Навигация
Математические модели возникновения цели
49806
знаков
1
таблица
1
изображение
3. Математические модели возникновения цели.
Используем аппарат теории динамических систем, который позволяет четко сформулировать такое понятие, как “цель”, и проследить пути ее достижения.
Для этого рассмотрим класс динамических систем, удовлетворяющих следующим условиям:
1. Будем рассматривать автономные динамические системы, поскольку наша задача – проследить самопроизвольное возникновение информации и цели внутри нее. В неавтономных системах цель может задаваться извне.
2. Система должна состоять из объектов нескольких (по крайней мере двух) различных типов, принадлежащих одному множеству. Это позволит считать, что объект i-го типа обладает информацией в смысле Кастлера (здесь и далее индекс i характеризует тип объекта или, что то же, выбранную им информацию) Примером таких объектов служат, например, молекулы оптически активных веществ, которые могут существовать в двух изомерных формах: правой и левой.
3. Автономная динамическая система, состоящая из упомянутых объектов (элементов), может обладать информацией, если она мультистабильна, то есть имеются несколько (по крайней мере два) стационарных устойчивых состояний. Свойство мульстабильности зависит от взаимодействия элементов. Ниже будем рассматривать только мульстабильные (в частности, бистабильные) системы.
4. Информация, которой обладают элементы, по типу может совпадать с информацией всей системы, но может и не совпадать. Выбор стационарного состояния всей системы во втором случае не имеет отношения к выбору, который происходит при возникновении ее элементов. При этом информация, возникающая в системе (при выборе стационарного состояния), не совпадает по типу с информацией ее элементов, т.е. выбор делается из разных множеств. Ниже рассмотрим только те системы, в которых выбор делается из одного и того же множества.
5. Условия генерации и запоминания информации накладывают дополнительные ограничения на вид динамической системы.
Во-первых, решения системы должны слабо меняться при перестановках индекса i. В предельном случае система должна быть симметрична по отношению к перестановкам индекса. Это необходимо для того, чтобы выбор i–го варианта не был бы предопределен заранее.
Во вторых, система должна содержать члены “возникновения” и ”исчезновения” элементов i–го типа. Поэтому можно ввести время жизни каждого элемента tj, которое меньше времени существования всей системы (последнее формально бесконечно). Каждый элемент может запомнить свою информацию только на время порядка своего времени жизни. Запоминание на более долгое время возможно, если имеет место воспроизводство себе подобных. (автокатализ) Это означает, что i-й элемент способствует возникновению объектов того же типа.
6. Для описания генерации информации (то есть случайного выбора) необходимо, чтобы в динамической системе существовал перемешивающий слой.
Учитывая упомянутые условия, можно предложить в качестве информационной динамическую систему вида
¶ui /¶t = (1/ti ) ui - åj¹i bi,j ui uj - ai u2i +Di D ui , i,j =1,2,3, n; (4)
Здесь ui – число (или, точнее, концентрация) элементов - носителей информации - i–го типа, то есть в каждом элементе уже сделан выбор одного из n вариантов и, следовательно, каждый элемент обладает информацией i–го типа.
Член (1/ti)ui описывает автокаталитическое воспроизводство; ti –характерное время этого воспроизводства (авто репродукции).
Член bi,j uiuj описывает антагонистическое взаимодействие элементов. разного типа. Этот член отрицателен. и означает, что при встрече двух разных объектов они стремятся подавить друг друга. В биологии этому соответствует межвидовая борьба.
Член aiu2i описывает эффект “тесноты”, или, что то же самое, внутривидовую борьбу.
Член Di Dui (где) описывает возможность миграции (или диффузии) элементов в пространстве.
Частные случаи системы (4) обсуждались в литературе применительно к различным конкретным процессам.
Во-первых, уравнения (4) использовались для описания возникновения единого биологического кода [1,2,4]. Во-вторых, простейший вариант уравнений (4) при N = 2 использовался для описания возникновения киральной асимметрии в биологии [5]. Во всех этих случаях антагонистическое взаимодействие имеет простой физический смысл: при встрече двух разных элементов образуется объект, неспособный далее к авторепродукции.
