Если Р и Q несобственные (), то через них проходит единственная несобственная прямая

3. Если Р и Q несобственные (), то через них проходит единственная несобственная прямая.

П2. Пусть заданы прямые l и m.

1.Если l и m - несобственные прямые и l || m, то они пересекаются в некоторой точке. Если l || m, то они пересекаются в несобственной точке Р¥ .

2.Если l - собственная прямая, а m - несобственная прямая, то они пересекаются в несобственной точке Р¥ .

П3. Непосредственно следует из А3. Необходимо только проверить, что если Р и Q и R неколлинеарны в А, то они не будут коллинеарны в p . Действительно, в p $ только одна (несобсвтенная) прямая, не принадлежащая А, но () Р,Q,R ей не принадлежат.

П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две (). Но в p каждая прямая содержит еще и несобственную точку, поэтому она содержит не менее трех точек.

2) Пополняя аффинную плоскость А из четырех (), мы получим проективную плоскость S1 из семи точек.

Докажем это: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.

Определим () пересечения прямых АВÇ CD=N¥ , BCÇ AD=M¥ , АCÇ BC=P¥ N¥ , P¥ , M¥ Î одной несобственной прямой.

П1. Через две различные () плоскости можно провести единственную прямую.

Если А,В - собственные (), то через них можно провести только одну прямую из А. () А,В Î несобственной прямой, поэтому и в S1 через них можно провести единственную прямую.

Рассмотрим А- собственная () и N¥ - несобственная (). Через эти точки проходит единственная прямая, так как () N¥ определена как пересечение прямых АВ и CDÞ N¥ Î АВ.

Пусть имеем не собственные точки, через них проходит несобственная прямая S1 и она единственная.

П2. " две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точке.

Справедливость аксиомы П2 следует из определения S1.

П3. $ три неколлинеарные точки.

Непосредственно следует из построения аффинной плоскости А. А мы дополнили точками N¥ , P¥ , M¥ (несобственными, которые принадлежат одной несобственной прямой). И поэтому точки не коллинеарные в А будут неколлинеарные в S1.

П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две точки. В S1 каждая прямая содержит несобственную точку. Следовательно прямая в S1 содержит не менее трех точек.

Все аксиомы проективной плоскости выполняются, следовательно, S1 - проективная плоскость.

3) Связка прямых евклидова трехмерного пространства - модель проективной плоскости, построенной на аксиомах П1-П4.

4) Действительная проективная плоскость (множество упорядоченных троек действительных чисел, одновременно не равных нулю), рассмотренная ранее, удовлетворяет аксиомам П1-П4.

3.4. Теорема Дезарга.

Одним из важных результатов проективной геометрии является теорема Дезарга, которая утверждает следующее:

П5 (теорема Дезарга)

Если прямые проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников пересекаются в одной (), то () пересечения соответственных сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

P=ABÇ A’B’AA’Ç BB’Ç CC’=0

Q=ACÇ A’C’

R=BCÇ B’C’

P,Q,R лежат на одной прямой.

В рамках теории, которую мы строим, не совсем правильно называть это утверждение “теоремой”, потому что нельзя доказать, исходя только из аксиом П1-П4. Примем это утверждение за аксиому П5. Хотя при первом и втором способе построения проективной плоскости это утверждение выступает как теорема.

Покажем, что П5 не есть следствие П1-П4, а именно, построим геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4, но не удовлетворяющую П5.

Определение: Конфигурацией называют множество элементов, именуемых точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняется аксиома.

К1. Две различные () принадлежат не более чем одной прямой.

Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей точки

Примеры: Любая аффинная и " проективная плоскость являются конфигурациями. Набор 10 точек и 10 прямых теоремы Дезарга - тоже конфигурация.

Пусть p 0- некоторая конфигурация. Мы определим свободную проективную плоскость П, порожденную p 0.

Пусть p 1- новая конфигурация, определенная следующим образом. Точками p 1 являются точки p 0. Прямыми p 1 являются все прямые p 0; кроме того, каждая пара точек Р1, Р2Î p 0 не принадлежащая прямой из p 0, задает новую прямую

í Р1, Р2ý из p 1. Тогда p 1 обладает следующим свойством;

а) " две различные ()p 1 принадлежат одной прямой. Построим p 2, исходя из p 1, следующим образом. Точками p 2 служат все точки p 1; кроме того, каждая пара непересекающихся прямых l1,l2 задает новую точку l1Ç l2. Прямыми p 2 служат прямые p 1, пополненные новыми точками; например, () l1Ç l2 Î дополненным прямым l1 и l2. Тогда p 2 обладает следующим свойством.

