Навигация
Симметрия и принципы инвариантности в физике
42769
знаков
1
таблица
0
изображений
В. И. Черепанов
Мы с готовностью воспринимаем лишь те физические теории, которые обладают изяществом.
А. Эйнштейн
Слово "симметрия" ("symmetria") имеет греческое происхождение и означает "соразмерность". В повседневном языке под симметрией понимают чаще всего упорядоченность, гармонию, соразмерность. Гармоничная согласованность частей и целого является главным источником эстетической ценности симметрии [1-4]. Кристаллы издавна восхищали нас своим совершенством, строгой симметричностью форм. Симметричные мозаики, фрески, архитектурные ансамбли будят в людях чувство прекрасного, музыкальные и поэтические произведения вызывают восхищение именно своей гармоничностью. Таким образом, можно говорить о принадлежности симметрии к категории прекрасного.
Научное определение симметрии принадлежит крупному немецкому математику Герману Вейлю (1885-1955), который в своей замечательной книге "Симметрия" [1] проанализировал также переход от простого чувственного восприятия симметрии к ее научному пониманию. Согласно Вейлю, под симметрией следует понимать неизменность (инвариантность) какого-либо объекта при определенного рода преобразованиях. Можно сказать,что симметрия есть совокупность инвариантных свойств объекта. Например, кристалл может совмещаться с самим собой при определенных поворотах, отражениях, смещениях. Многие животные обладают приближенной зеркальной симметрией при отражении левой половины тела в правую и наоборот. Однако подчиняться законам симметрии может не только материальный, но и, к примеру, математический объект. Можно говорить об инвариантности функции, уравнения, оператора при тех или иных преобразованиях системы координат. Это в свою очередь позволяет применять категорию симметрии к законам физики. Так симметрия входит в математику и физику, где она также служит источником красоты и изящества.
Постепенно физика открывает все новые виды симметрии законов природы: если вначале рассматривались лишь пространственно-временные (геометрические) виды симметрии, то в дальнейшем были открыты ее негеометрические виды (перестановочная, калибровочная, унитарная и др.). Последние относятся к законам взаимодействий, и их объединяют общим названием "динамическая симметрия".
Принципы инвариантности играют очень важную роль в современной физике: с их помощью обоснованы старые и предсказаны новые законы сохранения, облегчено решение многих фундаментальных и прикладных задач и, что особенно важно, удалось добиться первых успехов на пути объединения фундаментальных взаимодействий. Эти принципы обладают большой общностью. Выдающийся американский физик-теоретик Ю. Вигнер [5] отметил, что эти принципы относятся к законам природы так же, как законы природы относятся к явлениям, т.е. симметрия "управляет" законами, а законы "управляют" явлениями. Если бы не было, например, инвариантности законов природы относительно смещений в пространстве и времени, то вряд ли наука вообще смогла бы устанавливать эти законы.
Читателям, интересующимся общенаучным и философским значением симметрии, можно порекомендовать уже упоминавшуюся книгу Г. Вейля [1] , а также ряд статей и лекций Ю. Вигнера, собранных в его книге "Этюды о симметрии" [5]. На широкий круг читателей рассчитана брошюра А. Компанейца [6]. Для более подготовленных читателей рекомендуем учебную [7-9] и монографическую [10-12] литературу.
Целью настоящей статьи является краткое популярное изложение основных понятий теории симметрии и принципов инвариантности в современной физике.
1. Пространственно-временные виды симметрииРисунок. Оси симметрии куба
Наиболее наглядным видом симметрии является пространственная (геометрическая) симметрия, которая имеет ряд разновидностей: вращательная, зеркальная, трансляционная и др. Например, шар (или сфера) обладает полной вращательной симметрией, т.е. вращение шара вокруг любой оси, проходящей через его центр, на любой угол не меняет положения шара в пространстве; конус имеет полную одноосную симметрию; куб - три оси симметрии 4-го порядка (с поворотами на углы, кратные 2 /4 ), шесть осей симметрии 2-го порядка ( ) и четыре оси симметрии 3-го порядка ( ) (см. рис.). Шар, конус и куб имеют еще плоскости симметрии (первые два - бесконечное число, а куб - девять плоскостей симметрии).
