Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной

4655
знаков
0
таблиц
0
изображений

Важной проблемой поиска корня нелинейной функции действительной переменной является выяснение интервала, на котором корень содержится. Ниже приведен алгоритм поиска такого интервала и ограничения на его применение.

Будем говорить, что корень функции f(x) окружен на интервале [a,b], если f(a) и f(b) имеют противоположные знаки. Для того, чтобы окруженный согласно этому определению корень действительно существовал на этом интервале, достаточно непрерывности f(x), а для его единственности - еще и монотонности. При невыполнении этих свойств возможно отсутствие корня на [a,b] или неопределенность его позиции.

При использовании компьютера мы всегда имеем дело с дискретным набором возможных представлений чисел (хотя и достаточно плотным). Кроме того, монотонность вычисленной функции может быть слегка нарушена в пределах точности ее вычисления. Это в ряде случаев усложняет вычисление окруженных корней функции, если к их точности предъявляются завышенные требования.

Окружение корня функции при гарантии ее определения на неограниченном интервале, производится по следующему итерационному алгоритму.

Алгоритм

Назначение: окружение корня функции, если ф-я определена на неограниченном интервале

Вход:

Начальное приближение (input guess) x0

начальный интервал поиска D

инкремент начального интервала поиска d>1

максимальное значение интервала M

Выход:

интервал окружения [a,x0], либо

интервал окружения [x0,b], либо

сообщение об ошибке

Инициализация:

calculate f0=f(x0)

Шаги:

1. calculate (a=x0-D,b=x0+D;

fa=f(a), fb=f(b))

2. repeat

3. increase search interval: D=D*d

4. if search interval ≥ M then break the cycle with error message

5. if sign(fa)≠sign(f0) then:

a root is bracketed on [a,x0] interval

break the cycle

end of if

6. if sign(fb)≠sign(f0) then:

a root is bracketed on [x0, b] interval

break the cycle

end of if

7. case f0>0:

8. compare(fa,fb):

9. if fa=fb then: /* both sides search */

let a=a-D, b=b+D, fa=f(a), fb=f(b)

end of if fa=fb

10. if fa>fb then: /* the right side search */

let a=x0, x0=b, fa=f0, f0=fb;

let b=b+D, fb=f(b)

end of if fa>fb

11. if fa<fb then: /* the right side search */

/* Analogically */

end of if fa<fb

end of compare

end of case

end of repeat

Случай f0<0 (строка 7) аналогичен.

Так как интервал поиска постоянно расширяется, то в конце концов используя указанный алгоритм корень будет окружен. Возможны модификации алгоритма в двух направлениях:

1) увеличивать интервал не в геометрической прогрессии, а в арифметической либо по заданному сценарию;

2) Если область определения функции заведомо ограничена, то расширение интервала поиска также следует ограничивать имеющимися пределами, либо доопределять функцию там, где ее оригинал не определен.

Ниже расположена программа окружения корня нелинейной функции, реализующая данный алгоритм.

/* Bracketing function''s root. The function is supposed to have unlimited

domain and be continuous.

int BracketRoot(double x0,double *a,double *b,double d0,

double di, double dmax,double (*fun)(double));

Parameters:

x0 - initial guess on input;

a - left bound on output;

b - right bound on output;

d0 - initial interval of hunting;

di - interval increment (geometric progression multiplier);

dmax - maximal interval;

fun - pointer to the function.

Returns:

1 - if a root is bracketed;

0 - on failure

*/

int BracketRoot(double x0,double *a,double *b,double d0,

double di, double dmax,double (*fun)(double)) {

double fa,fb,f0;

/* get initial function guess, initial a,b,fa,fb */

f0=(*fun)(x0); *a=x0-d0; *b=x0+d0; fa=(*fun)(*a); fb=(*fun)(*b);

/* while the increased search interval is less than maximal,

process cycle */

while((d0*=di)<dmax) {

/* check up the bracketing success. Case f0>0. */

if(f0>=0.) {

if(fa<0.) {*b=x0;return(1);}

if(fb<0.) {*a=x0;return(1);}

/* else, compare fa and fb, choose the direction of search. The

right search case. */

if(fa>fb) {*a=x0; x0=(*b); *b+=d0; fa=f0; f0=fb; fb=(*fun)(*b);}

/* the left search case */

else if(fa<fb) {*b=x0; x0=(*a); *a-=d0; fb=f0; f0=fa; fa=(*fun)(*a);}

/* both sides search */

else {*a-=d0; *b+=d0; fa=(*fun(*a);fb=(*fun)(*b);}

}

/* Analogically, case when f0>0 */

else if(f0<0.) {

if(fa>=0.) {*b=x0;return(1);}

else if(fb>=0.) {*a=x0;return(1);}

/* else, compare fa and fb, choose the direction of search. The

right search case. */

if(fa<fb) {*a=x0; x0=(*b); *b+=d0; fa=f0; f0=fb; fb=(*fun)(*b);}

/* the left search case */

else if(fa>fb) {*b=x0; x0=(*a); *a-=d0; fb=f0; f0=fa; fa=(*fun)(*a);}

/* both sides search */

else {*a-=d0; *b+=d0; fa=(*fun(*a);fb=(*fun)(*b);}

}

}

/* if we get there, the search failed */

return(0);


Информация о работе «Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 4655
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
413442
0
0

... мере, синергетическим стилем мышления может быть некой платформой для открытого творческого диалога между учеными, мыслителями, деятелями искусства, имеющими различные творческие установки и взгляды на мир. 2. Некоторые парадоксальные следствия синергетики Множество новых парадоксальных идей, образов и представлений возникает в синергетике. Кроме того, с точки зрения синергетики может быть ...

Скачать
285356
25
27

... продукцию в значительной степени зависит от изменения цен на топлива и энергоносители. Указанные обстоятельства позволили автору сделать вывод о том, что применительно к управлению рисками инвестиционных проектов в пищевой промышленности фундаментальный анализ второго уровня должен отличаться от классического (при использовании того же инструментария). Автор считает, что этот анализ не должен ...

Скачать
461693
14
14

... информация должна поступать в декодер при восстановлении звукового сигнала. Декодер преобразует серию сжатых мгновенных спектров сигнала в обычную цифровую волновую форму. Audio MPEG - группа методов сжатия звука, стандартизованная MPEG (Moving Pictures Experts Group - экспертной группой по обработке движущихся изображений). Методы Audio MPEG существуют в виде нескольких типов - MPEG-1, MPEG-2 и ...

Скачать
698911
0
0

... контакты", "Многоязычие в социологическом аспекте". Их исследованием занимаются социолингвистика (социальная лингвистика), возникшая на стыке языкознания и социологии, а также этнолингвистика, этнография речи, стилистика, риторика, прагматика, теория языкового общения, теория массовой коммуникации и т.д. Язык выполняет в обществе следующие социальные функции: коммуникативная / иформативная ( ...

0 комментариев


Наверх