б) " две различные прямые имеют общую точку; продолжим это построение. Для четных n мы построим p n+1 из p n, добавляя к прямым p n новые прямые; для нечетных n мы построим p n+1 из p n, добавляя к () p n новые точки.

Пусть теперь П= È p n

Элементы конфигураций p n мы назовем точками П; далее, прямой П мы назовем подмножество LÍ П, такое, что LÇ p n есть прямая из p n для всех достаточно больших n.

Предложение 1: Если p 0 содержит по меньшей мере четыре точки, никакие три из которых не принадлежат одной прямой, то П - проективная плоскость.

Доказательство: p n удовлетворяет б) для четных n и удовлетворяет а) для нечетных n Þ на П выполняются оба свойства а) и б), то есть П удовлетворяет П1 и П2. Если P,Q,R неколлинеарны на p 0, значит, П3, тоже выполняется.

Покажем, что в П каждая прямая содержит хотя бы три точки.

Каждая прямая из П определяется двумя точками.

По П2: " две прямые имеют общую ()

Пусть l: í P1,P2ý , m: í P3,Р4ý ; по П2: lÇ m=P5Þ P5Î l, P5Î m

Получим, каждая прямая содержит хотя бы три точки.

Все аксиомы проективной плоскости выполняются Þ П- проективная плоскость.

Определение: Ограниченной конфигурацией называется конфигурация, у которой каждая () принадлежит не менее чем трем прямым, а каждая прямая содержит не менее трех различных точек.

Пример: Конфигурация теоремы Дезарга ограничена.

Предложение 2: " конечная ограниченная конфигурация из П содержится в p 0.

Доказательство: Уровнем () РÎ П мы назовем наименьшее n³ 0,такое, что РÎ p n. Уровнем прямой LÍ П мы назовем наименьшее n³ 0, такое, что LÇ p n - прямая.

Пусть S - ограниченная конечная конфигурация из П, и пусть n- максимальный из уровней всех точек и всех прямых из S .

Предположим, что n - уровень какой-то прямой LÍ S (Если максимальный уровень достигается для точки, то доказательство аналогично).

Тогда lÇ p n - прямая, а lÇ p n-1 не является прямой. Если n=0, то все доказано, S Í p 0. Предположим, что n>0. Тогда l возникла как прямая, соединяющая две () из p n-1, не принадлежащие в p n-1 одной прямой. Но в S уровень всех точек £ n, а значит, они принадлежат p n, то есть l содержит не более двух таких точек. Полученное противоречие и доказывает наше предложение.

Пример: Недезаргова проективная плоскость.

Пусть p 0 состоит из четырех точек и не содержит ни одной прямой, П- свободная проективная плоскость порожденная p 0.

В качестве следствия из предыдущего предложения получаем, что П бесконечно; следовательно," прямая содержит бесконечно много точек. Значит можно выбрать четыре () О,А,В,С, " три из которых неколлинеарны, и затем А’на ОА, B' на ОВ, С’ на ОС так, что они образуют семь различных точек, причем A’,B’,C’ неколлинеарны. Тогда построим Р=АВÇ А’В’, Q=ACÇ A’C’, R=BCÇ B’C’. Все 10 точек различны. Если теорема Дезарга была бы не верна на П, то P,Q,R принадлежали бы одной прямой, Þ 10 () и 10 прямых образовали бы ограниченную конфигурацию; но тогда она должна была бы содержаться в p 0, а p 0 содержит всего лишь четыре точки.

Построили геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4 и не удовлетворяющую П5, тем самым показали, что П5 не является следствием П1-П4.

3.5. Принцип двойственности

Займемся изучением свойств проективной плоскости, вытекающих из аксиом П1-П4.

Предложение: Пусть П - проективная плоскость, П*- множество прямых плоскости П; назовем еще пучок прямых плоскости П прямой из П*.(здесь П*- это множество элементов из П, называемых прямыми; пучком прямых называется совокупность всех прямых, проходящих через некоторую фиксированную точку- центр пучка). Тогда П* тоже является проективной плоскостью (назовем ее двойственной к П проективной плоскостью); при этом, если П удовлетворяет аксиоме П5, то и П* ей удовлетворяет.

