Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников

5433
знака
0
таблиц
0
изображений
БЕЛОРУССКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ









КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему “вычисление определенного интеграла
методами трапеций и средних прямоугольников”








Студента 2-го курса: Полушкина О.А.

Научный руководитель: Севернева Е.В.









Минск, 1997

Содержание.


Введение, математическое обоснование и анализ задачи.

Алгоритм и его описание.

Листинг программы.

Исходные данные. Результаты расчетов и анализ.

Заключение и выводы.

Список литературы.


Введение, математическое обоснование и анализ задачи.

Известно, что определенный интеграл функции типаВычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3).

Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников

Рис. 1. Криволинейная трапеция.

Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников
Рис. 2. Метод трапеций.

Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников


Рис. 3. Метод средних прямоугольников.


По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —

для метода трапеций:

Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников

,

для метода средних прямоугольников:

Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников

.
Соответственно этим формулам и составим алгоритм.

Алгоритм.

Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников


Рис. 4. Алгоритм работы программы integral.pas.


Листинг программы.

Программа написана на Tubro Pascla 6.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:


program Integral;
uses
Crt, Dos;
var
dx,x1,x2,e,i:real;
function Fx(x:real):real;
begin
Fx:=2+x; {В этом месте запишите функцию, для вычисления интеграла.}
end;

procedure CountViaBar;
var
xx1,xx2:real;
c:longint;
begin
writeln('------------------------------------------------');
writeln('-->Метод средних прямоугольников.');
writeln('Всего итераций:',round(abs(x2-x1)/e));
i:=0;
for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin
write('Итерация ',c,chr(13));
xx1:=Fx(x1+c*e);
xx2:=Fx(x1+c*e+e);
i:=i+abs(xx1+xx2)/2*e;
end;
writeln('------------------------------------------------');
writeln('Интеграл=',i);
end;

procedure CountViaTrap;
var
xx1,xx2,xx3:real;
c:longint;
begin
writeln('------------------------------------------------');
writeln('-->Метод трапеций.');
writeln('Всего итераций:',round(abs(x2-x1)/e));
i:=0;
for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin
write('Итерация ',c,chr(13));
xx1:=Fx(x1+c*e);
xx2:=Fx(x1+c*e+e);
if xx2>xx1 then xx3:=xx1 else xx3:=xx2;
i:=i+abs(xx2-xx1)*e+abs(xx3)*e;
end;
writeln('------------------------------------------------');
writeln('Интеграл=',i);
end;

begin
writeln('------------------------------------------------');
writeln('-=Программа вычисления определенного интеграла=-');
writeln('Введите исходные значения:');
write('Начальное значение x (x1)=');Readln(x1);
write('Конечное значение x (x2)=');Readln(x2);
write('Точность вычисления (e)=');Readln(e);
CountViaBar;
CountViaTrap;
writeln('------------------------------------------------');
writeln('Спасибо за использование программы ;^)');
end.

Исходные данные. Результаты расчетов и анализ.

Ниже приведен результат работы написанной и откомпилированной программы:


------------------------------------------------
-=Программа вычисления определенного интеграла=-
Введите исходные значения:
Начальное значение x (x1)=0
Конечное значение x (x2)=10
Точность вычисления (e)=0.01
------------------------------------------------
-->Метод средних прямоугольников.
Всего итераций:1000
------------------------------------------------
Интеграл= 7.0100000000E+01
------------------------------------------------
-->Метод трапеций.
Всего итераций:1000
------------------------------------------------
Интеграл= 7.0150000001E+01
------------------------------------------------
Спасибо за использование программы ;^)

Расчет проверялся для функции , а определенный интеграл брался от 0 до 10, точность 0,01.

В результате расчетов получаем:

1. Интеграл Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников .


2. Методом трапеций Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников .

3. Методом средних прямоугольниковВычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников .

Также был произведен расчет с точностью 0,1:

1. Интеграл Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников .

2. Методом трапецийВычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников .
3. Методом средних прямоугольников Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников .

Заключение и выводы.

Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами трапеций и средних прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.

Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции или прямоугольника, в зависимости от метода), тем точнее результат получаемый машиной. При этом, число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.

Использование для вычисления одновременно двух методов (трапеций и средних прямоугольников) позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении обоих методов.

Следовательно при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по обеим методам стремятся друг к другу и оба к точному результату.


Список литературы.

Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.
Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.
Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.


Информация о работе «Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 5433
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
9922
2
7

... n (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов Задание на лабораторную работу 1)  Написать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций: 1.  f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 на отрезке [0, 1] с шагом , , 2.  f(x)= f(x)= f(x)= ...

Скачать
10801
2
4

... процедура TABL ) и интеграл. 4. Заключение и выводы. Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же ...

Скачать
8726
2
0

... for i: = n-1 to n do; c[i]: = 1 - c[n+1-i]; end; {заполнение y-ков в массиве у[5]} procedure form(var x:aa; var y:aa); var i:integer; Begin for i:=1 to n do y[i]:=sin(x[i]); {функция} end; {процедура для расчета интеграла по квадратурной формуле Чебышева} procedure cheb(var y:aa;var ich:real); var i:integer; Begin ich: = 0; for i: = 1 to n do ich: = ich+y[i]*h; end; {процедура вывода таблицы} ...

Скачать
139322
14
40

... разработчиками. На сегодняшний день существует широкий спектр программ от простейших, контролирующих до сложных мультимедийных продуктов. 2. Опытно-экспериментальная работа по формированию познавательной потребности у учащихся средствами информационных технологий 2.1 Особенности изучения темы "Интеграл" в школьном курсе математики Выбор темы "Интеграл" неслучаен. Тема "Интеграл" изучается ...

0 комментариев


Наверх