Вычисление площади поверхности

5. Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется вычислить площадь поверхности, ограниченной линией Г (рис.20); поверхность задана уравнением где функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Обозначим проекцию линии Г на плоскость Oxy через L. Область на плоскости Oxy, ограниченную линией L, обозначим D.

Разобьём произвольным образом область D на n элементарных площадок В каждой площадке возьмём точку Точке Pi будет соответствовать на поверхности точка Через точку Mi проведём касательную плоскость к поверхности. Уравнение её примет вид

(1)

На этой плоскости выделим такую площадку , которая проектируется на плоскость Оху в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок

Предел этой суммы, когда наибольший из диаметров площадок - стремится к нулю, мы будем называть площадью поверхности, т. е. по определению положим

(2)

Займемся теперь вычислением площади поверхности. Обозначим через угол между касательной плоскостью и плоскостью Оху.

Рис.20 Рис.21

На основании известной формулы аналитической геометрии можно написать (рис.21)

или

(3)

Угол есть в то же время угол между осью Oz и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому на основании уравнения (1) и формулы аналитической геометрии имеем

Следовательно,

Подставляя это выражение в формулу (2), получим

Так как предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства, по определению представляет собой двойной интеграл то окончательно получаем

(4)

Это и есть формула, по которой вычисляется площадь поверхности

Если уравнение поверхности дано в виде или в виде то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют вид

(3’)

(3’’)

где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz, в которые проектируется данная поверхность.

а) Примеры.

Пример 1. Вычислить поверхность сферы

Решение. Вычислим поверхность верхней половины сферы (рис.22). В этом случае

Следовательно, подынтегральная функция примет вид

Область интегрирования определяется условием . Таким образом, на основании формулы (4) будем иметь

Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением Следовательно,

Пример2. Найти площадь той части поверхности цилиндра которая вырезается цилиндром

Рис.22 Рис.23

Решение. На рис.23 изображена часть искомой поверхности. Уравнение поверхности имеет вид ; поэтому

Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется условиями

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы.

 

А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович

Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы , 1971 г.,736с.

Н.С. Пискунов

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2:

Учебное пособие для втузов.-13-е изд. -М. :Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.-560с.

В.С. Шипачёв

Высшая математика: Учебное пособие для втузов: - М: Наука,

Главная редакция физико-математической литературы.