Следствие (принцип двойственности).

Пусть S- некоторое утверждение, касающееся проективной плоскости П, которое может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5). Тогда "двойственное" утверждение S*, полученное из S заменой слов.

точка Û прямая

лежит на Û проходит через

коллинеарные Û сходящиеся

точка пересечения двух прямых Û прямая, соединяющая две точки

и т.д., тоже может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5).

Определение: Полным четырехугольником называется конфигурация, состоящая из семи точек и шести прямых, полученных следующим образом: рассмотрим четыре точки А,В,С,D (такие, что любые три из них неколлинеарны), шесть соединяющих их прямых и три новые точки пересечения этих прямых.

("противоположных сторон" полного четырехугольника) Р=АВÇ СD, Q=АСÇ ВD, R=АDÇ ВС.

Точки Р, Q и R называются диагональными точками полного четырехугольника. Диагональные точки P,Q и R могут оказаться коллинеарными. Однако на действительной проективной плоскости этого быть не может. Мы убедимся в этом позже, пока будем рассматривать случай коллинеарности диагональных точек как исключительное явление и поэтому введем следующую аксиому П7 (аксиома Фано).

П7: Диагональные точки полного четырехугольника неколлинеарны.

Предложение: Действительная проективная плоскость удовлетворяет аксиоме П7.

Определение: Полным четырехсторонником называется конфигурация, состоящая из семи прямых и шести точек, полученных следующим образом: рассмотрим четыре прямые a, b, c, d (такие, что никакие три из них не являются сходящимися), шесть точек их пересечения и три новые прямые p,q,r.

Соединяющие пары противоположных вершин полного четырехсторонника прямые p, q, r называются диагоналями полного четырехсторонника.

Предложение: Из того, что П7 выполняется на П Þ , что П7* выполняется на П*; поэтому принцип двойственности применим также и к следствиям из П7.

Докажем П7*: П7* в терминах П означает: диагонали полного четырехсторонника не являются сходящимися (не принадлежат одному пучку). Пусть a, b, c, d- "стороны" полного четырехсторонника; предположим, что диагонали p, g, r- сходящиеся. Но в этом случае диагональные точки полного четырехугольника АВСD, где А=bÇ d, B=cÇ d, C=aÇ b, D=aÇ c коллинеарны, что противоречит П7. Значит утверждение П7* справедливо.

Заметим, что определение четырехсторонника двойственно определению полного четырехугольника.

3.6. Гармонические четверки точек.

Определение: Упорядоченная четверка различных коллинеарных точек А,В,С,D называется гармонической четверкой, если $ полный четырехугольник XYZW, такой, что А и В являются его диагональными точками (например А=XYÇ ZW, B=XZÇ YW), а С и D принадлежат двум другим сторонам четырехугольника (например,CÎ XW, DÎ YZ).

Для гармонических точек А,В,С,D мы введем обозначение H (АВ, СD). Из того, что точки А,В,С,D образующие гармоническую четверку, различны, следует неколлинеарность диагональных точек определяющего эту четверку четырехугольника XYZW. Вообще понятие гармонической четверки точек в значительной мере теряет смысл, если аксиома Фано не выполняется; поэтому, говоря о гармонической четверке точек, мы всегда будем предполагать выполняемость П7.

Предложение 1: Н(АВ,СD)ó Н(BA,CD)ó H(AB,DC)ó H(BA,DC)

Доказательство: Это утверждение немедленно следует из определения гармонической четверки, так как А и В, С и D играют одинаковую роль в построении полного четырехугольника. Действительно, можно переставить буквы X,Y,Z,W,так, чтобы привести обозначение в соответствие с определением Н(ВА,СD)ч.т.д.

Предложение 2: Пусть А,В,С- три различные точки прямой. Тогда (если выполняется П7) $ точка D, такая, что Н(АВ,СD). Более того (если выполняется П5), можно утверждать, что подобная точка D единственная (D называется четвертой гармонической точкой для А,В,С или точкой, гармонически сопряженной к точке С по отношению к точкам А и В).

