Верхний центральный показатель некоторой линейной системы

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Верхний центральный показатель некоторой линейной системы

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-42

Лукьянович А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Зверева Т.Е.

Гомель 2006

Содержание

Введение

1. Верхнее центральное число семейства функций

2. Верхний центральный показатель линейной системы

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Цель данной курсовой работы - найти верхний центральный показатель системы

 

где k=0, 1, 2,….

Из определения верхнего центрального показателя диагональной системы следует, что верхний центральный показатель рассматриваемой системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства

, где

Таким образом, главная задача курсовой работы - найти верхнее центральное число соответствующего конечного семейства

.

1. Верхнее центральное число семейства функций

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций:

, ,

зависящее от параметра x непрерывно в том смысле, что из  следует

 

равномерно по крайней мере на каждом конечном отрезке [0,t]. Параметр x может пробегать некоторое компактное (в частности, конечное) множество.

Определение 1 [1, с.103]: ограниченная измеримая функция R (t) называется верхней функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функцию R (t):

,

т.е. если

,

где  - константа, общая для всех  и , но, вообще говоря, зависящая от выбора R и >0.

Определение 2 [1, с.103]: совокупность всех верхних функций называется верхним классом семейства P (обозначим через N=N (P)).

Определение 3 [1, с.534]: число

называется верхним средним значением функции p (t).

Определение 4 [1, с.103]: число

где  - верхнее среднее значение функции R (t), называется верхним центральным числом семейства P. Оно будет обозначаться также .

Докажем следующее утверждение: если семейство состоит из двух функций и при этом , то верхний класс семейства P можно считать состоящим из одной функции , и .

Неравенство  означает, что

и для любого  существует такая константа , что

Или

  (1)

Аналогичное неравенство для функции  очевидно

.

Согласно определения 1  является верхней функцией для семейства

.

Докажем равенство

.

Если существует такая верхняя функция , что  для всех , то эта функция одна образует верхний класс и  [1, с.104].

Найдем такую верхнюю функцию , что .

Рассмотрим интегралы

Разделим последнее неравенство на (t-s), получим

Устремив  и вычислив верхний предел при , получим

или

Итак, имеем

 Значит,  .

Так как  - верхняя функция, то .

2. Верхний центральный показатель линейной системы

Пусть дана система

 (2)

и  - ее решение.

Рассмотрим семейство функций

,,

 

Определение 5 [1, с.116]: Функция R (t) называется верхней для системы (2), если она ограничена, измерима и осуществляет оценку

,

Где

 

- норма матрицы Коши линейной системы.

Совокупность всех верхних функций называется верхним классом системы (2), а число

верхним центральным показателем линейной системы.

Диагональная система

имеет матрицу Коши

с нормой

.

Поэтому верхний центральный показатель диагональной системы совпадает с верхним центральным числом конечного семейства P={} [1, с.118].

Найдем верхний центральный показатель следующей системы

  (3)

где k=0, 1, 2,….

Верхний центральный показатель системы (3) совпадает с верхним центральным числом конечного семейства

, где

Найдем верхнее центральное число семейства

.

Согласно утверждения, доказанного в пункте1: если семейство состоит из двух функций и при этом , то

.

Проверим, осуществляется ли оценка . (4)

Подставляя  в (1), получим

Или

 

Оценка (4) осуществляется, следовательно, .

Вычислим верхнее среднее значение функции .

По определению 3 имеем

.

Вычисляя интеграл

,

Получим

Так как , то

Таким образом, верхнее центральное число семейства

,

где , равно 0, следовательно, верхний центральный показатель системы (3) также равен 0.

Заключение

Таким образом, мы выяснили, что если семейство состоит из двух функций и при этом , то ; верхний центральный показатель рассмотренной системы совпадает с верхним центральным числом конечного семействаи равен 0.

Список использованной литературы

1. Б.Ф. Былов и др. "Теория показателей Ляпунова" - М.: Наука, 1966 г., 564 с.