Функцiя, класифiкацiя функцiй

Абсолютна величина дiсного числа. Властивостi абсолютних величин.

Змiннi i сталi величини. Функцiя. Парнiсть, непарнiсть, перiодичнicть, моно-

тоннicть. Складна функцiя. Класифiкацiя функцiй. Перетворення графiкiв.

ПИТАННЯ.

1.Дiйснi числа.Абсолютна величина (модуль) дiйсного числа.Властивостi абсолютних величин.

2.Сталi i змiннi величини.Iнтервали S -окрестнiсть.

3.Означення функцiп ,область означення,множина значень функцiп.Способи завдання функцiп.Складна функцiя.

4.Парнiсть,непарнiсть функцiп.Зростаючи i спадаючи функцiп.Обмеженi функцiп. Периодичнi функцiп.

5.Класифiкацiя функцiй.

6.Перетворення грификiв.

ОЗНАЧЕННЯ.Абсолютною величиною (або модулем) дiйсного числа x (позначається |x|) називається невiд’ємне дiйсне число,задовольняюче умовам:

| Х, якщо Х>0

|X|= <-Х,якщо Х<0

| 0,якщо Х=0

Властивостi абсолютних величин.

1.Абсолютна величина алгебраїчної суми декiлькох дiйсних чисел на бiльше суми алгебраїчних величин доданкiв:

|х+y|Ј |х|+|у|

ДОВЕДЕННЯ.

Нехай х+уі 0,тодi |х+у|=х+уЈ |х|+|у| (поскiльки хЈ |х| i уЈ |у|)

Нехай х+у<0,тодi |х+у|= -(х+у)= -х+(-у)Ј |х|+|у| що i п.б.д.

Приведене доведення поширюється на будь-яке число доданкiв.

2.Абсолютна величина рiзницi не менш нiж рiзниця абсолютних величин зменьшуваного i вiд’ємника:

|х-у|і |х|-|у|, |х|>|у|

ДОВЕДЕННЯ:

Покладемо х-у=z,тодi х=у+z i по доведеному в пунктi 1

|х|=|у+z|Ј |у|+|z|=|у|+|х-у|

Звiдки |х|-|у|Ј |х-у| що i т.б.д.

Абсолютна величина добутку дорiвнює добутку абсолютних величин спiвмножникiв; |хуz|=|х|·|у|·|z|

Абсолютна величина частки дорiвнює частцi абсолютних величин дiленого i дiльника; |х/у|=|х|/|у|

Останнi двi властивостi Ю iз означення обсалютноп величини.

ЗМIННI I СТАЛI ВЕЛЕЧИНИ

Змiнною величиною називається величина, котра приймає рiзнi численнi значення. Величина, численнi значення якої не змiнюються називається сталою величиною.

Означення. Сукупнiсть всiх численних значень змiнної величини називається областю змiнювання цiєї змiнної.

Промiжком або iнтервалом називається сукупнiсть всiх чисел х, що мiстяться мiж даними числами а i в. Якщо промiжок замкнений, то його називають [ а,в] . Промiжок може бути напiвзамкненим ( а,в] . Замкнений промiжок носить назву вiдрiзка. Околом даної точки х0 називається довiльний iнтервал (а,в), що мiстить цю точку усереденi себе.

Значення змiнної величини можуть бути безперервними (iнтервал) або дискретними (точки).

ФУНКЦIЯ.

Означення 1. Якщо кожному значенню змiнної х, належащому деякiй областi вiдповiдає одне певне значення другої змiнної y, то y О функцiя вiд х, або в символiчному запису, y = f(x), y = j (x) i т.п. х – називається незалежною змiнною або аргументом.

Означення 2. Сукупнiсть значень х, для котрих визначається значення функцiї y в силу правила f(x), називається областю визначення функцiї (або областю iснування функцiї).

Iнодi поняття в означеннi функцiї допускають, що кожному значенню х, належному деюкiй областi, вiдповiдає, а декiлька значень y. В цьому випадку функцiю називають многозначною, на вiдмiну вiд означення ранiше функцiї, котру називають однозначною.

В подальшому ми будемо розглядати тiльки однозначнi функцiї.

ВЛАСТИВОСТI ФУНКЦII.

а) Монотоннiсть

Ф-я f(х) називається зростаючою,якщо для " 2-х точок х1 i х2 iз областi визначення f(х) таких ,що f(х),f(х)>f(х)

Ф-я f(х) називається сподаючою,якщо для " 2-х точок х1 і х2 із області визначення f(х) таких , що f(х1)< f(х2)

Зростаючі , сподаючі , незростаючі , несподаючі функції називається монотонними.

б) Парність

Функція f(х) називається парною, якщо для " х із області визначення функції f(-х)= f(х) .

Графік парної функції симетричний відносно осі OY.

Функція f(х) називається непарною, якщо для " х із області визначення функції f(-х)= -f(х) . Графік непарної функції симметричен відносно початку координат.

в) періодичність

Функція f(х) називається періодичною з періодом l, якщо для любих х із її області визначення справедливе рівняння f(х) = f(х ± l).

Прикладом періодичних функцій є тригонометрічні функції: sinx, cosx, tgx, ctgx.

Способи завдання функції:

Табличний Аналітичний Графічний За допогою функціональної шкали.

Складна функція.Неявно задана ф-я.

Якщо функція f відображає множину Е вЕ1,а функція F відображає множину Е1 в множину Е2 , то функцєію Z=F(f(х)) називають функцією від функції,або складною функцією,або суперпозицією f i F.

Можлива складна функція, в утворенні котрої беруть участь n функцій:

z= F1(F2(F3(…(Fn(x))…))).

Ми розглядали функції від однієї змінної. Але можно розглядати також функції двох трьох і взагалі n змінних.

Функція від однієї змінної може бути задана неявним засобом за допомогою рівності F(x,y)=0, (*)

де F – є функція від двох змінних x і y.

Таким чином, Е є множина всіх чисел х, кожному із котрих відповідає непуста множина У. Цим визначена на множені Е деяка функція У= (х) від х, взагалі кажучі багатозначна.

В такому випадку кажуть що функція j визначена неявно за допомогою рівності (*). Для неї, очевидно, виконується тотожність:

F(x, j (х))є 0

По аналогії можливо також визначити функцію х=y (у) від змінної У, визначену неявно за допомогою рівності (*). Для неї виконується тотожність:

F( (у),y)є 0.

Функцію х=y (у) називають зворотньою по відношенню до функції у=j (х).

Класифікація функцій.

Основними елемантарними функціями є:

степена; у=хa , де a - дійсне число; де a -дiйсне число;-Ґ <х<+Ґ ; a -цiле додатнє число (1-3)

2. a -цiле вiд’О мне чiсло (4)

3.a -дробно-рацiональнi числа (5,6)

2.показникова: у=ах ,де а-додатнє число ,(а№ 1);

3. логарифмiчна : у=logах , х>0.а№ 1, (а>0);

тригонометричниi функцiї; у=sinх, у=cosх, у=tgх, у=ctgх, у=secх, у=cosecх.Оберненi тригонометричнi функцiї

у=аrcsinх, у=arccosх, у=arctgх, у=arcctgх,

у=arcsecх, у=arccosecх.

Означення . Елементарною функцiєю називається функцiя, котра може бути задана формулою виду у=f(х), де праворуч стоїть вираз із основних елементарних функцій і сталих за допомогою кінцевого числа операцій додавання , віднімання, множення, ділення і взяття функції від функції.

Елементарні функції-це функції задані аналітично.

Алгебраїчні функції.

1.Ціла раціональна функція або многочлен у=а0хn+a1xn-1+…+an, a0,a1,…,an-сталі числа, котрі називаються кофіцієнтами, n-ціле невід’ємне число.

2.Дробно-раціональна функція

у=(a0xn+a1xn-1+a2xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+…+bm)

3.Ірраціональна функція

Якщо в правій частині формули у=f(x) проводяться операції додовання, віднімання, ділення і возведення в степень з раціональними нецілими показниками, то функція у від х називається ірраціональною.

Перетворення графіків.

Нехай маємо графік функції у=f(х).

1) у= - f(х)-симетричний відносно осі Ох.

2) у= ф f(х)ф -приймає тільки додатні значення.

Приклад

3) Графіки можуть складатись і відніматись

4) у=х+(1/х)

5) Множення і розтягнення від осі обсцис.

Щоб побудувати графік функції у=Мf(х),М>0,треба перейти до нових одиниць масштабу.Одиницю масштабу на осі Ох залишило незмінною, а за одиницю масштабу по осі Оу візьмемо добуток М на стару одиницю і побудуємо графік функції у=f(х) в нових одиницях масштабу

6) у=f(х+с), у=f(kx)

Графік функції х+с О Х отримуємо і графіка функції у=f(х) непосреднім переміщенням його переменною осі с Ох на к ск одиниць масштабу вліво, якщо C>0 (і вправо, якщо С<0)

Графік функції у=f(kx),k>0,(kx) О x отримуємо із графіка у=f(х) непосреднім розтягненням його в 1/k разів по напрямку осі Ох.

Перенесення графіка паралельно осі ординат g(x)=f(x)+a

Приклади: у=к хч +2х

у= -3cos(2x+(п/6))

у=х+sinx

7) Графічне рішення

8) Графічне рішення систем

х+у=2

х-2у=1

х=5/3, у=1/3.