Предложение 3: Пусть А,В,С,D- гармоническая четверка точек. Тогда (если выполняется П5) C,D,A,B- тоже гармоническая четверка.

Объединяя это предложение с предложением 1, получаем:

H(AB,CD)Û H(BA,CD)Û H(AB,DC)Û H(BA,DC)

H(CD,AB)Û H(DC,AB)Û H(CD,BA)Û H(DC,BA)

Доказательство: Пусть Н(АВ,CD) и пусть XYZW- полный четырехугольник, с которым связано определение этой гармонической четверки.

Проведем DX и CZ и обозначим точку пересечения через U. Пусть, далее XWÇ YZ=T. Тогда XTUZ- полный четырехугольник, а С и D- две его диагональные точки. Точка ВÎ XZ, поэтому достаточно доказать, что TU проходит через А, так как в этом случае будем иметь H(CD,AB). Рассмотрим 2 треугольника XUZ и YTW. Пары их соответственных сторон пересекаются в точках D,B и С, но эти точки коллинеарны Þ по П5*,XY, TU, WZ соединяющие соответственные вершины принадлежат одному пучку.

Пример: На действительной евклидовой плоскости четыре точки А,В,С,D образуют гармоническую четверку тогда и только тогда, когда

(АС/ВС)*(ВD/AD)=-1

3.7. Перспективные и проективные отображения.

Определение: Проективное отображение- это отображение прямой l на l' (быть может, совпадающую с l), которое, может быть представлено как композиция перспективных отображений.

Обозначение: l – l’ или АВС…-А’В’С’…

Последняя запись означает, что проективное отображение переводит точки А,В,С,….соответственно в A',B',C',….

Проективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямых l и l' и является отображением на l'.

Определение: Перспективным отображением прямой l на прямую l' (обе прямые рассматриваются как множество точек) с центром О (точка О не принадлежит ни l, ни l') называется отображение А® A', где для произвольной точки АÎ l точка А' находится как ОАÇ l'.

Обозначение l = l’ ("l переводится в l' перспективным отображением с центром в ()О". Отметим, что перспективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками l и l' и является отображением l на l' и что отображение, обратное перспективному отображению,

также является перспективным отображением. Если ()Х=lÇ l', то Х (как точка l) переходит в Х (как точку l'). Композиция двух или более перспективных отображений уже не обязательно будет перспективным отображением: так мы имеем l = l’ = l’’ и ABCY = A’B’C’Y’ = A’’B’’C’’Y’’ если бы полученное в результате композиции отображений l = l и l = l отображение l на l'’ было перспективным, то в точку lÇ l’'=Y оно должно было бы переводить в себя. Однако у переходит в точку Y'', которая не совпадает с Y. Поэтому мы ввели проективное отображение.

Предложение 1: Пусть, задана прямая l. Тогда множество проективных преобразований (взаимно однозначное отображение множества М на себя называется преобразованием множества М). l образует группу. Это означает, что 1)композиция двух проективных отображений снова есть проективное отображение. 2)отображение, обратное проективному отображению, снова есть проективное отображение.

Предложение 2: Пусть задана прямая l и пусть А,В,С и A',B',C'- две тройки ее различных точек. Тогда $ проективное преобразование l, переводящее А,В,С в A',B',C'.

Доказательство: Пусть l'- прямая отличная от l и не проходящая через А и А’, а О произвольная точка не принадлежащая ни l, ни l'. Спроектируем из О точки A',B',C' прямой l в точки A’’,B’’,C’’, прямой l’: A'B'C' = A''B''C'', где АÏ l’ и А’’Ï l.

Ясно, что нам достаточно построить проективное отображение l на l’, переводящее A,B,C, в A’’,B’’,C’’.

Заменим в обозначениях двойные штрихи одинарными и забудем про исходные A’,B’,C’. Таким образом, наша задача свелась к следующей. Заданы две различные прямые l и l’. Пусть А,В,С- три различные точки l, а A’,B’,C’-три различные точки l’, предположим что AÏ l’ и A’Ï l. Требуется построить проективное отображение l на l’, переводящее А,В,С соответственно в A’,B’,C’. Проведем прямые AA’,AB’,AC’,A’B,A’C и положим AB’Ç A’B=B’’, AC’Ç A’C=C’’. Обозначим прямую B’’C’’ через l’’; пусть она пересекает AA’ в A’’. Тогда l = l’’ = l’ переводит ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’.

