Навигация
1.2 Синтез.
Синтез – это мысленное объединение частей, свойств, действий в единое целое. Синтез не является механическим соединением частей и поэтому не сводится к их сумме [2].
Главное в процессе синтеза – учесть все условия, все данные, чтобы получить адекватный результат. Всем известно, что бывает, если не учесть одно из уравнений системы; как трудно иногда решить задачу по геометрии, позабыв про какие-то данные; построить график функции, не исследовав ее производную и т. п. Рассмотрим примеры, когда одно из условий не учтено.
Задача С1: Решить неравенство 
.
Решение: так как знаменатель дроби всегда положителен, то он не влияет на знак. Получаем, что решением неравенства будет промежуток (–3; 3).
Анализ ошибки: Знаменатель действительно не влияет на знак неравенства, но при равенстве последнего нулю дробь не имеет смысла, поэтому x = 0 следует исключить из множества решений.
Таким образом, от того, в какой степени учтены свойства исследуемого объекта, зависит конечный результат синтеза.
1.3 Сравнение и аналогия.
Сравнение – это установление сходства или различия между предметами или их отдельными признаками . Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: сравниваемые понятия однородны и сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.
Процесс сравнения и аналогия тесно связаны. Можно сказать, что сравнение подготавливает почву для применения аналогии. С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство. Рассуждения по аналогии можно представить следующей схемой:
Объект A обладает свойствами c1, c2, …, cn.
Объект B обладает свойствами c1, c2, …, cn-1.
Предполагается, но не утверждается, что B обладает свойством cn. Именно поэтому аналогию нельзя считать доказательным методом, ее еще надо обосновать. Тем не менее, рассуждения по аналогии полезны в процессе обучения, так как подразумевают самостоятельную формулировку новых теоретических фактов. Основная ошибка школьников при применении аналогии – это отсутствие рассуждений, которые бы полностью ее обосновывали. Без них решение является неполным или просто неверным.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в решениях школьников виды необоснованных аналогий:
1) Расширение сферы применения теоремы. Появление такого рода ошибки, как правило, связано с формальным знанием теоремы или свойства. В сознании ученика четко не выделены условия применимости теоремы, и в результате некоторые из них остаются за пределом его рассмотрения. Следствием этого является незаконное использование теоремы. По сути ученик применяет не теорему, а ее аналог, который нередко оказывается неверным. Рассмотрим пример:
Пример Aн1: Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.[5]
Доказательство: Дана окружность с диаметром AB. Выберем на ней произвольно точку C. Середина AC – точка D. Проведем через точки B и D хорду BE.
Теперь соединим точки C и E.
Рассмотрим треугольники ADB и DCE. Они равны по стороне и двум углам: AD = DC по построению; ÐB = ÐC как вписанные, опирающиеся на одну дугу AE; ÐADB = ÐCDE как вертикальные. Значит соответствующие стороны AB и EC равны.
Анализ ошибки: «Равенство треугольников по стороне и двум углам» – именно такую условную формулировку часто дают признаку равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. В результате школьники просто ищут пары равных элементов: AD = DC, ÐB = ÐC, ÐADB = ÐCDE. При этом условие, что углы должны быть прилежащими соответственно к сторонам AB и DC, забывается. Буквальное восприятие условной формулировки признака равенства треугольников приводит к замене его совсем другим. Произошло расширение сферы применения признака. Ученик воспользовался им без выполнения надлежащих условий, он заменил их на более общие. Это и привело к противоречивому факту – равенству хорды, не проходящей через центр, диаметру. В этом случае лучше всего будет, если ученик самостоятельно, просмотрев предварительно точную формулировку признака равенства треугольников, найдет у себя ошибку.
2) Использование вместо теоремы обратного к ней утверждения. Смысл рассуждений при этом заключается в следующем: если у нас верно AÞB, то верным будет и BÞA. Понятно, что это выполняется не всегда. Приведем простой пример, когда обратная теорема не верна, и ее применение приводит к противоречивому результату.
Пример Ан2: Докажем, что все числа равны.
Для этого возьмем два произвольных числа a и b. Докажем, что a = b.
0 = 0 Þ a2 – 2ab +b2 = b2 –2ab + a2 Þ (a – b)2 = (b – a)2 Þ a – b =
= b – a Þ 2a = 2b Þ a = b.
Переход (a – b)2 = (b – a)2 Þ a – b = b – a не верен. Дело в том, что из равенства чисел следует равенство их квадратов, но из равенства квадратов не следует равенство чисел (будут равны лишь их модули).
3) Ошибки при попытке обобщения. Пусть у нас имеется класс A и класс B. Для элементов класса A выполняется свойство CA. Делается предположение, что для элементов класса B будет выполняться условие CB, которое построено по аналогии со свойством CA в соответствии с особенностями класса B. Например:
Задача Ан3: В прямом параллелепипеде ребра равны a, b, c. Найдите длину главной диагонали.
Решение: Так как в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон, то квадрат главной диагонали в прямом параллелепипеде будет равен сумме квадратов его ребер, то есть a2 + b2 +c2.
В данном случае утверждение, полученное по аналогии, верно, но не доказано.
Другой пример: в плоскости любая прямая задается уравнением вида Ax + By + C = 0. Предположение, что в пространстве любая прямая будет задаваться уравнением вида
Ax + By + Cz + D = 0 не верно.
Задача учителя – объяснить ученику, что утверждение, полученное по аналогии с верным, может оказаться неверным. Поэтому оно требует отдельного доказательства.
Похожие работы
... обучения в частности на сегодняшний день не закончен и продолжается с не большими успехами. 1.3 Содержание технологического образования школьников Любая сознательная деятельность направлена на достижение конкретных целей. Содержание этих целей определяется и условиями их реализации, и набором средств, которые при этом используются. Технологическая подготовка школьников потребовала перестройки ...
... между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников. 9. Создание актива, способного сказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего коллектива данного класса. Реализация этих целей частично осуществляется на уроках, но из-за временной ограниченности не с достаточной полнотой. Поэтому ...
... он займет у ребенка и учителя, и каковы будут его психологические и педагогические последствия. Поэтому смысл адаптационного периода в школе состоит в том, чтобы обеспечить его естественное протекание и благополучные результаты. Особенности адаптации первоклассников (резкость, широта и глубина изменений). Длительность – 5-7 недель (обычно до середины декабря, т.е. до окончания обучения грамоте). ...
... и менеджмента Санкт-Петербургского Государственного технического университета соответствовал поставленной цели. Его результаты позволили автору разработать оптимальную методику преподавания темы: «Использование электронных таблиц для финансовых и других расчетов». Выполненная Соловьевым Е.А. дипломная работа, в частности разработанная теоретическая часть и план-конспект урока представляет ...
0 комментариев