Законы сохранения в механике

 ЗМІСТ

ВСТУП 2

ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ СИСТЕМИ. 3

1.1. Потенціальна енергія системи. 3

1.2. Кінетична енергія системи. 6

1.3. Класифікація сил. 7

1.4. Закон збереження енергії. 8

II. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ. 12

2.1. Імпульс частинки. 12

2.2. Імпульс системи. 12

2.3. Закон збереження імпульсу. 14

III. ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ 18

3.1. Момент імпульсу частинки. 18

3.2. Рівняння моментів. 19

3.3. Момент імпульсу і момент сили відносно осі. 21

3.4. Закон збереження моменту імпульсу. 23

ВИСНОВОК 29

ЛІТЕРАТУРА 31

ВСТУП

Закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу відносяться до числа тих найбільш фундаментальних принципів фізики, значення яких важко переоцінити. Роль цих законів особливо зросла після того, як вияснилось, що вони далеко виходять за рамки механіки і представляють собою універсальні закони природи. До цих пір не було виявлено жодного явища, де б порушувались ці закони. Вони безпомилково “діють” і в області елементарних частинок, і в області космічних об’єктів, у фізиці атома і фізиці твердого тіла та являються одними з тих небагатьох загальних законів, які лежать в основі сучасної фізики.

Відкривши можливість іншого підходу до розгляду класичних механічних явищ, закони збереження стали потужним інструментом дослідження, яким кожного дня користуються фізики. Ця найважливіша роль законів збереження як інструмента дослідження обумовлена рядом причин. Закони збереження не залежать ні від траєкторій частинок, ні від характеру діючих сил. Тому вони дозволяють отримати ряд досить загальних і важливих висновків про властивості різних механічних процесів, не занурюючись в їх детальний розгляд за допомогою рівнянь руху. Якщо, наприклад, виявляється, що якийсь процес суперечить законам збереження, то одразу можна стверджувати: цей процес неможливий і безглуздо намагатися його здійснити. Той факт, що закони збереження не залежать від характеру діючих сил, дозволяє використовувати їх навіть тоді, коли сили взагалі невідомі. В цих випадках закони збереження є єдиним і незамінним інструментом дослідження. Так, наприклад, відбувається у фізиці елементарних частинок. Навіть в тих випадках, коли сили відомі, закони збереження допомагають розв’язувати багато задач про рух частинок. Всі ці задачі можуть бути розв’язані за допомогою рівнянь руху, але застосування законів збереження дуже часто дозволяє отримувати розв’язок більш простим шляхом.

ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ СИСТЕМИ.

3 Потенціальна енергія системи.

Розглянемо замкнуту систему, між частинками якої діють тільки центральні сили, тобто сили, які залежать лише від відстані між частинками і напрямлені по прямій, що їх з’єднує.

Покажемо, що в довільній системі відліку робота всіх цих сил при переході системи частинок із одного стану в інший може бути представлена як спадання деякої функції, що залежить тільки від конфігурації самої системи або від відносного розташування її частинок. Цю функцію назвемо власною потенціальною енергією системи (на відміну від потенціальної енергії, яка характеризується взаємодією даної системи з іншими тілами).

Спочатку візьмемо систему з двох частинок. Обчислимо елементарну роботу сил, з якими ці частинки взаємодіють між собою. Нехай в довільній системі відліку в деякий момент часу розташування частинок визначається радіус векторами [pic] і [pic]. Якщо за час [pic] частинки здійснили переміщення [pic] і [pic], то робота сил взаємодії [pic] і [pic] буде дорівнювати:

[pic].

Тепер враховуємо, що згідно третього закону Ньютона [pic], тому попередній вираз можна записати у вигляді:

[pic].

Введемо вектор [pic], який характеризує положення 1-ї частинки відносно 2-ї. Тоді [pic] і після підстановки в вираз для роботи отримаємо:

[pic].

Сила [pic] – центральна, тому робота цієї сили дорівнює спаданню потенціальної енергії взаємодії даної пари частинок, тобто:

[pic].

Оскільки функція [pic] залежить лише від відстані [pic] між частинками, то зрозуміло, що робота [pic] не залежить від вибору системи відліку.