Особым видом симметрии является инверсионная симметрия, при которой каждая точка объекта с радиус-вектором r преобразуется в точку с радиус-вектором -r (при этом радиус-вектор исходит из центра инверсии).
Заметим, что вместо преобразований самого объекта можно производить соответствующие преобразования системы координат: если после преобразования объект в новой системе координат занимает то же положение, что и в старой, то такое преобразование координат есть преобразование симметрии объекта. Такое определение операций симметрии удобнее, когда мы имеем дело с математическими объектами. Если математический объект (функция, оператор, уравнение) остается инвариантным при определенном преобразовании координат, то это преобразование считается преобразованием (операцией) симметрии этого объекта. Например, функции f = f(x2+y2+z2) и (x2+y2) обладают в трехмерном пространстве: первая - сферической, а вторая - аксиальной симметрией.
Совокупность операций симметрии любого объекта образует группу симметрии этого объекта, основное свойство элементов которой состоит в том, что последовательное применение двух операций симметрии g1 и g2 есть опять-таки операция симметрии g3 этого объекта (называемая произведением этих операций g3=g1 x g2 ). Кроме того, для каждой операции симметрии g в этой же совокупности имеется обратная операция g-1 , переводящая объект в первоначальное положение, т.е. gg-1=E - тождественное преобразование. Выполняется также закон ассоциативности (g1g2)g3=g1(g2g3 ). Заметим, что в общем случае g1g2g2g1 (напр., если это повороты вокруг разных осей). Если же для всех элементов группы g1g2=g2g1 , то группа называется абелевой. Часть элементов группы, вновь обладающая всеми свойствами группы, называется подгруппой.
Вращательные операции симметрии шара (сферы) образуют группу вращений R, конуса - группу C , куба - группу O.
Все элементы группы симметрии можно разбить на классы сопряженных элементов, отнеся в каждый класс повороты вокруг эквивалентных осей симметрии или отражения в эквивалентных плоскостях симметрии (эквивалентными называются оси или плоскости, которые могут быть переведены друг в друга с помощью каких-либо операций симметрии из этой же группы). Например, группа симметрии куба O имеет 5 классов: E ,6C4, 3C42, 6C2, 8C3 .
Из сказанного ясно, что можно говорить о симметрии физических законов, коль скоро последние выражаются математическими уравнениями. Например, закон всемирного тяготения гласит, что сила взаимного притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Следовательно, сила притяжения не зависит от положения этой пары в пространстве, а только от расстояния между телами. Это означает, что данный закон инвариантен относительно переноса или вращения этой пары тел в целом (или, с математической точки зрения, относительно переноса или вращения системы координат). Это не было бы так, если бы пространство не было однородным и изотропным. Такая переносная (трансляционная) симметрия является еще одной разновидностью пространственной симметрии.
Другой разновидностью симметрии выступает инвариантность физических законов относительно сдвигов во времени. Правда, согласно представлениям современной космологии, в истории развития Вселенной, по-видимому, были периоды радикальных изменений, однако эти изменения объяснимы с позиций более общих законов, остающихся неизменными с течением времени.
Менее очевидной является инвариантность физических законов при переходе от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой прямолинейно и равномерно. Однако эксперименты показывают, что невозможно установить, которая из этих систем отсчета покоится, а которая движется. Этот факт лег в основу специальной теории относительности, согласно которой физические законы должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. Последние включают специальные преобразования не только координат, но и времени. Эту разновидность симметрии физических законов также можно отнести к разряду геометрических (имея в виду четырехмерную геометрию Минковского).
