МЕТОД СВЧ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛИМЕРОВ

3 МЕТОД СВЧ КОНТРОЛЯ ПАРАМЕТРОВ ПОЛИМЕРОВ

Для контроля технологических параметров полимеров (качества смещения, определение включений, вязкости) находят применение радиоволновые метода СВЧ. Рассмотрим метод, который характеризуется определением объёмной эффективной площади рассеяния ( ЭПР ).

ЭПР это площадь поперечного сечения некоторого фиктивного тела, которое рассеивает электромагнитную в одну, ЭПР существенно зависит от формы м ориентации тела, от его материала ЭПР, разрешаемого объема  заполненного частицами ( элементарными отражателями), выражается произведением . Так для реальных полимерных материалов требуется знать распределение частиц во размерам  размеры частиц в единице объёма распределены по  групп и в 1-й группе содержится частиц с аффективной площадью рассеяния , то удельная объёмная ЭПР

(1)

ЭПР одной сферической частицы, диаметр которой много меньше длины волны, определяется формулой

(2)

Коэффициент , выраженный через комплексный показатель преломления  изменяется от  для частиц наполнителя.

Практически для большинства объектов полимерных структур

с наполнителем удельную ЭПР можно выразить формулой

(3)

Множитель

(4)

можно назвать отражаемостью, которая зависит от концентрации и размера частиц в разрезаемом элементе.

Изменение базы волны ври отражении можно определить из отпадения напряженностей поля падающей () и отраженной () волн:

, (5)

Модель этой комплексной величины , имеющей размерность длины, определяет интенсивность отражения. Аргумент указывает на изменение фазы волны при отражении.

Если рассматривать прием и передачу на одну и туже антенну, т.е. одинаковой ( согласованной) поляризацией, умножим выражение на комплексно сопряженную величину

 ,

В результате получаем

Это означает, что если эффективная площадь  - площадь квадрата, то модель эффективной длины  - это сторона того квадрата; - - точное расстояние до источника, определяющего фазу колебаний .

Для поляризованного колебания напряженность регулярного электромагнитного поля выражается вектором , который вращается с угловой скоростью  и конец которого описывает эллипс в плоскости перпендикулярной направлению распространения. Если распространение происходит в направлении оси прямоугольной системы координат , определяемой ортами ,то эллиптически поляризованная волна выражается составляющими к полностью описывается четырьмя параметрами: амплитуда , и фазами y. Однако не все эти параметры характеризуют поляризацию. Одинаково поляризованными называются волны, у которых эллипсы поляризации подобны и одинаково ориентированы. Абсолютное значение амплитуд, влияющие лишь на размеры эллипсов поляризации, начальная фаза  , одинаковая для обеих составляющих, ив является поляризационными характеристиками.

Следовательно состояние поляризации плоской волны можно полностью определить двумя параметрами (рис.1 ).

Рис.1 Эллиптически поляризованная плоская волна

В качестве таких параметров могут служить отношение амплитуд  и сдвиг фаз y ортогональных составляющих; отношение амплитуд часто заменяют углом . Поляризацию можно также задать величинами, непосредственно характеризующими форму и ориентацию эллипса: отношение главных осей эллипса  углом  и углом наклона главной оси  (рис.1).

Система координат , в которой представлено поляризованное колебание, может быть задана парой единичных взаимно перпендикулярных векторов , . Такие ортогональные векторы - орты - называются поляризованным базисом.

В поляризованном базисе ( ,  ) вектор можно представить выражением

где ,  и ,  - модули и фазы комплексных амплитуд, составляющих напряженности электрического поля соответственно. Если , то поляризация линейна, при  она эллиптическая. При круговой поляризации амплитуды составляющих одинаковы, а фазы сдвинуты на 90°.

Поляризационные преобразования при отражении можно представить уравнениями

связывающими ортогональные составляющие напряженности ноля падающей () и отраженной () волн, взятых в одном и том же поляризационном базисе (). Пару этих выражений можно записать в матричной форме.

Таблицу комплексных величин

называют матрицей рассеяния. В данной записи матрица рассеяния образована поляризационными составляющими эффективной длины цели.

В дальнейшем будем рассматривать в качестве основной характеристики цели матрицу эффективной длины

Матрицу эффективной длины целесообразно представить в виде

где

Таким образом, чтобы получить матрицу эффективной длины цели для однокомпозиционной схемы измерения ( т.е. антенна является приемной к передающей достаточно найти значения модулей матрицы  и размерностей их аргументов .Для этог0 осуществляют излечение и прием сигналов для двух составляющих выбранного поляризационного базиса раздельно.

При излучении электромагнитных воли вертикальной поляризации и при приеме вертикально и горизонтально поляризованных составляющих отраженного сигнала, можно измерить модули  и разность фаз . При излучении величин с горизонтальной линейной поляризацией находят соответственно  и . Основная трудность появляется при прямом измерении разности фаз . Для этого требуется излучать раздельно по времени либо по частоте два зондирующих колебания: с горизонтальной и вертикальной поляризацией.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фок В. А. Дифракция на выпуклом теле. - ЖЭТФ, 1945, т. 15, № 12, с. 693 - 698

2. Васильев Е. Н. Возбуждение гладкого идеально проводящего тела вращения. - Изв. Вузов СССР. Сер. Радиофизика, 1959, т. 2, № 4, с. 588 - 601.