Тепер звернемось до системи з трьох частинок. Елементарна робота, яку здійснюють всі сили взаємодії при елементарному переміщенні всіх частинок, може бути представлена як сума елементарних робіт всіх трьох пар взаємодій, тобто [pic]. Але для кожної пари взаємодій, як було показано, [pic], тому:

[pic], де функція [pic] є власною потенціальною енергією даної системи частинок:

[pic].

Оскільки кожний доданок цієї суми залежить від відстані між відповідними частинками, то очевидно, що власна потенціальна енергія [pic] даної системи залежить від відносного розміщення частинок (в один і той же момент), або, іншими словами, від конфігурації системи.

Зрозуміло, що подібні роздуми справедливі і для системи з довільного числа частинок. Тому можна стверджувати, що кожній конфігурації довільної системи частинок властива своя власна потенціальна енергія [pic], і робота всіх внутрішніх центральних сил при зміні цієї конфігурації дорівнює спаду власної потенціальної енергії системи, тобто:

[pic], а при скінченному переміщенні всіх частинок системи

[pic], де [pic] і [pic] – значення потенціальної енергії системи в початковому і кінцевому станах.

Власна потенціальна енергія системи [pic] – величина неадитивна, тобто вона не дорівнює в загальному випадку сумі власних потенціальних енергій її частин. Необхідно врахувати ще й потенціальну енергію взаємодії [pic] окремих частин системи:

[pic], де [pic] – власна потенціальна енергія [pic]-ї частинки системи.

Слід також мати на увазі, що власна потенціальна енергія системи, як і потенціальна енергія взаємодії кожної пари частинок, визначає з точністю до додавання довільної сталої, яка тут є зовсім несуттєвою.

Запишемо формули для розрахунку власної потенціальної енергії системи. Перш за все покажемо, що ця енергія може бути представлена як:

[pic], (1) де [pic] – потенціальна енергія взаємодії [pic]-ї частинки з усіма іншими частинками системи. Тут сума береться по всім частинам системи.

Переконаємося у справедливості цієї формули спочатку для системи з трьох частинок. Вище було показано, що власна потенціальна енергія даної системи [pic]. Перетворимо цю суму наступним чином. Представимо кожний доданок [pic] в симетричному виді:

[pic], або зрозуміло, що [pic]. Тоді:

[pic].

Згрупуємо члени з однаковим першим індексом:

[pic].

Кожна сума в круглих дужках представляє собою потенціальну енергію [pic] взаємодії [pic]-ї частинки з іншими двома. Тому останній вираз можна переписати так:

[pic], що повністю відповідає формулі (1).

Узагальнення отриманого результату на довільну систему очевидне, оскільки зрозуміло, що подібні міркування зовсім не залежать від числа частинок, які складають систему.

Для системи, взаємодія між частинками якої носить гравітаційний або кулонівський характер, формулу (1) можна перетворити і надати їй іншого вигляду, скориставшись поняттям потенціалу. Замінимо в (1) потенціальну енергію [pic]-ї частинки виразом [pic], де [pic] – маса (заряд) [pic]-тої частинки, а [pic] – потенціал, що утворюють всі інші частинки системи в точці знаходження [pic]-тої частинки. Тоді:

[pic].

Якщо розподілення маси (заряду) в системі неперервне, то додавання зводиться до інтегрування:

[pic], де [pic] – об’ємна густина маси (заряду), [pic] – елемент об’єму.

Тут інтегрування проводиться по всьому об’єму, що займають маси (заряди).

Кінетична енергія системи.

Розглянемо в деякій системі відліку довільну систему частинок. Нехай [pic]-та частинка системи має в даний момент кінетичну енергію [pic]. Приріст кінетичної енергії кожної частинки дорівнює роботі всіх сил, що діють на цю частинку: [pic]. Знайдемо елементарну роботу, яку здійснюють всі сили, що діють на всі частинки системи:

[pic], де [pic] – сумарна кінетична енергія системи. Зауважимо, що кінетична енергія системи – величина адитивна: вона дорівнює сумі кінетичних енергій окремих частин системи незалежно від того, взаємодіють вони між собою чи ні.

