Теория массового обслуживанияс ожиданием.

Введение в теорию массового обслуживания с ожиданием_________________ 2

1. Постановка задачи.____________________________________________________ 3

2. Составление уравнений._______________________________________________ 4

3. Определение стационарного решения.__________________________________ 5

4. Некоторые подготовительные результаты.______________________________ 6

5. определение функции распределения длительности ожидания.___________ 7

6. Средняя длительность ожидания.______________________________________ 8

Заключение. Приложение теории к движению воздушного транспорта______ 10

Список используемой литературы_______________________________________ 13

Введение

Судьбу требований, которые при поступлении в систему обслуживания застают все приборы занятыми, определяют с помощью задания типа системы обслуживания. Один из типов систем является система с ожиданием.

Системы с ожиданием - возможно ожидание для любого числа требований, которые не могут быть обслужены сразу. Они составляют очередь, и с помощью некоторой дисциплины обслуживания определяются, в каком порядке ожидающие требования выбираются из очереди для обслуживания.[1]

Изобразим данную систему графически (рис. 1). Здесь кружочек 1 - обслуживающий прибор, треугольник - накопитель, кружочек О - источник требований. Требование, возникающее в источнике в момент окончания фиктивной операции “ожидания требований”, поступает в накопитель. Если в этот момент прибор 1 свободен, то требование немедленно поступает на обслуживание. Если же прибор занят, то требование остается в накопителе, становясь в конец имеющейся очереди.

Как только прибор 1 заканчивает производимую им операцию, немедленно принимается к обслуживанию требование из очереди т.е. из накопителя, и начинается новая операция обслуживания. Если требований в накопителе нет, то новая операция не начинается, стрелкой а показан поток требований от источника к накопителю, стрелкой b - поток обслуженных требований.[2]

Система массового обслуживания с ожиданием

1. Постановка задачи.

Мы изучим здесь классическую задачу теории массового обслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена Эрлангом. На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l. Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования. Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x). Предполагается, что при

x ³ 0

F(x) = 1 - e^-mx, (1)

где m > 0 - постоянная.

Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле.

Выбор распределения (1) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение (1) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством:

При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

Действительно, пусть f_a(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a, продлится еще не менее чем t. В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f₀(t)=e^-mt. Далее ясно, что f₀(a)= e^-ma и f₀(a+t)= e^-m(a+1). А так как всегда f₀(a+t)= f₀(a)f_a(t), то e^-m(a+t) = e^-ma f₀(t) и, следовательно,

f_a(t) = e^-mt = f_o(t).

Требуемое доказано.

Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше чем, чем некоторая определенная величина. Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга, плотность распределения которого дается формулой

где, m > 0, а k - целое положительное число.

Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение (1).

Обозначим для случая распределения (1) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна

Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна