Сигнал представленный рядом Котельникова

3.6 Сигнал представленный рядом Котельникова

Получить сигнал, определенный в любой момент времени (аналоговый сигнал f_a(t)) можно используя интерполяционную формулу:

, (3.26)

Данный ряд называется рядом Котельникова и позволяет полностью восстановить аналоговый сигнал f_a(t) из дискретных выборок этого сигнала, если сигнал f_a(t) имеет ограниченный спектр с максимальной частотой f_g, и если выборки взяты с частотой не меньшей 2f_g. Поскольку сигнал, подвергнутый дискретизации (3.2), имеет неограниченный спектр (3.5), то восстановление сигнала (3.26) по его выборкам (3.23), будет неточным. Уменьшить ошибку до любого уровня можно увеличивая частоту дискретизации. Сигнал восстановленный с помощью выражения (3.26), приведен на рисунок 3.11.

Рисунок 3.11 - Сигнал представленный рядом Котельникова.

3.7 Выводы

Анализируя формулы и графики, приведенные в разделе 3 можно сделать несколько выводов:

1) Ширина спектра зависит от длительности импульса: чем короче сигнал, тем шире спектр и наоборот.

2) Огибающая спектра периодического сигнала имеет форму спектральной плотности одиночного сигнала.

3) Спектр амплитудно-модулированного радиосигнала представляет собой фактически спектр модулирующего видеосигнала, смещенный по оси частот на (f₀)ω₀.

4) Спектр дискретного сигнала представляет собой сумму спектров видеосигнала смещенных друг относительно друга на n×2×fg.

4 Анализ электрических цепей

 

4.1 Исследование апериодического звена

Рисунок 4.1 – Электрическая принципиальная схема апериодического звена.

R1=1000 Ом

C=0.5 мкФ

4.1.1 Комплексный частотный коэффициент передачи апериодического звена

Найдем математическое выражение для комплексного частотного коэффициента передачи, исходя из схемы приведенной на рисунке 4.1:

(4.1)

Из формулы (4.1) легко получить АЧХ и ФЧХ апериодического звена.

АЧХ можно получить, взяв модуль комплексного частотного коэффициента передачи.

ФЧХ вычислим по формуле (4.2).

(4.2)

Построим графики АХЧ и ФЧХ:

Рисунок 4.2– АЧХ апериодического звена

Рисунок 4.3– ФЧХ апериодического звена

4.1.2 Операторный коэффициент передачи

Запишем операторный коэффициент передачи для апериодического звена

.  (4.3)

 

4.1.3 Импульсная характеристика апериодического звена

Импульсная характеристика цепи определяется как реакция цепи на входной сигнал в виде дельта-функции.

Импульсная характеристика находится ОПЛ от операторного коэффициента передачи. ОПЛ определяется следующим образом:

. (4.4)

Однако на практике при расчетах операторным методом пользуются таблицами прямых и обратных преобразований Лапласа. Это в значительной мере облегчает вычисления. Вычислив обратное преобразование Лапласа от операторного коэффициента передачи его получим:

. (4.5)

Рисунок 4.4– Импульсная характеристика апериодического звена

4.1.4 Переходная характеристика апериодического звена

Переходная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на сигнал в виде функции Хевисайда. В общем случае переходная характеристика находится как:

, (4.6)

где L^-1 – обратное преобразование Лапласа.

Вычислив выражение (4.6) получим:

 . (4.7)

Рисунок 4.5– Переходная характеристика апериодического звена

4.2 Исследование колебательного звена

R1

Рисунок 4.6 - Схема электрическая принципиальная колебательного звена

L=1.5 мкГн

С=20.000 пФ

Q=50

Для последовательного колебательного контура справедлива формула:

,

Выразив R получим и подставив численные значения Q, L и C найдем R=0,173 Ом.

4.2.1 Комплексный частотный коэффициент передачи колебательного звена

Найдем математическое выражение для комплексного частотного коэффициента передачи, исходя из схемы приведенной на рисунке 4.6:

. (4.8)

Из формулы (4.8), как и для апериодического звена, можно легко получить АЧХ и ФЧХ колебательного звена.

Рисунок 4.7 – АЧХ колебательного звена

Рисунок 4.8 – ФЧХ колебательного звена

4.2.2 Операторный коэффициент передачи

Запишем операторный коэффициент передачи для колебательного звена:

(4.9)