Отже, приріст кінетичної енергії системи дорівнює роботі, яку виконують всі сили, що діють на всі частинки системи. При елементарному переміщенні всіх частинок:

[pic], (2) а при кінцевому переміщенні:

[pic]. (3)

Рівняння (2) можна представити і в іншій формі поділивши обидві частинки його на відповідний проміжок часу [pic]. Маючи при цьому на увазі, що [pic], отримаємо:

[pic], (4) тобто похідна кінетичної енергії системи по часу дорівнює сумарній потужності всіх сил, які діють на всі частинки системи.

Рівняння (2)-(4) справедливі як в інерціальних, так і в неінерціальних системах відліку. Слід тільки розуміти, що в неінерціальних системах крім роботи сил взаємодії необхідно враховувати і роботу сил інерції.

Класифікація сил.

Відомо, що частинки системи, яка розглядається, можуть взаємодіяти як між собою, так і з тілами, що не входять в дану систему. У зв’язку з цим дані сили взаємодії між частинками системи називають внутрішніми, а сили, які зумовлені дією інших тіл, що не входять в дану систему – зовнішніми. В неінерційній системі відліку до останніх відносять і сили інерції.

Крім того, всі сили поділяють на потенціальні і непотенціальні. Потенціальними називають сили, які залежать при даному характері взаємодії лише від конфігурації механічної системи. Робота цих сил, як було показано, дорівнює спаду потенціальної енергії системи.

До непотенціальних сил відносять так звані дисипативні сили – це сили тертя і опору. Важливою особливістю даних сил є те, що сумарна робота внутрішніх дисипативних сил системи, яка розглядається, від’ємна, причому в будь-якій системі відліку. Доведемо це.

Довільна дисипативна сила може бути представлена у вигляді:

[pic], де [pic] – швидкість даного тіла відносно іншого тіла (або середовища), з яким воно взаємодіє; [pic] – додатній коефіцієнт, який залежить в загальному випадку від швидкості [pic]. Сила [pic] завжди напрямлена протилежно до вектора [pic]. У залежності від вибору системи відліку робота цієї сили може бути як додатною, так і від’ємною. Сумарна ж робота всіх внутрішніх дисипативних сил – величина завжди від’ємна.

Переходячи до доведення цього, відмітимо перш за все, що внутрішні дисипативні сили в даній системі будуть зустрічатися попарно, причому в кожній парі, відповідно до третього закону Ньютона, вони однакові по модулю і протилежні за напрямом. Знайдемо елементарну роботу довільної пари дисипативних сил взаємодії між тілами 1 і 2 в системі відліку, де швидкості цих тіл в даний момент дорівнюють [pic] і [pic]:

[pic].

Тепер враховуємо, що [pic], [pic] – швидкість тіла 1 відносно тіла 2, а також те, що [pic]. Тоді вираз для роботи перетвориться так:

[pic].

Звідси видно, що робота довільної пари внутрішніх дисипативних сил взаємодії завжди від’ємна, а отже і сумарна робота всіх пар внутрішніх дисипативних сил також завжди від’ємна. Таким чином дійсно:

[pic].

Закон збереження енергії.

Вище було показано, що приріст кінетичної енергії системи дорівнює роботі, яку здійснюють всі сили, що діють на всі частинки системи. Поділивши ці сили на зовнішні та внутрішні, а внутрішні – на потенціальні і дисипативні, запишемо попереднє твердження так:

[pic].

Тепер врахуємо, що робота внутрішніх потенціальних сил дорівнює спаду власної потенціальної енергії системи, тобто [pic]. Тоді попередній вираз приймає вигляд:

[pic]. (5) введемо поняття повної механічної енергії системи або просто механічної енергії, як суму кінетичної та потенціальної енергії:

[pic]. (6) очевидно, енергія [pic] залежить від швидкості частинок системи, характеру взаємодії між ними та конфігурації системи. Крім того, енергія [pic], як і потенціальна енергія [pic], визначається з точністю до приросту несуттєвої довільної сталої і є величиною неадитивною, тобто енергія [pic] системи не дорівнює в загальному випадку сумі енергій її окремих частин. Тоді:

[pic], де [pic] – механічна енергія [pic]-тої частини системи, [pic] – потенціальна енергія взаємодії її окремих частин.

