Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :

dx / dt = f ( x ). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая g , которую можно параметрически задать в виде xi = xi ( t ) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rn с координатами ( x1 , ... , xn ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x1 = x1 ( t ), ... , xn = xn ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами ( t , x1 , x2 , ... , xn ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда Rn+1 - трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 ( t ) , x2 = x2 ( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

Определение 5. Точка ( a1, a2 , ... , an ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1 , f2 , ... , fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0, где a = ( a1 , a2 , ... , an ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .

Если ( a1 , ... , an ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) º 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями e - трубки и d - трубки являются окружности с радиусами e и d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d - окружности, не покидают e - окружность " t ³ t0 (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой e - окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A - постоянная матрица размера n ´ n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

æ dx / dt = P ( x , y ),

í (A)

î dy / dt = Q ( x , y ).

Точка ( x0 , y0 ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x0 , y0 ) = 0 , Q ( x0 , y0 ) = 0.

Рассмотрим систему

æ dx / dt = a11 x + a12 y,

í (7)

î dy / dt = a21 x + a22 y.

где aij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

x = a 1 e k t , y = a 2 e k t . (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

a11 - k a12

= 0. (9)

a21 a22 - k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1 > 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 > 0, k2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k1 = 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k1 = 0, k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные : k1 = p + q i, k2 = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q ¹ 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q ¹ 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q ¹ 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k1 = k2 . Подслучаи :

1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

dxi n

= å ai j xj ( i = 1 , 2 , ... , n ) (10)

dt i=1

характеристическим уравнением будет

a11 - k a12 a13 ... a1n

a21 a22 - k a23 ... a2n = 0. (11)

. . . . . . . .

an1 an2 an3 ... ann - k

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi ( t ) º 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi ( t ) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя xi ( t ) º 0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами

.

æ x = a11 x + a12 y,

í . (12)

î y = a21 x + a22 y

характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k2 + a1 k + a2 = 0.

1) Если a1 > 0 , a2 > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а1 > 0 , a2 = 0, или a1 = 0 , a2 > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a1 = a2 = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

D ( l ) = l n + a1 l n-1 + a2 l n-2 + ... + an = 0. (13)

Зная его корни l 1 , l 2 , ... , l n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

D ( l ) = ( l - l 1 ) ( l - l 2 ) ... ( l - l n ). (14)

Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а - для двух корней l и l i ;

б - для четырех корней l 1 , l ‘1 , l 2 , l ‘2

 

Графически каждый комплексный корень l можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( l - l i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что l = j w ; тогда определяющей является точка w на мнимой оси (рис.12,б). При изменении w от - ¥ до + ¥ векторы j w - l 1 и j w - l ‘1 комплексных корней l и l ‘1 повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p , а векторы j w - l 2 и j w - l ‘2 повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p . Таким образом, приращение аргумента arg( j w - l i ) для корня характеристического уравнения l i , находящегося в левой полуплоскости, составит + p , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, - p . Приращение результирующего аргумента D arg D( j w ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

D arg D( j w ) = ( n - m ) p - m p = ( n - 2m ) p . (15)

- ¥ < w < ¥ для левой для правой

полуплоскости полуплоскости

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j w ) = ( j w )n + a1 ( j w )n-1 + a2 ( j w )n-2 + ... + an (16)

содержит лишь четные степени w , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому

arg D ( j w ) = - arg D ( -j w ), (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале w от 0 до ¥ . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

D arg D( j w ) = ( n - 2m ) p / 2 . (18)

0 £ w < ¥

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

D arg D( j w ) = n p / 2 . (19)

0 £ w < ¥

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах

Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.