Задание №2. Вопрос №9.
Задание №3. Вопрос №1.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №13. Вопрос №2.
Задание №18. Вопрос №9
Часть II.
Задание №8. Вопрос №8.
Задание №12. Вопрос №9.
Задание №14. Вопрос №2.
Задание №15. Вопрос №6.
Задание №18. Вопрос №9.
Дополнительно Часть I.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Дополнительно Часть II.
Задание №7. Вопрос №1.
Задание №9. Вопрос №8.
Задание №11. Вопрос №6.
Задание №15. Вопрос №1.
Часть I. Задание №2. Вопрос №9.В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.
Решение:
|
| машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте. |
| 60-15=45 | машин с водителями ежедневно уходят в рейс. |
| 54-45=9 | водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
|
| количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
|
| дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |
Ответ:Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь 
свободных дней.
Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и найдите координаты точки равновесия, если 
, 
.
Решение:
Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
| С осью OP (Q=0): | С осью OQ (P=0): | |
| Для Q=QS(P): | Для Q=QD(P): | |
|
|
|
|
Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1).
Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:
, из этой системы получаем: 
, тогда 
, значит координаты т.M
.
Ответ:Координаты точки равновесия равны , 
Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:
Решение:
Ответ:Производная заданной функции равна 
Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа:
Решение:
Ответ:Приближенное значение заданного числа равно 1,975.
Задание №18. Вопрос №9Исследуйте функцию и постройте ее график:
Решение:
Область определения данной функции:
. Найдем точки пересечения с осями координат: | С осью OY | С осью OX (y=0): |
|
|
|
| Точка пересечения: | Точки пересечения: |
: 
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.
, 
, где: 
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: 
, т.е. 
- уравнение горизонтальной асимптоты.
Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. 
:
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. 
, отсюда x=0, следовательно 
, значит точка 
- точка экстремума функции.
На участке
производная 
> 0, значит, при , заданная функция возрастает.
На участке
производная < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.).
Следовательно - точка максимума заданной функции .
Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. 
:
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. 
, значит 
, тогда 
, отсюда 
Отсюда 
, 
.
На участке
производная 
>0, значит это участок вогнутости графика функции.
На участке 
производная >0,
значит это тоже участок вогнутости графика функции.
Следовательно, при
график заданной функции является вогнутым.
На участке
производная <0, значит, при график заданной функции является выпуклым (рис. 3).
Следовательно, точки 
, 
- точки перегиба графика заданной функции .
Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).
Часть II. Задание №8. Вопрос №8. Фирма производит товар двух видов в количествах
и
. Задана функция полных издержек 
. Цены этих товаров на рынке равны 
и 
. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль.
, 
, 
Решение:
Пусть 
- функция прибыли, тогда
Найдем первые частные производные функции f(x,y):
, 
. Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему:
Следовательно 
- стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого
введем обозначения: 
, 
, 
,
тогда 
, 
, 
, 
. Т.к. A>0, то экстремум есть, а т.к. 
< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска 
и 
, достигается максимальная прибыль равная:
Ответ:
и достигается при объемах выпуска и .
Вычислить неопределенный интеграл:
Решение:
Ответ:
Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) 
.
Решение:
Ответ:Данный несобственный интеграл – расходящийся.
Задание №15. Вопрос №6.Решить уравнение
Решение:
. Разделив обе части на 
, получим 
. Проинтегрируем полученное уравнение 
. Представим 
, как 
, тогда
Ответ:Решением данного уравнения является 
.
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдем корни характеристического уравнения: 
, тогда 
, следовательно 
, 
, тогда
фундаментальную систему решений образуют функции:
, 
Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений 
и 
, возьмем 
, 
, тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: 
Представим правую часть уравнения, как 
и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
. Имеем 
, 
, тогда т.к. 
- многочлен второй степени, то общий вид правой части: 
. Найдем частные решения:
, 
, 
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем 
, решив систему:
, отсюда 
.
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: 
.
Ответ: .
Найти предел: 
.
Решение:
.
Ответ:Заданный предел равен 
.
Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
.
Решение:
Область определения данной функции:
. Т.к. точка 
не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. 
и 
, следовательно, уравнение – уравнение вертикальной асимптоты. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: 
, где: 
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной
асимптоты имеет вид: 
.
Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты с осями
координат:
С осью OX: точка
,
с осью OY: точка
Ответ: и – уравнения асимптот заданной функции.
Задание №11. Вопрос №6. Исходя из определения производной, докажите: 
.
Решение:
Т.к. по определению производная функции 
в точке 
вычисляется по формуле 
, тогда приращение 
в точке : 
.
Следовательно 
.
Ответ:.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя: 
.
Решение:
.
Ответ:Заданный предел равен 
.
Написать в точке 
уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: 
.
Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции 
в точке 
имеет вид: 
. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: 
. Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим:
.
Ответ:Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид 
.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции 
в области: 
.
Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
, точка 
не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями 
и 
. Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:
, тогда 
, 
, следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид: 
Эта система имеет четыре решения:
|
| Точка |
|
| Точка |
|
| Точка |
|
| Точка |
, 
, 
. 
, 
, 
. 
, 
, 
. 
, 
, 
. 
, тогда 
, 
,
следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:
Эта система также имеет четыре решения:
|
| Точка |
|
| Точка |
|
| Точка |
|
| В точке |
, 
, 
– точка условного максимума, при этом функция 
.
, 
, 
– точка условного максимума, при этом функция 
.
, 
, 
– точка условного минимума, при этом функция 
.
, 
, 
– точка условного минимума, при этом функция 
.Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках 
и 
и наименьшего в точках 
и 
при этом графики функций 
и 
касаются окружности 
в точках ,B, и
, 
соответственно (см. рис.6).
Ответ:Заданная функция при условии имеет 
и 
.
Вычислить неопределенный интеграл: 
.
Решение:
Ответ:
Заданный неопределенный интеграл равен 
.
Решить уравнение: 
.
Решение:
. Разделив обе части на 
, получим 
. Проинтегрируем полученное уравнение:
.
Ответ:
Решением данного уравнения является 
.
Похожие работы
Ось абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система координат была правой. Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы Пифагора:2 + l = + 2 = 7.7 (см) таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением: Вершина первого конуса имеет следующие координаты - ...
урецкий, персидский, татарский и французский языки, а также мусульманское и международное право. Целью данной работы является освещение предмета высшей математики в профессиональной деятельности военного юриста. Работа включает не только теоретические аспекты применения методов высшей математики в военной юриспруденции, но и примеры практического использования методик. 1. Характеристика ...
... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
бнику, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы. В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс высшей математики в течение 1 и 2 семестра и выполняют в каждом семестре по две контрольные работы. Первая и вторая контрольные работы выполняются студентами в 1 семестре после изучения тем 1-2 и 3-4 соответственно. Третья и ...
0 комментариев