Повернемося до формули (5). Перепишемо її з врахуванням (6) у вигляді:

[pic]. (7)

Цей вираз справедливий при нескінченно малій зміні конфігурації системи. При скінченній зміні матимемо:

[pic], (8) тобто приріст механічної енергії системи дорівнює алгебраїчній сумі робіт всіх зовнішніх сил і всіх внутрішніх дисипативних сил.

Рівняння (7) можна представити і в іншій формі, поділивши обидві частини на відповідний проміжок часу [pic]. Тоді:

[pic], (9) тобто похідна механічної енергії системи по часу дорівнює алгебраїчній сумі потужностей всіх зовнішніх сил і всіх внутрішніх дисипативних сил.

Рівняння (7)-(9) справедливі як в інерціальній, так і в неінерціальній системах відліку. Слід тільки мати на увазі, що в неінерціальній системі відліку необхідно врахувати роботу (потужність) і сил інерції, які відіграють роль зовнішніх сил, тобто під [pic] слід розуміти алгебраїчну суму робіт зовнішніх сил взаємодії [pic] і роботу сил інерції [pic]. Щоб підкреслити цю обстановку, перепишемо рівняння (8) у вигляді:

[pic]. (10)

Отже, ми прийшли до важливого висновку: механічна енергія системи може змінюватися під дією як зовнішніх сил, так і внутрішніх дисипативних сил (тобто під дією алгебраїчної суми робіт всіх цих сил). Звідси, безпосередньо, випливає і другий важливий висновок – закон збереження механічної енергії: в інерціальній системі відліку механічна енергія замкнутої системи частинок, в якій немає дисипативних сил, зберігається в процесі руху, тобто:

[pic]. (11)

Таку систему називають консервативною. Зауважимо, що при русі замкнутої консервативної системи зберігається саме повна механічна енергія, а кінетична і потенціальна в загальному випадку змінюються. Однак ці зміни відбуваються завжди так, що приріст однієї з них дорівнює спаду іншої, тобто [pic]. Зрозуміло, що це положення справедливе в інерціальних системах відліку.

Далі, з рівняння (8) випливає, що якщо замкнута система неконсервативна, тобто в ній присутні дисипативні сили, то механічна енергія такої системи спадає:

[pic]. (12)

Можна сказати: зменшення механічної енергії зумовлене тим, що вона витрачається на роботу проти дисипативних сил, які діють в системі. Однак таке пояснення є формальним, оскільки воно не розкриває фізичної природи дисипативних сил.

Більш глибоке осмислення цього питання привело до фундаментального висновку про існування в природі універсального закону збереження енергії: енергія ніколи не виникає і не зникає, вона може лише переходити з однієї форми в іншу, або обмінюватися між окремими частинами матерії.

При цьому поняття енергії довелось розширити введенням нових форм її – енергія електромагнітного поля, хімічна енергія, ядерна енергія та ін.

Універсальний закон збереження енергії охоплює, таким чином, і ті фізичні явища, на які закони Ньютона не поширюються, Тому він не може бути виведеним із цих законів, а повинен розглядатися як самостійний закон, який представляє собою одне із найбільш широких узагальнень дослідних фактів.

Повертаючись до рівняння (12), можна сказати: при зменшенні механічної енергії замкнутої системи завжди виникає еквівалентна кількість енергії інших видів, які не пов’язані з видимим рухом, в цьому розумінні рівняння (7)-(9) можна розглядати як більш загальне формування закону збереження енергії, в якому вказана причина зміни механічної енергії в незамкнутій системі.

Механічна енергія може зберігатися й у незамкнутих системах, але це відбувається лише в тих випадках, коли згідно з рівнянням (8) зменшення цієї енергії за рахунок роботи проти внутрішніх дисипативних сил компенсується надходженням енергії за рахунок роботи зовнішніх сил.

ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ.

8 Імпульс частинки.

