ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ ДИСКОМ

2.1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ ДИСКОМ

В § 9.3 было получено интегральное уравнение (9.39) для резонатора с диэлектрическим телом в виде шара. Та­кая форма диэлектрика хороша для анализа, но неудобна для практики.

Обычно приходится иметь дело с диэлектрическими образца­ми более сложной формы, в частности с диэлектрическим диском. В такой ситуации получить аналитическое выражение для ядра не удается, однако это не является препятствием для нахождения решения задачи.

Действительно, ядро уравнения для резонатора с шаром (9.39) — это сумма ядра для пустого резонатора и дополнитель­ного члена, представляющего собой поле, рассеянное шаром.

Запишем уравнение для резонатора с диском в аналогичном виде, поскольку физическая картина явлении одна и та же:

(9.45)

Здесь  - ядро пустого резонатора; Т — ядро, связанное с рас­сеянием на диэлектрическом образце. Обсудим, что в сущности делается при решении уравнения (9.39) методом Галеркина. Для определенности будем считать, что в качестве базисных и весо­вых (см. приложение 2) взяты собственные функции резонатора без шара, которые обозначим  и будем считать ортонормированными.

С первым слагаемым ядра все ясно, базисные функции являются его собственными, и действие интегрального оператора с та­ким ядром эквивалентно умножению на постоянную, являющую­ся собственным значением пустого резонатора:

(9.46)

Интегральный оператор со вторым слагаемым ядра представ­ляет собой магнитное поле тока на зеркалах, рассеянное шаром. Плотность тока задается в виде , а рассеянное поле рассчи­тывается на поверхности зеркала. При решении (9.39) расчет рас­сеянного шаром поля проводится аналитически. Однако ту же процедуру можно произвести численно, и тогда ограничения на формулу диэлектрического образца в значительной степени сни­маются.

Для расчета рассеянного поля будем применять интегральное уравнение (3.85). Диэлектрический образец может быть произ­вольным телом вращения, в частности диском.

После этих общих соображений рассмотрим процедуру реше­ния (9.45) последовательно. Функция U(x) ищется в виде

(9.47)

В соответствии с методом Галеркина (см. приложение 2) подставляем (9.47) в (9.45), затем умножаем на  и повторно ин­тегрируем по образующей зеркала. С учетом ортонормированности базисных функций имеет однородную СЛАУ

(9.48)

где  - собственные числа уравнения невозмущенного резонато­ра [см. (9.46)].

Элементы матрицы СЛАУ выражаются интегралами

(9.49)

Последнюю формулу надо понимать как символическую. Она эквивалентна процедуре расчета рассеянного поля, описанной вы­ше. Остановимся на ней подробнее.

Вначале необходимо найти поле на поверхности диэлектричес­кого тела, созданное током вида  на зеркалах. Это можно было бы сделать с помощью (3.8), (3.9), однако есть более простой путь, если ограничиться рассмотрением тел небольших, на по­рядок меньших диаметра зеркал. Тогда можно воспользоваться приближенным выражением для поля в резонаторе, соответствую­щим приближенным функциям токов на зеркалах. На рис. 9.6 представлены графики распределения токов на зеркалах, соответ­ствующие низшему типу колебаний  и колебанию, имеюще­му вариацию по радиусу . Резонатор конфокальный с па­раметром . Вблизи оси плотность тока, описываемая гиперсфероидальными функциями (кривые 1), практически не отли­чаются от экспоненциальной функции, умноженной на полиномы Лагерра (кривые 2), т. е. от гауссова пучка [68]. Радиальное распределение отличается только масштабом по радиусу.

Таким образом, будем описывать поле в резонаторе вблизи его центра приближенным .выражением в виде гауссова пучка

(9.50)

где

;

R - радиус кривизны волнового фронта; W — радиус «освещен­ного пятна» в пучке. Последняя величина определяется как радиус, на

Рис. 9.6. Сравнение точных и приближенных кривых для гиперсфероидальных функций:

1 - точные, 2 - приближенные кривые

котором интенсивность пучка спадает в е раз по отно­шению к центру пучка. Характерной величиной для каждого пуч­ка является наименьший радиус «пятна» . Применительно к резонатору - это радиус «пятна» в центре, который связан с длиной резонатора ¹:

(9.51)

¹ Как и ранее, все длины предполагаются умноженными на волновое число, которое здесь соответствует действительной части собственной частоты невозмущенного резонатора.

Величины W и R медленно меняются вдоль резонатора:

(9.52)

(9.53)

В центре резонатора  Естественно в резо­наторе существуют не один, а два встречных гауссовых пучка, и вблизи центра поле основной моды в приближении гауссова пуч­ка имеет вид

(9.54)

На зеркале  для конфокальной геометрии резонатора в соответствии с (9.51)—(9.53) , и распределение тока имеет вид¹

(9.55);

Для следующего колебания «1, 0, q» поле в центре резонатора представляется формулой

(9.56)

и на зеркалах

(9.57)

Таким образом, поле в резонаторе без образца, соответствующее различным модам, в приближении гауссова пучка нетрудно запи­сать. Оно играет роль первичного поля для задачи возбуждения диэлектрического образца.