Модели того же типа широко используются в биологии для описания взаимодействия двух видов, находящихся в одной экологической нише. В этом случае модель (4) принимает вид:
(5)
Антагонизм видов в данном случае связан с поведенческими реакциями, т.е. с понятием «свой» и «чужой». Коэффициент b1,2 описывает агрессию второго вида по отношению к первому , коэффициент b2,1 - обратную реакцию. В общем случае эти коэффициенты различны.
Та же модель может использоваться и при описании эволюции языков. В этом случае антагонизм связан с нарушением коммуникативных функций - с «чужим» невозможно ни о чем договориться.
Обсудим качественные свойства системы (4) на простейшем примере, когда параметры ti , bi , ai и Di одинаковы и, следовательно, не зависят от индекса i., что обеспечивает равноправие элементов разного типа. Обозначим их просто t, b a, и D. Тогда удобно представить (4) в безразмерном виде, введя переменные:
t¢ = t/t , u¢i = btui a¢ = a/ b, x` =x/
=x/l
где x- пространственная координата и l=Ö - длина диффузии.
При этом система (4) примет вид:
du¢i /dt¢ = u¢i - åj¹i u¢i u¢j - a¢i u¢2i + Du`i . (6)
Далее мы будем работать с системой (6) и штрихи опустим.
Модель (6) исследовалась как аналитически, так и с помощью ЭВМ. Приведем основные результаты.
Свойства системы существенно зависят от величины параметра а
Случай а < 1 означает, что антагонизм между различными элементами сильнее, чем конкуренция между одинаковыми. В этом случае в системе (6) имеются N устойчивых стационарных состояний. В них присутствуют только элементы определенного типа; например, в j-м состоянии u¢j = a-1 и все остальные uj¹i = 0. Такие состояния мы будем называть чистыми. Имеется нулевое стационарное состояние (все ui = 0); оно неустойчиво, Симметричное состояние, в котором все ui одинаковы и равны ui = `u = (N – 1 + a)-1 , тоже неустойчиво (типа седла).
В случае a>1 имеется одно устойчивое симметричное состояние и все другие неустойчивы. В этом случае система не мультистабильна и, следовательно, не является информационной. Возникновение ценной информации в этом случае невозможно.
Рассмотрим свойства решений уравнений (6) в случае a<1 в ограниченной области пространства размером L, большим по сравнению с длиной диффузии.
Процесс развития системы четко делится на ряд этапов (или стадий).
I. Образование “чистых” областей (кластеров), в которых преобладают элементы определенного типа (разные для разных областей, см. рис 1а). Это происходит в силу неустойчивости симметричного состояния.
II. Расширение кластеров до момента, когда все пространство будет покрыто кластерами из “чистых” областей и границ между ними. Выпуклые и вогнутые границы между областями не стабильны. С течением времени они превращаются в плоские. При этом уменьшается ареал обитания кластера, имевшего выпуклую границу. Кластеры, которые целиком погружены в область другого типа (например, кластер 2 на рис.1а) и имеют всюду выпуклую границу, исчезают.
В результате число кластеров уменьшается. Образуется структура типа паркета с почти плоскими границами между кластерами. Пример такой структуры приведен на рис 1б. Толщина этих границ порядка длины диффузии l.
Эта стадия протекает существенно медленнее. Антагонистическое взаимодействие происходит лишь на фронтах раздела между кластерами. Побеждает тот кластер, который перед этим захватил больший ареал обитания. Фронты движутся в направлениях уменьшения ареала обитания меньших кластеров. Однако движение это очень медленное.
Важно, что первые две стадии носят стохастический характер, конечный результат на этих стадиях однозначно не предсказуем. Эти стадии играют роль перемешивающего слоя.