Досвід і відповідний аналіз механічних уявлень показують, що для характеристики механічного руху тіл крім кінетичної енергії [pic] необхідно ввести ще одну величину – імпульс [pic]. Ці дві величини є основними вимірами механічного руху тіл: перша – скалярна, друга – векторна. Обидві вони відіграють центральну роль при побудові механіки.

Перейдемо до більш детального вивчення імпульсу. Перш за все запишемо основне рівняння динаміки Ньютона через імпульс:

[pic], (13) тобто похідна імпульсу матеріальної точки по часу дорівнює діючій на неї силі. В частинному випадку, коли [pic], то [pic].

Зауважимо, що в неінерціальній системі відліку сила [pic] включає в себе не тільки сили взаємодії даної частинки з іншими тілами, але і сили інерції.

Рівняння (13) дозволяє знайти приріст імпульсу частинки за довільний проміжок часу, якщо відома залежність сили [pic] від часу. Дійсно, з (13) випливає, що елементарний приріст імпульсу частинки за проміжок часу [pic] є [pic]. Проінтегрувавши цей вираз по часу, знайдемо приріст імпульсу частинки за скінченний проміжок часу [pic]:

[pic].

Якщо сила [pic], то вектор [pic] можна винести з-під інтеграла і тоді [pic]. Величину, яка стоїть в правій частині цього рівняння, називають імпульсом сили. Таким чином, приріст імпульсу частинки за довільний проміжок часу дорівнює імпульсу сили за той же час.

Імпульс системи.

Розглянемо довільну систему частинок. Введемо поняття імпульсу системи як векторну суму імпульсів її окремих частинок:

[pic], (14) де [pic] – імпульс [pic]-тої частинки. Зазначимо, що імпульс системи – величина адитивна, тобто імпульс системи дорівнює сумі імпульсів її окремих частин незалежно від того, взаємодіють вони між собою чи ні.

Знайдемо фізичну величину, яка визначає зміну імпульсу системи. Для цього продиференціюємо рівняння (14) по часу:

[pic], але [pic], де [pic] – сила, що діє на матеріальну точку. Тоді:

[pic], де [pic] - сили, що діють на [pic]-ту частинку збоку інших частинок системи (внутрішні сили); [pic] – сила, що діє на цю ж частинку збоку інших тіл, які не входять в розглядувану систему (зовнішні сили). Підставивши останній вираз в попередній, отримаємо:

[pic].

Подвійна сума справа – це сума всіх внутрішніх сил. Відповідно до третього закону Ньютона сили взаємодії між частинками системи попарно однакові по модулю і протилежні за напрямком. Тому результуюча сила в кожній парі взаємодії дорівнює нулю, а тому дорівнює нулю і векторна сума всіх внутрішніх сил. В результаті рівняння прийме вигляд:

[pic], (15) де [pic] – результуюча всіх зовнішніх сил, [pic].

Рівняння (15) означає: похідна імпульсу системи по часу дорівнює векторній сумі всіх зовнішніх сил, що діють на частинки системи.

Із рівняння (15) випливає, що приріст імпульсу системи за скінчений проміжок часу [pic] буде:

[pic], (16) тобто приріст імпульсу системи дорівнює імпульсу результуючої всіх зовнішніх сил за відповідний проміжок часу. І тут [pic] – результуюча всіх зовнішніх сил.

Рівняння (15) і (16) справедливі як в інерціальній, так і в неінерціальній системі відліку. Слід тільки мати на увазі, що в неінерціальній системі відліку необхідно враховувати і дію сил інерції, що відіграють роль зовнішніх сил.

Закон збереження імпульсу.

Застосування другого та третього законів динаміки до системи, яка складається із декількох взаємодіючих тіл, приводить до дуже важливих висновків, з яких випливає закон збереження імпульсу.

Розглянемо систему, яка складається з [pic] частинок (матеріальних точок). Позначимо через [pic] силу, з якою [pic]-та частинка діє на [pic]- ту (перший індекс вказує на номер частинки, на яку діє сила, другий індекс – номер частинки, взаємодією якої обумовлена ця сила). Символом [pic] позначимо результуючу всіх зовнішніх сил, що діють на [pic]-ту частинку. Напишемо рівняння руху всіх [pic] частинок:

[pic],

[pic],

...