Таким образом, мы построили искомое проективное отображение l на l’ как композиция двух перспективных отображений.

Предложение 3: Проективное отображение переводит гармоническую четверку точек в гармоническую четверку.

3.8. Аксиома Паппа и основная теорема о проективных преобразованиях прямой.

Докажем “основную теорему”, которая утверждает, что существует единственное проективное преобразование прямой, переводящее три заданные точки в любые другие три заданные точки. Эта теорема не следует из аксиом П1-П5 и П7; поэтому нам предстоит дополнительно ввести аксиому Паппа П6.

Основная теорема (теорема о проективных преобразованиях прямой). Пусть задана прямая l и А,В,С;A’,B’,C’- две тройки различных точек этой прямой. Тогда существует одно и только одно проективное преобразование l, такое, что АВС - A’B’C’.

П6 (аксиома Паппа). Пусть l и l’-две различные прямые, А,В,С- три различные точки прямой l, отличные от Х=lÇ l’и А’,В’,С’- три различные точки прямой l’, отличные от Х. Тогда точки P=AB’Ç A’B, Q=AC’Ç A’C, R=BC’Ç B’C коллинеарны.

Предложение 1: Аксиома П6 влечет за собой двойственную аксиому Паппа П6*, то есть принцип двойственности применим и ко всем выводам из П6.

Предложение 2: На действительной проективной плоскости справедлива аксиома П6.

Лемма 1: Пусть l = m = n, где l¹ n, предположим еще, что или:

а)прямые l, m, n принадлежат одному пучку, или

б)точки O,P и lÇ n коллинеарны.

Тогда полученное проективное отображение l - n является перспективным (то есть $ такая точка Q, что перспективное отображение l = n совпадает с нашими проективными отображениями l - n).

Лемма 2: Пусть l = m = n,

Где l¹ n; предположим теперь, что не имеет места ни а) ни б) из условий леммы 1. Тогда $ прямая m’ и точки O’Î n и P’Î l, такие, что l = m = n есть рассматриваемое проективное отображение l на n.

Доказательство: Пусть l, m, n, O,P заданы; пусть далее A,A’- две точки на l и AA’ = BB’ = CC’. Точку пересечения ОР и n обозначим через O’. Так как мы предположили, что точки О,Р, lÇ n=X неколлинеарны, то O’¹ X, то есть O’Ï l. Проведем O’A и O’A’; пусть они пересекаются РС и РС’ соответственно в D и D’.

Соответствующие стороны треугольников АBD и A’B’D’ пересекаются в коллинеарных точках O,P,O’; значит, по П5*, прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников принадлежат одному пучку. Таким образом, прямая m1, содержащая D и D’, проходит через точку Y=lÇ m.

Следовательно, прямая m1 определена точками D и Y, и если точка A’ меняется, то D’ меняется, оставаясь на прямой m1. Поэтому исходное проективное отображение совпадает с отображением l = m1 = n.

Повторяя то же самое рассуждение еще раз, мы можем переместить Р в положение P’=OPÇ l и найти новую прямую m’, такую, что l = m’= n дает исходное проективное отображение.

Лемма 3: Пусть l и l’- две различные прямые. Тогда любое проективное отображение l - l’ может быть получено как композиция двух перспективных отображений.

Теорема 1: Основная теорема вытекает из аксиом П1-П6.

Доказательство: Для заданной прямой l и двух троек различных точек А,В,С и A’,B’,C’ этой прямой мы должны найти проективное преобразование, переводящее одну тройку в другую, и доказать, что оно единственно. Выбираем прямую l’, не проходящую через заданные точки, и спроектируем A’,B’,C’ на l’. Обозначим образы этих точек теми же буквами A’,B’,C’. Таким образом мы свели теорему к следующей: имеем А,В,С на l A’,B’,C’ на l’ (все точки отличны от lÇ l’) требуется показать, что $ единственное проективное отображение, такое, что ABC - A’B’C’. Одно такое проективное отображение мы уже получили в предложении 2 (п.3.7); следовательно, достаточно показать, что любое другое проективное отображение совпадает с этим.

