jw), (2.16)

где X(jw) = X(w)e^jj(w) - спектр сигнала x(nT),

X^*(jw) = X(w)e^-jj(w) - спектр x(-nT) в соответствии с теоремой о спектре инверсного сигнала,

X²(w) = X(jw)ЧX^*(jw) = S_x(jw) - энергетический спектр сигнала x(nT).

На рис.(2.8) показан в качестве примера сигнал x(nT) и его инверсная копия x(-nT) для некоторого частного случая

Энергетический спектр выражает среднюю мощность сигнала x(nT), приходящуюся на узкую полосу частот в окрестности переменной w.

Во временной области энергетическому спектру соответствует свертка инверных сигналов, что определяет корреляционную функцию S_x(nT) сигнала x(nT).

. (2.17)

Согласно (2.17) и (2.15) корреляционная функция в точке n = 0 равна энергии сигнала, т. е.

(2.18)

Для периодических дискретных сигналов корреляционная функция и энергетический спектр связаны формулами ДПФ

. (2.19)

Отсюда получаются расчётные формулы энергии периодических дискретных последовательностей

, (2.20)

что соответствует равенству Парсеваля для дискретных периодических сигналов. Корреляционная функция таких сигналов определяется по формуле круговой свёртки

.

Расчет энергии дискретного сигнала можно выполнить при необходимости, применяя равенство Парсеваля относительно Z - изображений сигнала и его инверсной копии (теорема энергий)

, (2.21)

где  - Z - изображение корреляционной функции.

Умесно заметить, что применительно к случайным сигналам корреляционная функция чаще определяется формулой с весовым множителем , т.е.

,

соответственно для энергетического спектра

,

что приводит к результату, при котором среднее значение случайной величины с ростом N сходится к постоянной величине.

Свертка сигнала с инверсной копией другого сигнала называется взаимной корреляцией этих сигналов.

Похожие работы

Телевизионный приемник с цифровой обработкой

Скачать

74930

24

17

... Студент группы 220352 Чернышёв Д. А. Справка— отчет о патентном и научно- техническом исследовании Тема выпускной квалификационной работы: телевизионный приёмник с цифровой обработкой сигналов. Начало поиска 2. 02. 99. Окончание поиска 25.03.99 Предмет поиска Страна, Индекс (МКИ, НКИ) № ...

Цифровая обработка сигнала (Digital Signal processing)

Скачать

22539

12

0

... 1 – «-» Причем 1-ый разряд слева – знаковый разряд. 16 14 12 10 8 6 4 2 Т 2Т 2. Связи между аналоговыми и дискретными сигналами. При обработке сигнала на ЭВМ необходимо в максимальной степени, чтобы дискретный или цифровой сигнал содержал все признаки аналогового сигнала. При дискретизации возможна потеря информации, которая ...

Старая пластинка: Что такое цифровой звук и реставрация звука с помощью цифровой обработки

Скачать

69191

0

18

... примерно 6%. В общем, в районе 1 - 4 кГц чувствительность уха по всем параметрам максимальна, и составляет не так уж и много, если брать не логарифмированные значения, с которыми приходится работать цифровой технике. Примите на заметку - многое из того, что происходит в цифровой обработке звука, может выглядеть ужасно в цифрах, и при этом звучать неотличимо от оригинала. В цифровой обработке ...

Разработка устройств цифрового формирования и обработки сигналов системы передачи дискретных сообщений по частотно ограниченным каналам связи

Скачать

13573

1

14

... несущими и амплитудно-фазовая модуляция с одной боковой полосой (АФМ-ОБП). 3. Выбор длительности и количества элементарных сигналов, используемых для формирования выходного сигнала В реальных каналах связи для передачи сигналов по частотно ограниченному каналу используется сигнал вида , но он бесконечен во времени, поэтому его сглаживают по косинусоидальному закону. , где  - ...