Навигация
1.1 Анализ.
Анализ – это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений [2]. Анализ применяется при изучении понятий, предложений и при доказательстве утверждений.
Одним из видов анализа является следующая процедура: разложение множества рассматриваемых объектов A на несколько подмножеств B1, B2, …,Bn ("случаев") по какому-то определенному критерию и работа с каждым из них отдельно. При этом должны выполнятся следующие условия: 1) объединение всех подмножеств должно совпадать с самим множеством 
; 2) пересечение любых двух подмножеств пусто 
Впрочем, выполнение второго свойства необходимо лишь в задачах на подсчет объектов. В задачах на доказательство это условие необязательно.
Исходя из вышесказанного, при решении задач методом разложения класса на подмножества могут возникнуть ошибки двух видов:
1) существуют объекты, которые не были рассмотрены: 
(неполный перебор).
Задача А1: В математическом кружке занимается 20 учеников. Им задали на дом 20 задач. Оказалось, что каждый член кружка решил ровно 2 задачи, и каждая задача решена ровно двумя учениками. Докажите, что руководитель кружка сможет так организовать разбор всех задач, что каждый ученик расскажет решение задачи, которую он сам решил. Если сможет, то сколькими способами? [6]
Решение: Начертим граф, в котором вершины – ученики, ребра – задачи. Если две вершины (ученика) соединены ребром (задачей), значит ученики решили одну и ту же задачу. От каждой вершины отходит ровно два ребра, так как каждый решил ровно две задачи. Если этот граф развернуть, то получится замкнутый контур (см. рисунок). Наглядно понятно, что существует два способа распределения задач. Они строятся следующим образом. Первый: ученик «1» рассказывает задачу «з1», ученику «2» остается рассказать лишь задачу «з2», ученику «3» - «з3» и так далее, ученик «20» рассказывает задачу «з20». Второй: ученик «1» рассказывает задачу «з20», ученик «20» - «з19», …, ученик «2» - рассказывает задачу «з1». Получается, что преподаватель сможет организовать разбор задач двумя способами.
Анализ ошибки. Не рассмотрен случай, когда граф состоит из нескольких замкнутых частей, например такой граф (см. рисунок). В этом случае разбор может быть осуществлен 2n способами, где n – количество контуров. Причина в том, что при составлении цепочки от какого-то ученика школьник не рассматривает случай ее замыкания раньше, чем на 20 звене. Таким образом, ученик произвел неполный перебор: не рассмотрел случай несвязного графа.
2) в разложении существует два подмножества Bi и Bk такие, что 
.
Рассмотрим задачи, в которых требуется сосчитать количество объектов, удовлетворяющих данному условию.
Задача А2: Сколько существует положительных чисел, меньших 100, которые делятся на 2 или на 3.
Решение: Чисел, делящихся на 2 – 49. Чисел, делящихся на 3 – 33. Чисел, делящихся на 2 или на 3: 49 + 33 = 82.
Ответ: 82.
Анализ ошибки: При решении данной задачи не было учтено существование чисел, которые делятся на 6 (на 2 и на 3). В результате такие числа были подсчитаны два раза: первый – как делящиеся на 2, второй – как делящиеся на 3.
При решении такого рода задач (задач на подсчет количества элементов, удовлетворяющих условию задачи), следует разделять множество всех объектов на попарно непересекающиеся множества или каким-то образом учитывать их пересечения.
Другое дело, если мы проводим отдельно для каждого множества, объединение которых дает весь класс, какое-либо построение, нахождение (скажем, корней уравнения) или доказательство. Пересечение множеств при этом может быть и не пустым, на результат это не влияет. Главное, чтобы каждый из объектов принадлежал хотя бы одному из рассматриваемых множеств. В противном случае решение будет неполным. Приведем пример:
Пример А3: Все треугольники равновелики.
Решение: Пусть стороны треугольника D равны a, b, c, соответствующие высоты ha, hb, hc, площадь равна S.
Для обозначения треугольников 
будем использовать те же обозначения только с соответствующим числом штрихов.
Так как S = ah/2, то:
|
| (1) |
|
| (2) |
;
.Из (1) и (2) следует:
|
|
|
;
.Следовательно,
,
или:
|
| (3) |
.Умножив обе части равенства (3) на 
и раскрыв скобки, получим:
|
| (4) |
.Прибавив к обеим частям равенства (4) разность 
, получим:
|
| (5) |
.Из (5) следует, что
|
| (6) |
Анализ ошибки: В данном случае переход от (5) к (6) не равносильный, так как равенство (5) выполняется в двух случаях:
1) 
, тогда не обязательно, чтобы 
.
2) 
, тогда обязательно .
Заметим, что всегда. Поэтому, отбросив первый случай, ученик по сути дела пошел по неверному пути. Все ученики хорошо знают, что на ноль делить нельзя. Тем не менее они часто делят на выражения без проверки равенства последних нулю.
Приведем еще один пример, когда рассмотрены не все возможные случаи.
Пример А4: Дан треугольник ABC. Проведена высота BH, равная 4. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AH=6, BC=5.
Решение: 
Так как треугольник BCH прямоугольный, то
CH = 
= 3.
Значит AC = AH + HC = 6 + 3 = 9.
Площадь треугольника ABC соответственно равна:
.
Анализ решения: В рассуждениях ошибок нет, но не рассмотрен случай, когда треугольник ABC – тупоугольный. Рассуждения будут аналогичными, а ответ другой. Очевидно, ученик бессознательно использовал в решении особенности своего чертежа, не вытекающие из условия задачи.
Похожие работы
... обучения в частности на сегодняшний день не закончен и продолжается с не большими успехами. 1.3 Содержание технологического образования школьников Любая сознательная деятельность направлена на достижение конкретных целей. Содержание этих целей определяется и условиями их реализации, и набором средств, которые при этом используются. Технологическая подготовка школьников потребовала перестройки ...
... между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников. 9. Создание актива, способного сказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего коллектива данного класса. Реализация этих целей частично осуществляется на уроках, но из-за временной ограниченности не с достаточной полнотой. Поэтому ...
... он займет у ребенка и учителя, и каковы будут его психологические и педагогические последствия. Поэтому смысл адаптационного периода в школе состоит в том, чтобы обеспечить его естественное протекание и благополучные результаты. Особенности адаптации первоклассников (резкость, широта и глубина изменений). Длительность – 5-7 недель (обычно до середины декабря, т.е. до окончания обучения грамоте). ...
... и менеджмента Санкт-Петербургского Государственного технического университета соответствовал поставленной цели. Его результаты позволили автору разработать оптимальную методику преподавания темы: «Использование электронных таблиц для финансовых и других расчетов». Выполненная Соловьевым Е.А. дипломная работа, в частности разработанная теоретическая часть и план-конспект урока представляет ...
0 комментариев