Случай 1: Предположим, что второе проективное отображение есть просто перспективное отображение. Пусть l - l’ переводит ABC = A’B’C’. Рассмотрим P=AB’Ç A’B ; пусть прямая l’’ соединяет Р с Q. Мы утверждаем, что l’’ проходит через точку Х=lÇ l’. Действительно, применим П5 к треугольникам AB’C’ и A’BC, которые перспективны с центром О. Их стороны пересекаются в точках Р,Q,Х соответственно. Следовательно, l’’ определяется точками Р и Х.

Но так как С может меняться, перспективное отображение l = l’ совпадает с проективным отображением l = l’’ = l’

Случай 2: предположим, что второе проективное отображение не является перспективным. Тогда в силу леммы 3 оно может быть представлено в виде композиции двух перспективных отображений, а в силу леммы 2 можно предположить, что центры этих отображений принадлежат соответственно l’ и l. Таким образом, мы приходим к конфигурации: l = l’’ = l’ и ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’

Применяя П6 к треугольникам АBR и A’B’R’, мы получаем, что Р=АB’Ç A’BÎ l’’. Аналогично, применяя П6 к ACR и A’C’R’, мы получаем, что Q=AC’Ç A’CÎ l’’. Таким образом, l’’ есть прямая, которая была использована в предложении 2 (п.3.7) для построения второго проективного отображения

l = l’’ = l’

Пусть теперь DÎ l – произвольная точка; определим D’’=R’DÇ l’’и D’=RD’’Ç l’.

Из П6, применимой к треугольникам ADR и A’D’R’, следует, что AD’Ç A'D, A’’,D’’ коллинеарны, то есть AD’Ç A’DÎ l’’. Но это означает, что также и проективное отображение предложения 2 переводит D в D’. Следовательно, эти проективные отображений совпадают. ч.т.д.

Теорема 2: П5 следует из П6.

Доказательство: Пусть, О,A,B,C,A',B',C' удовлетворяют предложениям теоремы Дезарга (П5), построим P,Q,R. Для доказательства их коллинеарности нам придется трижды применить П6.

Шаг 1: Пусть A’C’ пересекает АВ в точке S. Затем применим П6 к прямым.

и заключим отсюда, что точки T=OSÇ BC, U=OAÇ BC’, Q коллинеарны.

Шаг 2: Применим теперь П6 к тройкам

и заключим отсюда, что точки U,V=OSÇ B’C’,P коллинеарны.

Шаг 3: Применим, наконец, П6 к тройкам

и заключим отсюда, что точки R, P=BSÇ UV (шаг2),Q=C’SÇ TU (шаг1) коллинеарны. ч.т.д.

Следствие: (из основной теоремы). Проективное отображение l - l’, где l¹ l’, есть перспективное отображение Û точка пересечения X=lÇ l’ переходит в себя.

Глава 4. Применение основных теорем к решению задач на евклидовой плоскости. 4.1. Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости.

В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.

Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости.

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.

Теорема Менелая гласит:

Если точки X,Y,Z лежащие на сторонах ВС,СА,АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1

Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.

Теорема Дезарга.

Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три () пересечения коллинеарны.

Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности () прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в () R,Q,P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.

í Q,C’,A’ý , í R,B’,C’ý , í P,A’,B’ý

Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1(CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1

(BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1

Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1Þ что () Q,R,P коллинеарны, теорема доказана.

4.2. Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости.

Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.

Теорема Паппа: Если А,С,В - три точки на одной прямой, а A’,C’,B’ - на другой, и если три прямые AB’,CA’,BC’ пересекают прямые A’B,C’A,B’C соответственно, то три точки пересечения P,Q,R коллинеарны.

рис. 1

Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)

рис. 2

При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’,CA’,BC’ образуют треугольник UVW.(рис. 3)

рис. 3

Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек

í P,A’,Bý , í A,Q,C’ý , í B’,C,Rý , í A,C,Вý , í B’,A’,C’ý ,

лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.

(VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1(VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1

(VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1

(VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1

Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем:

(VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1

то есть P,Q,R коллинеарны, теорема доказана.

Приложение

№1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны.

