Законы сохранения механики

Содержание

 

Лабораторная работа №1. Лабораторная установка «Модель копра»

Лабораторная работа №2. Определение скорости пули методом физического маятника

Лабораторная работа №3. Лабораторная установка «Маховик»

Лабораторная работа №4. Лабораторная установка «Наклонная плоскость»

Лабораторная работа №5. Определение объёма и плотности тела, вычисление погрешностей

Лабораторная работа №6. Определение момента инерции и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний

Лабораторная работа №7. Определение модуля сдвига при помощи крутильных колебаний

Лабораторная работа №8. Исследование прямолинейного движения тел в поле тяжести на машине Атвуда

модель копра теорема штейнера

Лабораторная работа №1

 

ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «МОДЕЛЬ КОПРА»

Цель работы: Лабораторная установка «Модель копра» позволяет иллюстрировать применимость законов сохранения в механике: закона сохранения импульса, закона сохранения полной механической энергии, а также закона изменения полной механической энергии.

При работе на данной установке определяется сила сопротивления грунта при забивке сваи, оценивается доля энергии, затраченной на деформацию при неупругом ударе, а также замкнутость системы копр – свая.

Принадлежности: установка «Модель копра», габаритные размеры:

длина – не более 420 мм ширина – 100±5 мм

высота – не более 650 мм

масса – не более 8 кг

масса гири – (435±1) г

масса груза m₁ – (319±1) г

масса сваи m₂ – (121±1) г Состав изделия и комплект поставки:

– основание установки в сборе с разрезной втулкой и сваей – 1 шт.

– направляющая в сборе с защелкой и грузом – 1 шт.

– рычаг – 1 шт.

– гиря – 1 шт.

Устройство и принцип работы

Модель копра (рис. 1) состоит из груза 1, который может перемещаться по вертикальной направляющей, и сваи 2, которая с большим трением скользит в разрезной втулке 3. Сила трения между сваей и втулкой создается за счет силы нормального давления на одну из половин втулки со стороны малого плеча рычага 4. По рычагу 4 скользит гиря 5, передвигая которую можно изменять силу нормального давления.

Для удержания груза 1 на некоторой высоте служит защелка 7, которую можно перемещать по направляющей и закреплять в нужном положении стопорными винтами. Для закрепления груза последний поднимается с небольшим усилием до соприкосновения с защелкой. Освобождение груза производится нажатием на ручку 8 защелки.

Высота груза и сваи до и после удара измеряется по вертикальной линейке с помощью указателей, прикрепленных к грузу и свае.

При определении силы сопротивления грунта можно четко разграничивать три этапа движения груза и сваи:

1) почти свободное падение груза (трением между грузом и направляющей можно пренебречь);

2) неупругое взаимодействие (неупругий удар) между сваей и грузом;

3) совместное движение сваи и груза после удара до полной остановки.

Рассмотрим последовательно все этапы движения. При падении груза с высоты Н потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием груза с Землей, переходит в кинетическую энергию движения груза. Здесь имеет место закон сохранения полной механической энергии, так как в системе груз – Земля внутренняя сила консервативна, а работа внешних сил равна нулю, т. е. имеет место равенство DW=DW_k+DW_n= 0.

На данном этапе изменение кинетической энергии груза

DW=m₁v₁²/2,

где m₁ – масса груза, v₁ – скорость груза непосредственно перед ударом о сваю.

Изменение потенциальной энергии груза определяется тем, что он опустился с высоты Н, на которую был поднят над сваей, – m₁gH. Следовательно, изменение полной механической энергии

DW= m₁ v₁²/2 – m₁gH=0.

Отсюда можно найти скорость груза v₁ непосредственно перед ударом о сваю:

V₁ = (2gH)^1/2. (1)

При дальнейшем движении груза происходит неупругое соударение со сваей, т. е. такое, при котором после удара соударяющиеся тела движутся с некоторой общей скоростью, целиком сохраняя возникшую при ударе взаимную деформацию.

При ударе груза о сваю можно применить закон сохранения импульса, так как систему можно считать приближенно замкнутой. Действительно, на систему груз – свая действуют как внешние силы (силы тяжести груза и сваи и сила сопротивления грунта), так и внутренние силы, развивающиеся между телами при соударении. Строго говоря, данная система не является замкнутой, но при условии, что внешние силы много меньше внутренних, систему можно считать приближенно замкнутой и, следовательно, применить закон сохранения импульса:

m₁v₁=(m₁+m₂)v₂ , (2)

где m₂ – масса сваи, v₂ – общая скорость сваи и груза после удара.

Из (1) и (2) следует, что:

v₂=m₁v₁/(mi+m₂)=m₁(2gH)^1/2/(m₁+m₂) (3)

После неупругого удара груз и свая начинают двигаться замедленно до полной остановки. На этом этапе движения сила сопротивления фунта, являющаяся диссипативной, совершает работу, поэтому полная механическая энергия системы груз – свая – Земля не сохраняется:

DW=DW_K +DW_п=Адис, (4)

то есть изменение полной механической энергии системы равно работе сил сопротивления грунта. Если сравнить два состояния системы, первое из которых соответствует началу совместного движения груз – свая после их соударения, а второе – окончанию движения, то изменение кинетической энергии системы можно записать так:

DW_K=W_K2 – W_K1 = -(m₁+m₂)v₂²/2. (5)

Изменение потенциальной энергии будет равно:

DW_П=W_П2 – W_П1 = -(m₁+m₂)gS, (6)

где S – перемещение груза и сваи от начала совместного движения до полной остановки.