[pic] [pic],

...

[pic] [pic],

([pic] – імпульс [pic]-тої частинки).

Додамо всі ці рівняння. Зліва отримаємо похідну по часу від сумарного імпульсу системи:

[pic].

Справа відмінною від нуля буде лише сума зовнішніх сил [pic]. Дійсно, суму зовнішніх сил можна представити у вигляді:

[pic].

Згідно з третім законом Ньютона кожна із дужок буде дорівнювати нулю. Відповідно, сума внутрішніх сил, що діють на тіла системи, завжди дорівнює нулю:

[pic].

Тоді отримаємо:

[pic].

Таким чином, похідна по часу від сумарного імпульсу системи дорівнює сумі зовнішніх сил, які діють на тіла системи.

Якщо система замкнута, зовнішні сили відсутні і права частина останнього рівняння дорівнює нулю. Тому відповідно [pic], а звідси випливає, що [pic].

Таким чином, ми прийшли до важливого висновку, а саме – закону збереження імпульсу: в інерціальній системі відліку імпульс замкнутої системи частинок залишається постійним, тобто не змінюється з часом.

При цьому імпульси окремих частинок замкнутої системи можуть змінюватися. Однак ці зміни завжди відбуваються так, що приріст імпульсу однієї частини системи дорівнює спаданню імпульсу частини системи, що залишилась. Іншими словами, окремі частини замкнутої системи можуть лише обмінюватися імпульсами. Спостерігаючи в деякій системі приріст імпульсу, ми можемо стверджувати, що цей приріст відбувся за рахунок спаду імпульсу в оточуючих тілах.

В цьому розумінні рівняння (15) і (16) слід розглядати як більш загальне формулювання закону збереження імпульсу, в якому вказана причина зміни імпульсу в незамкнутій системі – дія інших тіл (зовнішніх сил). Вище сказане, зрозуміло, справедливе по відношенню до інерціальних систем відліку.

Імпульс може зберігатися і в незамкненій системі при умові, що результуюча всіх зовнішніх сил дорівнює нулю. Це безпосередньо витікає з рівнянь (15) і (16). У практичному відношенні збереження імпульсу в цих випадках являє особливий інтерес, тому що дає можливість отримувати досить простим шляхом ряд свідчень про поведінку системи, не заглиблюючись в детальний розгляд процесу.

У незамкнутій систему може зберігатися не сам імпульс, а його проекція [pic] на деякий напрям [pic]. Це буває тоді, коли проекція результуючої зовнішньої сили [pic] на напрямок [pic] дорівнює нулю, тобто вектор [pic] перпендикулярний йому. Дійсно, спроектувавши рівняння (15), отримаємо:

[pic], звідки випливає, що якщо [pic], то [pic].

В основі закону збереження імпульсу лежить однорідність простору, тобто однаковість властивостей простору в усіх точках. Паралельне перенесення замкнутої системи з одного місця в інше без зміни взаємного розташування і швидкостей частинок не змінює механічних властивостей системи. Поведінка системи на новому місці буде такою ж, якою вона була на минулому місці.

Роздуми, які привели нас до закону збереження імпульсу, цілком спиралися на справедливість законів Ньютона. Вважалося, що матеріальні точки замкнутої системи взаємодіють між собою попарно і ця взаємодія підкоряється третьому закону Ньютона.

А що відбувається у випадку систем, які не підкоряються законам Ньютона, наприклад в системах з електромагнітним випромінюванням?

Відповідь на це запитання дає досвід, який показує, що закон збереження імпульсу виявляється справедливим і для таких систем. Однак в цих випадках в загальному балансі імпульсу необхідно враховувати не лише імпульси частинок, але й імпульс, яким володіє саме поле випромінювання.

Таким чином, досвід показує, що закон збереження імпульсу являє собою фундаментальний закон природи, який не знає жодних винятків. Але в такому широкому розумінні він вже не є наслідком законів Ньютона, а повинен розглядатися як самостійний загальний принцип, що є узагальненням фактів.

ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