III. Третья стадия начинается когда наибольший кластер займет почти все доступное пространство (см. рис 1в). В конце этой стадии образуется чистое состояние, которое устойчиво и далее уже не эволюционирует. Формально последняя стадия может рассматриваться как динамическая. Нужно, однако, иметь в виду, что в начале её движение фронтов весьма чувствительно к внешним случайным воздействием.
Отметим также, что основные качественные свойства модели (4) сохраняются и в том случае, когда система несимметрична. Так, если в системе (4) параметры ti , bi и ai хотя и различны, но одного порядка ( то есть отличаются не более чем в два-три раза), то в ней также существуют n чистых устойчивых стационарных состояний. Размеры их областей притяжения сопоставимы. При этом элементы какого-либо j-го типа могут вытеснить всех остальных, даже не обладая априорными преимуществами. Промежуточные стадии тоже хаотичны и предсказать заранее какой именно кластер победит, невозможно. Полностью динамическим процесс становится, когда один из кластеров занимает львиную долю всего пространства. На этом этапе результат предсказуем и даже тривиален.
Такими свойствами обладают решения системы (6) в случае, когда пространство однородно и коэффициенты диффузии постоянны. Если в пространстве имеются области или узкие полосы, где миграция затруднена (коэффициент D понижен, имеются препятствия), то сценарий развития событий изменяется. Фронты раздела не выпрямляются, а располагаются по линиям препятствий. Стадия паркета в этом случае стабилизируется и единого кластера во всем пространстве не образуется. Стабильность нарушается, если с течением времени длина диффузии увеличивается и становится больше ширины полосы препятствий. Тогда снова начинается передел областей обитания.
В работе [11] модель с учетом препятствий была применена к описанию макро исторических событий в Европе. Было показано, что модель хорошо описывает становление крупных государств из мелких княжеств. Картина стабильного паркета практически совпала с современной политической картой Европы, где государственные границы в основном следуют линиям препятствий.
Возвращаясь к основной теме, отметим, что система (6) удовлетворяет условиям (1) – (6), то есть является информационной. Это позволяет на примере модели (6) поставить вопрос о ценности информации, обсудить генерацию ценной информации и ее эволюцию. Для этого необходимо сформулировать в рамках модели, что такое цель.
Понятие цели в современной теории информации предполагает, что объект, обладающий целью, взаимодействует с другими объектами (в частности, себе подобными). Отсюда следует, что в рамках автономной динамической системы, целью может обладать каждый элемент, но не вся система в целом.
Зная в рамках моделей (4) и (6) поведение всей системы и ее элементов, можно сказать, что
целью каждого элемента является сохранение своей информации (А)
на достаточно долгое время.
Уместно сделать ряд замечаний.
1. Определение цели допускает несколько, в принципе эквивалентных, формулировок. Например, можно сказать, что целью является выбор такой информации, которая сохранится в будущем. Можно также сказать, что целью является распространение своей информации на всю систему.
Эти формулировки отличаются лишь акцентами. Так, слово “сохранить” подчеркивает пассивное поведение, слова “распространить” или “выбрать” имеют более активный характер. Однако в нашей модели, описывающей, в частности, неживые объекты, поведение элементов определяется моделью и эмоциональные акценты несущественны.
2. Применительно к живым объектами, в частности, к биологической эволюции, цель – сохранение своей информации – представляется очевидной. Она, в зависимости от ситуации соответствует выживанию индивидуума или вида.
3. Формулировка единой цели для всех элементов в системе (6) не исключает появления многих различных целей в более сложной системе. Дело в том, что система (6) не претендует на описание иерархической многоуровневой информационной системы. Модель (6) описывает информационную самоорганизацию системы на данном уровне.
Чтобы описать другие уровни, необходимо, учесть, что все элементы чистого (например, j-го) состояния в действительности не одинаковы, но не по главному признаку (который мы обозначили индексом j), а по другим дополнительным признакам. Тогда конечное j–е чистое состояние можно рассматривать как начальное (не чистое) на другом уровне.