На участке S сила сопротивления грунта f совершает работу А_дис=fS=fScosa, где a – угол между направлением силы и перемещением. Угол a=p, так как сила и перемещение взаимно противоположны. Следовательно, работа силы будет отрицательной:

А_дис= – fS. (7)

Под величиной силы f подразумевается среднее значение силы сопротивления, то есть f=fcp. Подставляя (5), (6), (7) в уравнение (4), получим:

–(m₁+m₂)v₂²/2 – (m₁+m₂)gS = – fS. (8)

Если в уравнение (8) подставить значение скорости, найденное по формуле (3), можно записать:

m₁²gH/(m₁+m₂) + (m₁+m₂)gS = fS.

Разделив обе части на S, получим окончательно:

f=[(m₁²H/[S(m₁+m₂)] + m₁+m₂]g. (9)

При неупругом ударе часть механической энергии расходуется на деформацию тел, превращаясь в конечном итоге в тепловую энергию. Потерю механической энергии можно подсчитать как разность механических энергий системы после и до удара:

DW = (m₁ +m₂)v₂²/2 – m₁ v₁²/2.

Подставив из (3) значение скорости v₂ и из (1) скорость v₁, имеем:

DW = m₁²gH/(m₁+m₂)-m₁gH = m₁gH[m₁/(m₁+m₂)-1] = m₁m₂gH/(m₁+m₂).

Удобнее не определять абсолютную величину потерь механической энергии, а рассчитывать долю механической энергии, затраченную на деформацию тел при неупругом соударении:

DW/W_K2 = m₁gHm₂/ m₁gH(m₁ + m₂)= m₂/(m₁+ m₂). (10)

Анализ этого выражения позволяет сделать вывод: при забивке сваи масса груза m₁ должна быть значительно больше массы сваи m₂. Только в этом случае большая доля первоначальной энергии пойдет на забивку сваи.

Подготовка изделия к работе

1. Установить и закрепить на основании направляющую с защелкой и грузом.

2. Закрепить рычаг в основании.

3. Установить на рычаг гирю.

4. Собранную установку поместить на горизонтальную поверхность.

Порядок выполнения работы

1. Установить гирю 5 (см. рис. 1) на некотором расстоянии от оси вращения рычага 4.

2. Поднять сваю до предела и подобрать наибольшую высоту Н – такую, чтобы после удара свая не касалась втулки 3.

3. Подобрав нужную высоту, записать положение указателя сваи до удара S₁ (рис. 1).

4. Поднять груз на выбранную высоту и закрепить его там. Записать положение указателя груза H₁.

5. Нажать кнопку 8 защелки. Записать положение указателя сваи после удара S₂.

6. Повторить опыт при тех же значениях H₁ и S₁ пять раз.

7. Следующую серию измерений проделать при том же начальном положении сваи и гири, но изменить высоту падения груза H₁ при условии выполнения пункта 2. Повторить опыт пять раз. Результаты записать в табл.

8. Переставить гирю 5 на большее расстояние от оси вращения рычага. Провести третью серию измерений при тех же значениях H₁ и S₁, что и в пункте 7. Опыт повторить 5 раз.

Результаты измерений: S₁=…..., DS₁=.…..

Серия	№ опыта	H1	S1	H=H1-S1	S2	S2cp	S=S1-S2	f
1	1 . . 5
2	1 . . 5
3	1 . . 5

Для данной серии (по указанию преподавателя) записать погрешность

DН=(D Н₁² + DS₁²)^1/2, D S =(DS₁²+ DS₂²)^1/2.

 

Обработка результатов опытов

1. По формуле (9) рассчитать среднюю силу сопротивления для каждой серии опытов.

2. Для указанной серии измерений определить погрешность силы. Пренебрегая погрешностью ускорения свободного падения и учитывая, что m₁= m₂, получим:

(Df)² =2g²m²+[m₁²gH/S(m₁+m₂)]²

´ [4(Dm/m₁)²+2m₂/(m₁+m₂)²+(DH/H)²+(DS/S)²]^1/2.

В полученной формуле можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым. Окончательная формула для расчета погрешности имеет вид:

 

 (Df)²=[m₁²gH(DS/S(m₁+m₂)]²[4(Dm/m₁)²+2Dm/(m₁+m₂)²+(DH/H)² +DS/S)²]. (11)

3. Записать окончательный результат в виде

f= fcp±f.

4. Определить долю энергии, затраченной на деформацию тел – формула (10).

5. Рассчитать внутренние силы, действующие в системе груз – свая во время неупругого взаимодействия тел. Для этого, используя для груза m₁ соотношение D (mv) = F Dt, можно записать, что

m₁(v₂ – v₁))/ Dt = m₁g + F₁,

где v₁ – скорость груза перед ударом, v₂ – скорость груза и сваи после удара, Dt – время соударения, которое равно 2×10^–4 с. Подставив значения скоростей из (1) и (3), получим формулу для расчета внутренней силы:

F = m₁g + m₁(2gH)^1/2[1 – m₁/(m₁ + m₂)]/ Dt.