Выше уже говорилось об инверсионной симметрии. Но обладают ли такой симметрией физические законы? Долгое время считалось, что обладают, пока опыты китаянки Цзяньсюн Ву (США) по изучению -распада ориентированных в магнитном поле ядер кобальта 60Co, проведенные в 1957 г., не показали, что на слабые взаимодействия 1 инверсионная симметрия не распространяется. Однако для большинства физических законов инверсионная симметрия соблюдается.
Подчеркнем следующее важное обстоятельство. Если какое-либо уравнение инвариантно относительно определенных операций симметрии, то это не означает, что все его решения обладают такой же симметрией (хотя для части решений это возможно). Дело в том, что на формирование решений влияют еще начальные и граничные условия. Например, несмотря на то, что гравитационное поле Солнца можно считать сферически симметричным, планеты движутся вокруг Солнца не по круговым, а по эллиптическим траекториям. Другой пример - кристалл, инвариантный при дискретных трансляциях (кратных постоянным решетки), хотя электрические силы, действующие между его атомами, не меняются при любых смещениях кристалла в целом. Симметрия материальных структур, образуемых за счет фундаментальных взаимодействий, может быть намного ниже, чем симметрия последних. Учитывая это, можно говорить о структурной симметрии материальных объектов. Априорное определение возможных видов симметрии устойчивых материальных структур часто представляет собой трудную проблему.
Между тем структурная симметрия равновесного расположения атомов в молекулах или кристаллах играет важную роль в формировании решений основного уравнения квантовой механики (уравнения Шредингера) для состояний более легкой подсистемы электронов в поле тяжелых ядер атомов. Операции структурной симметрии могут переставлять местами только однотипные атомы, не меняя расположения структуры в пространстве. К группам структурной симметрии относятся, например, точечные группы 2 симметрии молекул, пространственные и точечные кристаллографические группы симметрии. Известны 32 точечные и 230 пространственных групп симметрии кристаллов. Первые описывают симметрию окружения для той или иной позиции в кристалле. Вторые, кроме поворотов вокруг осей симметрии, отражений в плоскостях симметрии, инверсионных преобразований кристалла, включают еще дискретные трансляции кристалла. 32 точечные кристаллографические группы были выведены Гесселем в 1830 г., а 230 пространственных групп - известным русским кристаллографом Е.Федоровым и немецким ученым А.Шенфлисом в 1891 г. Интересно, что это было сделано еще до открытия атомной структуры кристаллов.
Похожие работы
... различных видах деятельности; • развитии пространственного воображения и пространственных представлений, образного, пространственного, логического, абстрактного мышления школьников; • формировании умений применять геометро-графические знания и умения для решения различных прикладных задач; • ознакомлении с содержанием и последовательностью этапов проектной деятельности в области технического и ...
... момента импульса происходит как в процессах микромира, так и в масштабах вращающихся звезд и галактик – он имеет всеобщий характер. Связь законов сохранения с симметрией пространства и времени Принципы симметрии тесно связаны с законами сохранения физических величин – утверждениями, согласно которым численные значения некоторых физических величин не изменяются со временем в любых процессах или ...
... , а затем и более фундаментального, одновременно и самого абстрактного (динамического) понимания симметрии. 2. 2.2.Симметрия кристаллов. Правильную, симметричную форму кристаллов издавна объясняли симметричным расположением атомов. Само существование атомов было еще гипотезой, но внешнее проявление стройного порядка заставляло предполагать внутреннюю причину. Быть может, правильные пирамиды, ...
... — указывают на то, что наука отказывается от описания только динамических закономерностей. Законы квантовой физики — статистические. Как пишет В.Гейзенберг, «в экспериментах с атомными процессами мы имеем дело с вещами и фактами, которые столь же реальны, сколь реальны любые явления повседневной жизни. Но атомы или элементарные частицы реальны не в такой степени. Они образуют скорее мир тенденций ...
0 комментариев