3. Андерсеан А. Д. Рассеяние на цилиндрах с произвольным поверхностным импедансом. - ТИИЭР, 1965, т. 53, № 8, с. 1007-1013.

4. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. - М.: Мир, 1964. - 428 с.

5. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. - М.: Радио и связь, 1983 - 296 с.

6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1984. - 271 с.

7. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 735 с.

8. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттры. - М.: Мир, 1977. - 485 с.

9. Панасюк В. В., Саврук М. П., Назарчук З. Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двухмерных задачах дифракции. - Киев: Наукова думка, 1984. - 343 с.

10. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. - М.: Наука, 1970, - 420 с.

11. Хижняк Н. А. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред. - ЖТФ, 1958, т. 28,№ 7, с. 1592 - 1604.

12. Кравцов В. В. Интегральные уравнения в задачах дифракции. - В кн.: Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд-во МГУ, 1966, вып. У, с. 260 - 293.

13. Васильев Е. Н., Гореликов А. И., Фалунин А. А. Тензорная функция Грина координатах вращения. - В кн.: Сб. научно-методических статей по прикладной электродинамике. - М.: Высшая школа, 1980, вып. 3, с. 3 - 24.

14. Белостоцкий В. В., Васильев Е. Н. Интегральное уравнение сферического открытого резонатора с диэлектрическим шаром. - В кн.: Вычислительные методы и программирование. - М.: Высшая школа, 1978, вып. 2, с. 101 - 111

15. Васильев Е. Н., Серегина А. Р., Седельникова З. В. Дифракция плоской волны на теле вращения, частично покрытом слоем диэлектрика. - Изв. Вузов СССР. Сер. Радиофизика, 1981, т. 24, № 6, с. 753 - 758

16. Хемминг Р. В. Численные методы. - М.: Наука, 1972. - 400 с.

17. Васильев Е. Н., Малов В. В., Солохудов В. В. Дифракция поверхностной волны на открытом конце круглого полубесконечного диэлектрического волновода. - Радиотехника и электроника, 1985, т. 30, № 5, с. 925 - 933.

18. Фокс А., Ли Т. Резонансные типы колебаний в интерферометре квантового генератора. - В кн.: Лазеры. - М.: ИЛ, 1963. - 155 с.

19. Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Строгая постановка задачи о свободных и вынужденных колебаниях открытого резонатора. - Радиотехника и электроника, 1967, т. 12, 11, с. 1184- 1193.

20. Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. - М.: Сов. радио, 1966. - 475 с.

21. Slерiаn В. Ргоbаtе spheroidal wave function, fourier analisis and uncertainly - 1У. Extension to many dimension, generalised prolate spheroidal functions. - Bell System Techn. J., 1964, v. 143, . 11, р. 1042- 1055.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

Теорема продолжимости для функций спектральной плотности

Это приложение относится к теореме продолжимости для функций спектральной плотности, обсуждавшихся в разделе Ш-Е. Подразумевается, что каждая окрестность каждой точки в К имеет строго положительную -меру. Это условие гарантирует, что корреляционные векторы, соответствующие импульсам в К, могут быть аппроксимированы посредством корреляционных векторов, соответствующим непрерывным, строго положительным функциям спектральной плотности.

Теорема продолжимости для спектральных функций плотности : Если каждая окрестность каждой точки в К имеет строго положительную меру , то

1/если равномерно ограничено от нуля по К, то

,

2/если , то

для некоторых непрерывных, строго положительных функций .

Доказательство : Первое утверждение может быть доказано посредством рассмотрения отображения ограниченной функции  на вектор , определяемый путем

(А1)

То, что  имеет равномерное ограничение от ноля означает, что для некоторого для всех . Поскольку Функции  являются линейно-незазисимыми функциями на К и, так как каждая окрестность каждой точки в К содержит множество со строго положительной мерой, то отсюда следует, что отражением множества ограниченных -полиномов

(А2)

при /A1/, является окрестность О. Поэтому отражением

(А3)

является подмножество Е, которое находится в окрестности .

Следовательно, .

Второе утверждение может быть доказано посредством рассмотрения множества  корреляционных векторов, соответствующих функциям спектральной плотности, которые являются интегрируемыми, непрерывными и строго положительными /следовательно, с ограничением от нуля/,

 является выпуклым и, из доводов, приведенных выше, следует, что - открыто. Легко показать., что векторы  для  находятся в замыкании . Из теоремы Каратеодори [16] следует, что каждый  может быть записан в виде положительной суммы 2М + I таких . Поскольку каждый  находится в замыкании , то отсюда следует, что каждый  находится там же. Поэтому замыканием  является Е. Два открытых выпуклых множества с одинаковым замыканием должны быть идентичными. Поскольку Е находится в замыкании как , так и , то отсюда следует, что

Приложение В

Теорема представления

Теорема представления раздела IУ-А является простым распространением теоремы Каратеодори [16] для корреляционных векторов на границе Е с использованием теоремы о продолжимости. Это обобщение "теоремы С" Каратеодори [9, гл. 4] для многократных измерений. Ввиду вывода метода Писаренко в разделе 1У, как линейной программы, теорема представления может также рассматриваться, как вид фундаментальной теоремы линейного программирования. [l8].

