Основные свойства проекторов и инъекторов

3. Основные свойства проекторов и инъекторов

 

Определение. Пусть  --- группа и  --- класс групп. Если  и , то  --- -подгруппа группы .

Определение. -максимальной подгруппой группы  называется такая -подгруппа  группы , которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.

Определение. -проектором группы  называется такая подгруппа  группы , что ,  является максимальной в .

Определение. Пусть  --- класс групп. Подгруппа  группы  называется -инъектором, если для каждой субнормальной подгруппы  группы  пересечение  является -максимальной подгруппой в .

Определение. Пусть  --- класс групп. Подгруппа  группы  называется -биектором, если  является -максимальной подгруппой в , а  является -максимальной в  для каждой нормальной подгруппы .

Ясно, что -биектор одновременно является -проектором и -инъектором группы .

Пример Примерами -биекторов служат силовские -подгруппы групп для класса  всех -групп.

Пример В группе  силовская 2-подгруппа является -биектором.

Пример Группа  не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.

4. Биекторы и их свойства

Для локальной формации  каждая конечная разрешимая группа  обладает единственным классом мопряженных -проекторов. Если  --- радикальный класс, т. e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный класс сопряженных -инъекторов. Но наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне естественно встает вопрос о существовании -биекторов в конечных разрешимых группах для локальной радикальной формации .

В настоящей работе показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда  совпадает с классам  всех разрешимых -групп. Кроме того устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биектора превращает его в -холловскую подгруппу, и приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности  это свойство нарушается.

Пусть  --- класс групп. Через  обозначается совокупность всех простых чисел , для которых в  существует неединичная -подгруппа, т. е. . Множество  называется характеристикой класса .

Для любого множества простых чисел  через  обозначается класс всех нильпотентных -групп.

Лемма  Если  --- класс Шунка, то .

 Доказательство. Пусть . Ясно, что примитивная нилпотентная группа имеет простой порядок. Если  --- произвольная примитивная факторгруппа группы , то  имеет простой порядок . Так как , то . Из определения класса Шунка получаем, что . Таким образом, . Обратно, если , то для любого простого делителя порядка  существует подгруппа индекса . Так как , то  и . Лемма доказана.

Следствие  Если  --- локальная формация, то .

Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.

Лемма Пусть  --- класс Шунка и  --- конечная нильпотентная группа. Если  --- подгруппа из , то  является -проектором в  тогда и только тогда, когда  --- -холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть  --- -проtктор в группе . Так как , то по лемме (??) подгруппа  является -подгруппой. Пусть  --- -холловская в  подгруппа. Ясно, что . Nак как , то  --- -подгруппа и .

Обратно, пусть  --- -холловская подгруппа и пусть  --- -проектор в . Так как , то  --- -подгруппа и .

Лемма Если  --- радикальныи класс, то .

Доказательство. Если , то в  существует субнормальная подгруппа  простого порядка , для любого . Поэтому , , и .

Обратно, пусть , тогда для каждого  в  существует подгруппа . Значит все -подгруппы содержатся в . Так как  замкнут относительно прямых произведений, то . Лемма доказана.

Лемма Пусть  --- радикальный класс и  --- конечная нильпотентная группа. Если  --- подгруппа из , то  является -инъектором в  тогда и только тогда, когда  --- -холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть  --- -инъектор в . Так как , то  будет -подгруппой в . Если  --- -холловская в  подгруппа, то  и  --- -подгруппа. Поэтому .

Обратно, если  --- -холловская подгруппа в , то . Если  --- -инъектор, то  и  ---  подгруппа, поэтому . Лемма доказана.

Пусть , где  --- пробегает все группы из . Если  --- разрешимый радикальный класс, то .

Следствие Пусть  --- радикальный класс Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе  существует -биектор  и подгруппа  является -холловской подгруппой группы .

Доказательство получаем из лемм (??) и (??).

 

Следствие Пусть  --- радикальная локальная формация. Тогда в каждой нильпотентной группе  существует -биектор  и подгруппа  является -холловской подгруппой группы .

Обозначим через  совокупность всех -проекторов группы , а через  совокупность всех -инъекторов.

Теорема Пусть  --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе  существует -биектор , то  является -холловской подгруппой группы .