Вычисляем эквивалентные токи на поверхности диэлектрика в предположении, что основная поляризация поля . В обозначе­ниях § 3.3 имеем:

¹ Напомним, что в открытых резонаторах с круглыми зеркалами принята следующая индексация мод : первый индекс - число вариаций по R, второй - число вариаций по , а третий - число вариаций по

(9.58)

Теперь необходимо возвратиться к азимутальным гармоникам вида , поскольку ЭВМ — программы для диэлектричес­ких тел вращения сделаны применительно к ним. Первичные то­ки представляют собой сумму первой и минус первой гармоник. Каждую из них можно выделить, используя формулу Эйлера. В результате решения задачи возбуждения диэлектрического тела, а конкретно диска, получаем значения эквивалентных токов в дискретных и достаточно часто расположенных точках образую­щей. Зависимость от  этих токов известная. Если объединить то­ки первой и минус первой гармоник, она будет такой же, как и у первичных токов (9.58).

Следующий этап — вычисление рассеянных диском полей на зеркалах. Для этого используются формулы (3.8), (3.9). Выра жения для элементов тензорной функции Грина следует упрос тить, как и при выводе уравнений (9.5)—(9.8), т. е. положить , а для функции  использовать асимптотичес­кую формулу (9.22). Последняя содержит множитель, учитываю­щий набег фазы на половине размера резонатора (расстояние от образца до одного из зеркал). Такой же набег фаз имеется в первичном для диэлектрического образца поле. Этот сдвиг при­сутствует также в (9.56) и (9.57). Все это позволяет вынести за знак интеграла множитель , такой же, как и из основного ядра. Этот множитель, как и ранее, дает основную час­тотную зависимость. Ядра без него от частоты зависят слабо, и в них частота полагается равной действительной части собственной частоты пустого генератора.

Теперь уже можно вычислить элементы матрицы (9.48). Для определения элемента  берется рассеянное поле, возбужденное нулевой модой пустого резонатора, т. е. , затем оно в соот­ветствии с (9.49) домножается на (9.55) и интегрируется. При этом необходимо помнить, что базисные функции предполагались нормированными. Поэтому функцию (9.55) необходимо предвари­тельно пронормировать. В силу осевой симметрии системы по­верхностный интеграл (9.49) можно представить в координатах вращения. Интеграл по  берется аналитическим, а по радиаль­ной координате  - численно. Остальные элементы  отыски­ваются точно так же.

Далее решается задача на собственные значения, а затем с по­мощью формул (9.40) и (9.41) находятся изменения добротности и сдвиг частоты.

Похожие работы

Реконструкция участка обработки осадков очистной станции канализации г. Челябинска

Скачать

157522

16

14

... быть использована в качестве присадочного материала при подготовке осадка к обезвоживанию. Это позволяет снизить расход химических реагентов. Проектирование новых и реконструкцию существующих комплексов для обработки осадков на очистных станциях и установках рекомендуется выполнять применительно к унифицированным производительностям очистных установок и станций, а также к местным условиям и ...

Использование метода репертуарных решеток в целях коррекции профессиональных мотивов у студентов технических вузов

Скачать

28594

0

0

... педагогические условия и приемы, обеспечивающие их коррекцию путем переструктурирования мотивационной сферы личности и расширения у студентов взаимосвязей учебно-профессиональных и физкультурных мотивов. Существенной особенностью данного исследования было использование метода репертуарных решеток, что позволило изучать у студентов мотивы и их структуры, максимально приближенные к независимой от ...

Технология возделывания картофеля

Скачать

83822

13

0

... (в фазе трех-пяти листьев у сорняков). При использовании гербицидов количество механических операций можно сократить. Обработку гербицидами начинают за З-4 дня до появления всходов.  В интенсивной технологии возделывания картофеля важное мecтo занимает окучивание. Задача окучивания – не только уда­ление сорняков, рыхление почвы вокруг растений и создание лучших условий для клубнеобразования, но ...

Анализ и моделирование методов когерентной оптики в медицине и биологии

Скачать

105404

0

19

... перемещений лежит от долей микрона до нескольких миллиметров. Голографическая интерферометрия и спекл-интерферометрия являются двумя широкими областями, используемыми для обнаружения перемещений методами когерентной оптики. Кратко рассмотрим каждую из них, чтобы иметь возможность сравнивать их между собой. Голографическая интерферометрия основывается на достоинстве голографии (т. е. возможности ...