4.Определение (А) не следует смешивать с целевой функцией всей системы (4). Последнюю можно сформулировать как стремление к любому из чистых состояний. Однако, это утверждение имеет другой смысл, чем выражение (А). Цели элементов и целевая функция всей системы могут совпадать лишь на последней стадии, когда почти все элементы обладают одинаковой информацией, поведение системы динамично и результат полностью предсказуем.
5. Положение (А), с одной стороны, является просто констатацией свойств решений системы (4), с другой стороны, по отношению к живым существам оно совпадает с дарвиновским принципом борьбы за существование. Таким образом, положение (А) применимо как к неживым объектам (со свойствами (1) - (7)), так и к живым. Можно сказать, что модель (4) описывает возникновение способности к целеполаганию у объектов со свойствами (1) - (6).
6. Используя модель (6) и понятие «цель» в форме (А) можно поставить и решить вопрос о ценности возникающей информации. При этом оказывается, что ценность информации зависит от времени. В начале процесса она равна нулю и по мере развития она cтановится либо максимально положительной, либо отрицательной. [2,4]
В заключение раздела напомним основные качественные результаты модели.
1.Для возникновения цели и ценной коммуникативной информации необходимо, чтобы взаимодействие носителей разных информаций было антагонистическим. Иными словами, для создания своей информации необходима альтернатива, иначе цель - защита своей информации - теряет смысл.
2. Необходимо, чтобы межвидовая борьба была сильнее внутривидовой (условие b > a). Иными словам, нужен «образ врага» (большое b ) и «образ друга» (малое a) Оба утверждения важны когда неравенство b > a нарушается. Если оно соблюдается с достаточным запасом, то дальнейшее усиление «образа врага» неоправдано, равно как и дальнейшее уменьшение коэффициента a.
3. В биологической эволюции и истории, известны процессы, когда две популяции (например, i-ая и j-ая) объединяются с целью подавить общего врага. В рамках модели это означает. Что параметры bi,j и bj,i оба одновременно уменьшаются (но остаются большими, чем ai и aj). Образ врага друг по отношению к другу временно ослабевает. Однако, после подавления общего врага борьба между i-ым и j-ым кластерами возобновляется. Случаи, когда два уже оформившихся вида сосуществуют в одной экологической нише, в природе не наблюдаются. Это утверждение известно в биологии как теорема Гаузе. В случае, когда уменьшается только один коэффициент, например, bi,j ,а другой bji остается большим, j-ый вид вытесняется i- ым
Эти результаты важны для понимания и прогнозирования процесса глобализации.
Похожие работы
... города, страны, мирового сообщества. 4) Цель должна быть оригинальной, отражая и одновременно формируя самобытный дух данной школы. Вывод: Мы изучили литературу по теме «Аспекты целеполагания в педагогике», привели результаты опросов, сами провели анкетирование и проанализировали его результаты. В итоге мы доказали что, главными целями современного образовательного учреждения являются: · ...
... и многоаспектное явление, сложную систему с развитыми внутренними и внешними связями. Основные компоненты системы местного самоуправления в современной России представлены на рис. 1.1.2 и раскрываются в последующих разделах данной главы. 3. Конституционно-правовые основы местного самоуправления Под правовой основой местного самоуправления понимается совокупность юридических норм, ...
... было бы сделать из нижеследующих рассуждений. В работе предпринята попытка рассмотреть феномен конфликта в самом общем виде, затрагивая его этнокультурные и геополитические характеристики применительно к Северному Кавказу дореволюционного периода. Нельзя при этом отрицать, что конфликт (в указанных выше параметрах понятия) стал одним из важнейших условий формирования этнической картины Северного ...
... отказываться от свободы. Вожди народов на протяжении всей истории использовали эту стратегию - ввергнуть народ в непрекращающуюся невыносимую тревогу, чтобы заставить людей отказаться от свободы. Проблемы свободы и ответственности являются в целом ряде отношений основополагающими для консультирования и психотерапии. Но в последние годы мы обнаруживаем себя в тисках нескольких злободневных и ...
0 комментариев