Доказательство. Пусть . Так как в разрешимой группе все -проекторы и все -инъекторы сопряжены между собой, то .

Пусть  --- подгруппа Фиттинга. Так как  --- -инъектор в , то по лемме (??) подгруппа  является -холловской подгруппой в .

Так как  нильпотентна и  является -проектором в , то  будет -холловской подгруппой в  по лемме (??). Поскольку , то  - -подгруппа. Кроме того,  и  есть -число. Значит,  --- -холловская подгруппа.

Следствие Пусть  --- радикальная локальная формация. Если в конечной метанильпотентной группе  существует -биектор , то  является -холловской подгруппой группы .

Замечание. Группа  не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловскими подгруппами порядка .

Теорема Пусть  --- радикальный класс Шунка и  --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе  существует -биектор, то .

Доказательство. Предположим, что  не содержится в , и пусть  --- группа наименьшего порядка из разности . Если  имеет простой порядок , то  и , противоречие. Значит,  --- группа непростого порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в  подгруппу . Так как  и  --- -подгруппа в , то  и .

Пусть  --- -биектор в . Тогда  --- -инъектор в  и . Поскольку  является -проектором в , то  -максимальна в . Так как  --- гомоморф, то , а по выбору группы  получаем, что , т. е.  и , противоречие. Значит, допущение не верно и .

Следствие Если  --- радикальный класс Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .

Следствие  Если  --- радикальная локальная формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .

Для натурального числа  через  обозначим класс всех разрешимых грeпп нильпотентной длины не более . При  имеем класс всех нильпотентных групп, а при  --- класс всех метанильпотентных групп.

Лемма Для любого натурального числа , класс  является радикальной насыщенной наследственной формацией.

Доказательство. Применим индукцию по . При  имеем класс  всех нипьпотентных групп, он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть утверждение справедливо для . По следствию (3)

Но класс  состоит из всех разрешимых групп нильпотентной длины, меньшей либо равной , т. е. , поэтому

Согласно следствию (2) класс  насыщенная формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи класс. Следовательно, класс  является радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.

Лемма Пусть  --- разрешимая группа и . Если  --- -проектор группы , то .

Доказательство. Поскольку  --- насыщенная формация, то -проектор в группе  существует согласно следствию (??). Поскольку , то . Если , то  и утверждение доказано. Пусть  и . По лемме(2), , а поскольку  --- -проектор группы , то . Тогда , следовательно, , и . Теорема доказана.

Теорема Если в разрешимой группе  существует -биектор и , то .

Применим индукцию по порядку группы. Пусть  --- -биектор группы . Нам надо доказать, что . Предположим, что  и . Тогда  является -биектором подгруппы  по лемме (??) и следствию (??). По индукции ,следовательно,  --- максимальная подгруппа группы .

Так как  -- -инъектор группы , то -радикал  и . По теореме (??),

(2)

Поскольку  - -проектор группы , то  и  согласно лемме (??). Следовательно,

(3)

Согласно лемме (2) , а из равенств (2) и (3) находим, что .Получили противоречие. Теорема доказана.

Заметим что в условии этой теоремы требование  не является лишним. Для  в симметрической группе  силовская -подгруппа является -биектором.

Заключение

В данной курсовой работе было показано, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда  совпадает с классом  всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:

Теорема1 Пусть  --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе  существует -биектор , то  является -холловской подгруппой группы .

Теорема2 Пусть  --- радикальный класс Шунка и  --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе  существует -биектор, то .

Теорема 3 Если в разрешимой группе  существует -биектор и , то .

Список использованных источников

[1] Монахов В.С., О биекторах в конечных разрешимых группах// Сб. Вопросы алгебры. Вып. 9 -- Гомель: издательство Гомельского университета, 1996, с. 152-156

[2] Монахов В.С., Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие, Мн.: Высшая школа, 2006

[3] Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. -- М.: Наука. -1989. --- 256с.

[4] Шеметков Л.А., Формации конечных групп. -- М.: Наука. -- 1978. --- 272с.

[5] W. Gaschuts., Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups. -- Canberra: Austral. Nat. Univ. --- 1979. -- Vol. 11. --- 100p.