Нахождение комплексной функции передачи

2. Нахождение комплексной функции передачи

Для нахождения комплексной функции передачи воспользуемся методом обобщенных чисел.

Рис 2. Схема фильтра для вычисления комплексной функции передачи.

Составим проводимости узлов:

0: Y=2: Y=

1: Y= 3: Y=

Мы дополнительно ввели один узел между элементами L2 и C2.

Диагональная матрица собственных проводимостей узлов

Помножим все элементы на p и заменим ;

; ;

Получаем звездное число:

Напишем обобщенное число:

=

Далее определяем древесное число:

Определитель:

Числитель функции передачи:

Древесное число числителя:

Формула для вычисления функции передачи:

H₄₁(p)=

Числитель:

Подставим все значения в формулу и поделим на p:

H₄₁(p)=

Преобразуем обратно Г₁ =1/L₁ и Г₂ =1/L₂

Подставим все значения элементов в формулу H₄₁(p),получаем:

Перейдем к нормированной частоте:

Для проверки и для того, чтобы удостовериться, что расчеты методом обобщенных чисел верны, воспользуемся результатом, полученным при использовании программы General Numbers.vi

где  .

Как мы видим, функция передачи, полученная методом обобщенных чисел, полностью совпадает с функцией передачи, рассчитанной с помощью программы General Numbers.vi.

3. Карта полюсов и нулей

По ранее найденной комплексной функции передачи цепи определим полюса и нули:

Для нахождения нулей выпишем отдельно числитель функции и приравняем его к нулю. Корни данного уравнения и будут являться нулями.

=0

Решая данное уравнение, получим:

p_1,2,3,4=

Для нахождения полюсов выпишем отдельно знаменатель функции и приравняем его к нулю. Корни данного полинома и будут являться полюсами.

Решив данное уравнение, мы получили полюса:

p_1,2=-0.47751.3610j

p_3,4=-0.22960.6542j

Рис 3. Карта полюсов и нулей.

По полученным значениям построим карту полюсов и нулей:

По виду карты полюсов и нулей можно определить некоторые особенности цепи:

1.         Цепь является минимально-фазовой, т.к. в правой полуплоскости отсутствуют нули.

2.         Цепь является устойчивой, т.к. в правой полуплоскости нет полюсов.

4. Нахождение функций АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ. Графики функций.

Рис 4. Амплитудно-частотная характеристика.

Графики АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ построим с помощью программ MultiSim 10 и Micro Cap 9. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяется как:

=

Рис 5. Фазо-частотная характеристика.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) определяется как:

По ФЧХ определяем время задержки сигнала:

мкс.

Логарифмическая АЧХ определяется как: 20*log(H(w))

Рис 6. Логарифмическая АЧХ.

По графику определяем крутизну среза S_среза=70 дБ/дек, что соответствует S_среза =21 дБ/окт.

5. Импульсная и переходная характеристики. Графики характеристик

 

5.1 Импульсная характеристика цепи

Импульсную характеристику посчитаем по формуле:

где H₁(p) – числитель функции передачи;

H₂(p) – знаменатель функции передачи;

e – основание натурального логарифма;

k – порядковый номер полюса.

Полюса функции передачи:

p₁=

p₂=

p₃=

p₄=

H₁=p⁴ + 2p² + 1

H₂=p⁴ + 2.8284p³ + 5.999p² + 2.8284p + 2

g(t)=

Рис 7. График импульсной характеристики цепи.

5.2       Переходная характеристика цепи.

Связь между импульсной и переходной характеристиками:

Получаем график:

Рис 8. График переходной характеристики цепи.

Для наглядности и сравнения приведем оба графика в одной системе координат:

Рис 9. Графики переходной и импульсной характеристик цепи.

Заключение

В ходе работы были проведены все необходимые вычисления и по полученным результатам можно сделать выводы:

1. Данный фильтр является полосно-задерживающим или режекторным. Об этом наглядно свидетельствует график АЧХ.

2. Цепь является устойчивой, т.к. в правой полуплоскости нет полюсов. Действительные части полюсов отрицательные, следовательно, все процессы затухают.

3. Цепь является минимально-фазовой, т.к. нули в правой полуплоскости отсутствуют.

4. Все свободные процессы в цепи затухают – это видно из графика переходной характеристики.

5. Крутизна среза S=70 дБ/дек, время задержки сигнала

У таких фильтров, чем резче разграничиваются друг от друга полосы непропускания, тем больше фильтрующее действие фильтра, тем больше его избирательность, тем лучше частотная характеристика фильтра – кривая зависимости тока через фильтр или его затухания от частоты. В случае идеального режекторного фильтра частотная характеристика имела бы вид прямоугольника.

Литература

1.    Коровин, В.М. Анализ линейных цепей с применением микрокалькуляторов: учебное пособие к курсовой работе. /В.М. Коровин – Челябинск: ЧПИ, 1988.

2.    Стандарт предприятия. Курсовое и дипломное проектирование. Общие требования к оформлению. СТП ЮУрГУ 04-2001/Составители: Сырейщикова Н.В., Гузеев В.И., Сурков И.В., Винокурова Л.В., - Челябинск: ЮУрГУ, 2001.

3.    Матханов, П.Н. Основы анализа электрических цепей: линейные цепи./П.Н. Матханов. – М: «Высшая школа», 1981.

4.    Коровин, В.М. Схемотехническое проектирование. Теоретические основы: учебное пособие. Ч.2. / В.М. Коровин. – Челябинск: ЧГТУ, 1993.

5.    Попов, В.П. Основы теории цепей./В.П. Попов. – Москва: «Высшая школа», 2003.