Определение передаточных функций системы по управляющему и возмущающему воздействию и для ошибок по этим воздействиям

4. Определение передаточных функций системы по управляющему и возмущающему воздействию и для ошибок по этим воздействиям

 

Передаточная функция САР по управляющему воздействию определяет взаимосвязь между применением регулируемой величины Y(Θ) и изменением задающего воздействия Yз(Θз):

Подставляя численные значения параметров и после некоторых преобразований получим:

Передаточная функция САР по возмущающему воздействию определяет взаимосвязь между изменением регулируемой величиной Y(Θ) и изменением возмущающего воздействия F(Θн):

,

где  -- передаточная функция цепи звеньев от места приложения возмущающего воздействия до регулируемой величины. Эта функция имеет вид:

Преобразуем полученное выражение:

Подставим в полученное выражение численные значения и после преобразований получаем:

Передаточная функция для ошибки по управляющему воздействию определяет взаимосвязь между изменением сигнала ошибки е₃ и изменением задающего воздействия Y_З (Θ_З):

Для рассматриваемого объекта передаточная функция САР температуры воздуха в птичнике в летний период для ошибки по управляющему воздействию:

Подставляем численные значения и после преобразований получим:

Передаточная функция по возмущающему воздействию определяет взаимосвязь между изменением ошибки е_F и изменением возмущающего воздействия F:

5. Определение запасов устойчивости системы. Анализ устойчивости системы

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после снятия воздействия, вызвавшего выход из установившегося режима.

Неустойчивая система является не работоспособной, поэтому проверка устойчивости является обязательным этапом анализа системы.

Анализ устойчивости по критерию Гурвица.

Определим устойчивость САР температуры воздуха в птичнике в летний период. Для этого воспользуемся любой из полученных в предыдущем пункте передаточных функций, из которых следует, что характеристическое уравнение системы:

Для анализа устойчивости воспользуемся условиями устойчивости для уравнения четвертой степени:

   

   

Все коэффициенты характеристического уравнения положительны.

Проверяем второе условие:

Полученный результат показывает, что система устойчива.

Анализ устойчивости по критерию Найквиста.

Этот критерий основан на использовании амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы. Формально частотную передаточную функцию можно найти заменой переменной p на переменную jw.Разомкнем систему (место размыкания показано волнистой чертой на рисунок.4.). Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Все звенья разомкнутой системы устойчива, поскольку три звена имеют 3-й порядок, их характеристические коэффициенты положительны.

Строим АФЧХ разомкнутой системы, рассчитываем значения  и . Для упрощения расчетов пользуемся следующими правилами:

- модуль двойной части передаточной функции равен отношению модуля числителя к модулю знаменателя;

- модуль произведения равен произведению модулей;

- аргумент произведения равен сумме аргументов;

Построим АФЧХ разомкнутой системы, рассчитав значения и  .где -модуль частотной передаточной функции, -аргумент частотной передаточной функции

где вещественная часть частной передаточной функции

мнимая часть

Для построения АФЧХ разомкнутой системы представим частотную передаточную функцию в виде:

По этим выражениям, придавая  значения от 0 до ∞, строим на комплексной плоскости АФЧХ разомкнутой системы (рис.5).

Пример расчета при =0,05. Воспользуемся формулами вышеизложенными.

Таблица 2. – Результаты расчёта.

	0	0,001	0,005	0,008	0,01	0,03	0,05	∞
	8	7,06	2,78	1,77	1,4	0,34	0,14	0
	0	-2,22	-4,53	-16,31	-32,4	-102,8	-117,9	-270

Рисунок.5. АФЧХ разомкнутой системы.

Определение запасов устойчивости

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста 2 величины – запас устойчивости по фазе, чтобы система оказалась на границе устойчивости по амплитуде ΔА.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ΔА допустимого увеличения АЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости.

Величины Δφ и ΔА показаны на рисунке 5. Для определения Δφ проводится дуга радиусом 1 до пересечения с АФЧХ. При проектировании САУ рекомендуется выбирать Δφ ≥ 30⁰ и ΔА ≥ 0,7. Для нашего случая САР температуры воздуха в птичнике Δφ ≈ 78⁰ и ΔА ≈ 0,72, что удовлетворяет рекомендуемым величинам запаса устойчивости по фазе и амплитуде.