Дано: треугольник PRQ и треугольник P’R’Q’ перспективны относительно точки О. QR||Q’R’, PR||P’R’

Доказать что: QP||Q’P’

Доказательство:

Так как QR||Q’R’ и RP||R’P’, то

(OQ/OQ’)=(OR/OR’)=(OP/OP’) Þ (OQ/OQ’)=(OP/OP’) Þ QP||Q’P’

№2.Назовите два треугольника перспективных относительно:

а) точки Р

б) точки Р’

в) точки D

Ответы: а) треугольники ROQ и EP’F б) треугольники EFP и R’Q’O’ в) треугольники R’RE и Q’QF.

№3. Если А,С,Е - три точки на одной прямой, B,D,F- на другой, и если прямые АВ и CD параллельны прямым DE и FA соответственно, то прямые EF||BC.

АС||BD. Рассмотрим параллелограмм ABDE и AFDC Þ BD=AE и DF=AC. Произведем вычитание BD-DF=BF; AE-AC=CE Þ BF=CE Þ BCEF - параллелограмм Þ EF||BC. ACÇ BD=0, так как AB||ED и CD||FA, то (|OA|/|OB|)=(|OE|/|OD|) и (|OC|/|OD|)=(|OA|/|OF|) получаем |OB|*|OE|=|OA|*|OD|=|OC|*|OF| Þ

(|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) Þ EF||CB.

№4. Пусть A,B,D,E,N,M - шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые AE,DM,NB пересекаются в одной точке и прямые АМ,DB,NE пересекаются в одной точке. Что можно сказать о прямых AB,DE,NM?

Решение. Пусть AEÇ DMÇ NB=C, AMÇ DBÇ NE=F обозначим () пересечения прямых АВ и DE через L. По теореме Паппа ()LÎ MN Þ ABÇ DEÇ MN=L. Прямые AB,DE,NM пересекаются в одной точке.

№5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

AA’Ç BB’Ç CC’=S ?

Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1- дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.

 

лежат на одной несобственной прямой S¥

по обратной теореме Дезарга прямые, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке S.

AA’Ç BB’Ç CC’=S.

№6. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.

Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в ()-ах, лежащих на одной прямой Þ ()F,D,B, то есть () пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.

№7. В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

Требуется доказать, что LNÇ MKÇ BDÇ AC=S

Решение.

ACÇ LNÇ BD - треугольники ALD и СNB - дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга Þ ACÇ LNÇ BD=S.

Треугольники DKC и BMA - дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга Þ MKÇ BDÇ AC=S

Получили ACÇ BDÇ MKÇ LN=S.

Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

№8. В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие - смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.

Требуется доказать, что ANÇ BPÇ CM=S.

Решение: Треугольники ABC и NPM - дезарговые треугольники.

лежат на одной несобственной прямой P¥ по теореме обратной теореме Дезарга NAÇ BPÇ CM=S.

№9. В треугольнике АВС из его вершин проведены прямые, пересекающиеся в одной () S; A’=ASÇ BC, B’=BSÇ AC, C’=CSÇ AB. Доказать, что точки BCÇ B’C’, ACÇ A’C’, ABÇ A’B’ лежат на одной прямой.

Решение.

Обозначим () пересечения сторон BCÇ B’C’, ACÇ A’C’, ABÇ A’B’ соответственно P,R,Q. Рассмотрим треугольники АВС и А’В’С’ прямые проходящие через вершины этих треугольников пересекаются в () SÞ () пересечения соответствующих сторон P,R,Q лежат на одной прямой.

№10. В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую.

Точка А- дезаргова точка

Треугольники A’RP и SCB - дезарговы треугольники

A’® SSCÇ A’R=C’

R® CSBÇ A’P=B’

P® BCBÇ RP=Q.

Точки C’,B’,QÎ S - дезаргова прямая.

№11. Сформулировать в терминах евклидовой геометрии теорему Дезарга для случая:

()S¥ - несобственная (), дезаргова прямая S - собственная.

Формулировка теоремы Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.

()S собственная, прямая S¥ - несобственная.

Формулировка.

Если прямые, походящие через соответствующие вершины двух треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в одной точке и AB||A’B’, B’C||BC, то AC||A’C’.

3) ()S¥ - несобственная, прямая S¥ - несобственная.

Формулировка.

Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны и AB||A’B’, BC||B’C’, то AC||A’C’.

№12. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВСÇ p, L=ACÇ p, M=ABÇ p, R=BLÇ CM, S=CMÇ AK, T=AKÇ BL.

Доказать, что прямые AR,BS и CT пересекаются в одной точке.

