Математика и проблема адекватного описания реальности

В. Я. Фридман

Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что поэтому и они не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласоваться между собой. [1]

Ф. Энгельс

Должны ли мысли о вещах быть столь непохожими на то, что происходит с вещами, должны ли они сами по себе идти другим путем, совершенно в стороне от действительности? [2]

Д. Гильберт

Размышления над проблемами, нарастающими трудностями и все более усложняющимся языком современной теоретической физики неминуемо приводят к подозрению, что не все благополучно в самом фундаменте современного "точного" естествознания. А таким фундаментом, безусловно, является сложившийся веками математический формализм, служащий для описания реальности. Для теоретической физики он является той аксиоматической базой, с которой должны сообразовываться все ее построения, но которая сама, как супруга Цезаря, "выше подозрений".

На фоне грандиозных успехов, достигнутых за последние полтора столетия "точным" естествознанием на основе сложившегося до него и надстраивавшегося параллельно с ним математического аппарата, из рассмотрения совершенно выпал вопрос о том, насколько язык традиционной математики на самом деле, в своих принципиальных основах, адекватен структуре мира, которую он призван и берется описывать.

Но, прежде всего, правомерна ли сама постановка вопроса? Не развивается ли математика по своим собственным, автономным, имманентным законам?

Если математика является "чистым порождением ума" (своеобразной "игрой в бисер"), то непонятно, почему мир обязан с ней сообразовываться. Если же она является формой абстрагирования в "аминокислотном" человеческом сознании присущих миру (или возможных в нем при отсутствии запрещающих ограничений) структур и отношений, то возникает вопрос об "адекватности", "изоморфности" математических структур структурам реальности.

"Основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического" - справедливо замечает Н. Бурбаки [3]. Любопытно сопоставить две крайние точки зрения по этому вопросу:

Ш. Эрмит: "Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольными созданиями нашего разума: я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики и зоологи" [4].

Г. Кантор: "Математика совершенно независима в своем развитии и ее понятия связаны только требованиями быть непротиворечивыми и соответствовать понятиям, введенным ранее посредством точных определений" [5].

Н. Бурбаки стремится сохранить нейтралитет в этом споре, оставляя вопрос открытым: "То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого..." ([3], с. 258). И далее: "В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и... оказывается (хотя и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм" ([3], с. 258 - 259). Это перекликается со взглядами Е. Вигнера, согласно которым "непостижимая эффективность математики в естественных науках" есть "нечто загадочное, не поддающееся рациональному объяснению" ([6], с. 183; другой перевод см. [7]).

Между тем, при более пристальном рассмотрении неадекватность на первый взгляд столь совершенного математического языка, при всей его "непостижимой эффективности", выступает достаточно отчетливо. Поэтому, прежде чем пытаться строить "новую физику", о чем уже почти четверть века идут непрекращающиеся разговоры (и споры), возможно, надо навести порядок в ее математическом фундаменте, а далее "дело пойдет само собой" (а споры также "сами собой" утихнут).

Но речь идет не только о физике, "старой" или "новой". Речь идет об устранении некоторых "неадекватностей" в самой математике, которая, как ни кощунственно звучит такое заявление, несмотря на свою "невероятную эффективность" оказывается построенной на некоторых ложных предпосылках. Как показано в настоящей работе, переформулирование некоторых ее фундаментальных исходных положений "с лицом, обращенным к реальности", приводит к логически безупречной схеме, сразу ставящей "все на свои места", объясняющей многие загадки (в том числе и упомянутую выше) и открывающей новые перспективы развития не только перед теоретической физикой, но и перед "чистой" математикой.

Здесь нельзя не отметить, что по различным поводам неоднократно высказывались сомнения в том, насколько традиционная математика, несмотря на всю свою "непостижимую эффективность", адекватно описывает реальность. "Неясно, в какой мере объект исследования в математике адекватно соответствует реальности" - прямо, без обиняков, заявляют А. Колмогоров и А. Драгалин ([8], с. 114). А, касаясь некоторых трудностей теоретико-множественного формализма, они высказываются еще более определенно: "...Такого рода следствия вызывают подозрение, что ряд фактов, полученных в рамках определенной математической теории, даже непротиворечивой, просто не имеет никакого отношения к физической реальности и является результатом слишком далеко зашедшей экстраполяции!" ([8], с. 112).

Так возникает кажущаяся поначалу безнадежной задача "адекватизации" математики, решению которой и посвящен наш труд (см. сноску на с. 61); естественно, что для этого потребовалось, отрешившись от устоявшихся догм, взглянуть на давно известные вещи свежим и непредубежденным взглядом.

Предлагаемая теория, ведущая к пересмотру некоторых устоявшихся и казавшихся доселе незыблемыми представлений в математике и теоретической физике, естественно, не может не опираться на некоторые общеметодологические, философские соображения, тем более, что, как правильно заметил В. Вернадский, "граница между философией и наукой - по объектам их исследования - исчезает, когда дело идет об общих вопросах естествознания" [9]. Постараемся сформулировать их в - насколько это в человеческих силах - краткой, но вместе с тем достаточно отчетливой форме, не ставя себе при этом, впрочем, задачу строгого определения используемых понятий, а полагаясь на подразумеваемую общность основных интуитивных представлений у всех, размышляющих об "устройстве" мира и способах его описания. Итак, "о гипотезах, лежащих в основании...".