Теорема представления: Если  находится на границе Е, то для некоторых 2М неотрицательных  и некоторых :

(В1)

Доказательство: Рассмотрим компактное выпуклое множество , которое является выпуклой оболочкой . По теореме Каратеодори,. любой элемент в Е может быть выражен в виде выпуклой комбинации 2М+1 элементов А

(B2)

при  и . Если одно из  равно нулю, доказательство завершено. Иначе, поскольку  находится на границе , имеется некоторый ненулевой , такой что

(В3)

Итак, для каждого ,  должны быть линейно зависимыми, следовательно имеются некоторые , не все нули, так что . Пусть  является числом с наименьшим значением, так что  для некоторого .

Тогда

(B4)

Один из этих коэффициентов равен нулю, что делает равным это выражение сумме только 2М членов. Признание того, что любой элемент Е является масштабированной версией элемента , завершает доказательство.

Отметим, что для случая временной последовательности,  может быть выражен в виде суммы не более, чем М комплексных экспоненциалов, в то время, как вышеприведенная теорема гарантирует только представление в терминах 2М экспоненциалов, Это не недостаток доказательства, а подлинная особенность проблемы, как показывает следующий одномерный пример.

Пример BI : . Предположим, что  находится на прямой части границы и, как показа-

но на рис.7. Ясно, что  имеет единственное представление в виде выпуклой суммы членов А в терминах двух корреляционных векторов, соответствующих  и ,

Приложение С

Единственность оценки Писаренко

Как обсуждалось в разделе IУ-А, опенка Писаренко является единственной, если один и только один спектр может быть связан с каждым корреляционным вектором на границе Е. Тривиальные проблемы единственности появляются в результате, если два отдельных  в  приводят к одному и тому же . В -более общем смысле рассмотрим множество корреляционных векторов, соответствующих нулевому множеству некоторого ненулевого положительного полинома

(С1)

Любой вектор , который превращает в ноль внутреннее произведение с р ,может быть выражен в виде суммы положительных составляющих векторов из множества . Отсюда следует, что если это множество является линейно независимыми, то представление единственно. И наоборот, если это множество линейно зависимо, то можно построить  на границе Е, который имеет более одного спектрального представления. Если множество линейно зависимо, то имеется конечная совокупность ненулевых вещественных чисел  и , таких что

(С2)

Поскольку  для всех , то должно быть, по крайней мере, одно  - строго положительное и одно - строго отрицательное. Итак,

(С3)

является ненулевым вектором корреляции на границе Е с, по крайней мере, двумя спектральными представлениями.

Поэтому оценка Писаренко является единственной тогда и только тогда, когда множество корреляционных векторов, соответствующих нулю каждого ненулевого положительного полинома, линейно независимо. В частности, чтобы оценка Писаренко была единственной, никакой ненулевой положительный полином не может иметь более 2М нулей, это условие подобно, хотя и не так строго, условию Хаара [23], которое включает все полиномы, а не только положительные.

Факторизация полиномов в случае временной последовательности дает сильный результат. В случае временной последовательности ненулевой положительный полином может иметь не более М нулей. Кроме того, ненулевой положительный полином может быть построен так, что он равен нулю в М или менее произвольных точках и больше нигде. Это означает /Пример 4.I/ , что корреляционный вектор в  имеет единственное спектральное представление и что этот спектр состоит из и или менее импульсов. Кроме того, это означает, что любой спектр, состоящий из М или менее импульсов, имеет корреляционный вектор в .

Однако, простой пример показывает,, что нет гарантии того, что оценка Писаренко будет единственной в большинстве многомерных ситуаций. Рассмотрим ненулевой положительный полином

(С4)

для некоторого ненулевого . Нулевое множество  включает часть гиперплоскости

(С5)

которая находится в К. Многие спектральные основы, имеющие практический интерес, пересекают эту гиперплоскость в бесконечном числе точек, подразумевая существование некоторого корреляционного вектора на границе Е с неединственным спектральным представлением. Эта проблема неединственности аналогична неединственности в многомерной чебышевской аппроксимации [24].

ИЛЛЮСТРАЦИИ

Рис.1 ПИП из трех ИП

Рис.2 Спектральная основа для решетки ПИП : I - основа

Рис.3 Е и Р для  и . /а/ Сечение Е и Р при  и /b/ Сечение Е и Р при .

Рис. 4 Е и Р для  и . /а/ Сечение Е и Р при  и /b/ Сечение Е и Р при .

Рис.5 Аппроксимация спектральной основы посредством выборки ; сечение при

Рис.6 Разложение вектора  на вектор  на границе Е плюс кратное данного вектора .

Рис.7 Е для  и . /а/ Сечение по Е при  и /b/ Сечение по Е при .