Требуется доказать, что ARÇ BSÇ CT=Q

Решение

Треугольники АВС и RST - дезарговы треугольники.

M,K,LÎ з (по условию)

Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга ARÇ BSÇ CT=Q.

№13. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC.

Построение.

Выбираем произвольно прямую s, () A,A’Î a и ()ВÎ b.

1)ABÇ s=P,2)PA’Ç b=B’,3)ACÇ s=R,

4)BCÇ s=Q,5)A’R, B’Q,6)B’QÇ A’R=C’,

7)CC’ искомая прямая.

Доказательство:

Треугольники АВС и А’В’С’ - дезарговы треугольники, прямая s - дезаргова прямая.

Î s (по построению)

По обратной теореме Дезарга AA’Ç CC’Ç BB’=S.

№14. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. построить () PQÇ C, не проводя PQ.

Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1Î C,Q

QQ1Q2 - трехвершинник, построить РР1Р2 – трехвершинник,P1Î C, PQÇ P1Q1Ç P2Q2=S

Обратная теорема Дезарга.

Построение:

QQ1Ç s=X PXÇ C=P1 Q1Q2Ç s=Y QQ2Ç s=Z YP1 ZPÇ YP1=P2 P2Q2Ç c=S()S - искомая точка.

Доказательство:

Треугольники QQ1Q2 и PP1P2 - дезарговы.

Î S (по построению).

По обратной теореме Дезарга. PQÇ P1Q1Ç P2Q2=S Þ PQÇ c=S искомая точка.

№15. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b.

Анализ: Произвольно выбираем прямую s. ()А,А’Î а, ()ВÎ b.

Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая ()S¥ - несобственная, прямая s - собственная.

Треугольники АВС и А’В’С’ - построить.

Построение:

1)АВÇ s=P

2) A’PÇ b=B’

3) ACÇ s=R

4) BCÇ s=Q

5) A’R, B’Q

6) A’RÇ B’Q=C’

7) CC’ - искомая прямая.

3) Доказательство:

Треугольники АВС и А’В’С’- дезарговы

Формулировка обратной теоремы Дезарга.

Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА’||BB’, то СС’||AA’.

По этой теореме СС’- искомая прямая.

№18. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию АВ, pÇ AD=M, pÇ AC=P, qÇ BD=N, qÇ BC=Q. Доказать, что точка MNÇ PQ лежит на прямой АВ.

Требуется доказать, что MNÇ PQÇ AB=K.

Решение:

Рассмотрим треугольники

МРА и NQB.

МРÇ NQ=S¥ , так как p||q. (pÇ q=S¥ )

PAÇ BQ=C

AMÇ BN=D

DC||p||q Þ DCÇ pÇ q=S¥ Þ C,D,S¥ Î одной прямой по теореме обратной теореме Дезарга MNÇ PQÇ AB=K.

Тем самым доказали, что точка МNÇ PQÎ AB.

№17. В евклидовой плоскости даны параллелограмм АВСD, ()РÎ CD и прямая l пересекающая стороны АВ и АD. Провести прямую || l.

Анализ: Треугольник ANM построен. Построить треугольник СРК. Задача решается с помощью прямой теоремы Дезарга.

2) Построение:

NP, AC NPÇ AC=S MSÇ BC=K KP- искомая прямая.

3) Доказательство:

треугольники ANM и CPK - дезарговы, так как ANÇ CP=R¥ (AN||CP), CKÇ AM=Q¥ (CK||AM) то по теореме Дезарга KPÇ NM=F¥ Þ KP||NM.

Список литературы Р. Хартсхорн “Основы проективной геометрии”.-М:Мир,1970. Ефимов “Высшая геометрия”-:Наука,1971. Франгулов С.А. “Лекции по проективной геометрии”-Л:ЛГПИ,1975. Вахмянина О.А., Измайлова Т.С. “Пособие по проективной геометрии”-Оренбург:ОГПИ,1994. Коксетер С.М. “Новые встречи с геометрией”-М:Нуака,1978 Базылев“Геометрия”-М:Просвещение,1975 Потоцкий “Что изучает проективная геометрия ”-М: Просвещение,1982 Певзнер“Проективная геометрия”-М:Просвещение,1980 Измайлова Т.С. Лекционный курс по проективной геометрии.