Старший и верхний центральный показатели линейной системы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ

БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

 

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой

 

СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Дипломная работа

Исполнитель:

студентка группы М-51 Абраменко Т. Ф.

Научный руководитель: 

доцент кафедры дифференциальных

уравнений, к. ф.-м. н. Зверева Т.Е.

Рецензент:

доцент кафедры ВМ и

программирования, к. ф.-м. н. Смородин В.С.

Гомель 2003

Содержание

 

ВВЕДЕНИЕ

1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2 СООТНОШЕНИЕ

3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами

4 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ

4.1 Старший показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

 

В данной дипломной работе проводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы, характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то есть рассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равен верхнему центральному показателю.

В дипломной работе проводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы: вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы, старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой же системы, устанавливается соотношение  На конкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенных систем

играет число , а не .

1. НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

 

Определение 1.1 [1,с.123]. Наибольший из частичных пределов a функции  при  называется ее верхним пределом:

.

Определение 1.2 [1,с.125]. Число (или символ  или ), определяемое формулой

.

будем называть характеристическим показателем Ляпунова (или характерисическим показателем).

Для показательной функции  , очевидно, имеем

.

Лемма 1.1 [1,с.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы  совпадает с характеристическим показателем ее нормы, то есть

.

Для вектор-столбца

будем использовать одну из норм [1,с.20]:

 = ;  = ;  = .

Свойства характеристического показателя функции [1,с.126,128]:

1)  =  , ;

2)  .

Замечание 1.1 [1,с.130]. Если линейная комбинация функций

, ,

где  постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то

 = .

Определение 1.3 [1,с.142]. Система ненулевых вектор-функций

 

обладает свойством несжимаемости, если характеристичесий показатель любой существенной их линейной комбинации

, ,

где  постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых вектор-функций, то есть для всякой комбинации y имеем

 = .

Определение 1.4 [1,с.137]. Множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от  и ) решений дифференциальной системы будем называть ее спектром.

Теорема 1.1 [1,с.143]. Фундаментальная система линейной системы

 ,

где  и  ─ спектр системы , является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Замечание 1.2 [1,с.142]. Совокупность вектор-функций с различными характеристическими показателями, очевидно, обладает свойством несжимаемости.

Следствие 1.1 [1,с.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Определение1.5 [2,с.71]. Наибольший верхний показатель

системы

будем называть старшим показателем.

Определение 1.6 [2,с.7]. Пусть ─ функция. Тогда верхнее среднее значение функции  есть:

 = .

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P = , ,

зависящие от параметра  непрерывна в том смысле, что из  следует  равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Определение 1.7 [ 2,с.103]. Ограниченная измеримая функция  называется верхней или C-функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функции :

,

то есть, если

,

где ─ константа, общая для всех  и , но, вообще говоря, зависящая от выбора  и .

Определение 1.8 [2, с.103]. Совокупность всех верхних функций назовем верхним классом или C-классом семейства P, и обозначим через

(P).

Определение 1.9 [2,с.103]. Число

назовем верхним центральным или C-числом семейства P. Оно обозначается также через  или .

Утверждение 1.1 [2, с. 104]. Если существует такая C-функция , что

для всех , то эта функция одна образует верхний класс и C-число совпадает с :

.

Замечание 1.3 [2,с.102]. Для упрощения записи введем обозначение

Определение 1.10 [2,с.115]. Центральное число семейства P будем называть центральным показателем системы

.

Определение 1.11 [2,с.106]. Разобьем полуось  точками 0,T,2T,… на промежутки

.

Пусть

.

Найдем

.

Замечание 1.4 [2,с.106]. Число

совпадает с  и знак можно заменить на  , то есть

.

Определение 1.12 [2,с.107]. Пусть  ─ любая ограниченная кусочно непрерывная функция, для которой

 .

Замечание 1.5 [2,с.107]. Такие функции существуют: достаточно положить  на  равной одной из тех функций, для которых достигается максимальное значение

.

Утверждение 1.2 [2,с.537]. Верхнее среднее значение любой ограниченной кусочно непрерывной функции, а в частности функции , где  произвольное, равно

.

Утверждение 1.3 [2,с.114]. Пусть

 ,

─ ее решение и

P = ─

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

.

Тогда старший показатель этой системы равен наибольшему из верхних средних значений функций  семейства P, то есть

 .

2. СООТНОШЕНИЕ .

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P = , ,

зависящее от параметра  непрерывно в том смысле, что из  следует  равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке .

Для доказательства соотношения  нам потребуется доказать несколько утверждений и следствий.

Утверждение 1.

Если семейство сужается, то его верхний класс может только расшириться, а верхнее число уменьшиться, то есть из

P’ P

следует

(P’)(P)

и

_.

 

Доказательство.

Всякая верхняя функция  для семейства P является верхней и для P’, так как P’ P. Значит,

(P)(P’).

По определению 1.9

.

Из того, что

(P)(P’)

следует

.

А значит,

 .

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2.

Если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’=, то верхнее среднее значение функции  совпадает с верхним центральным числом семейства P’, то есть

Доказательство.

Для доказательства равенства

 

докажем два неравенства:

1) ;

2) _.

 

1)  Из определения 1.7 следует, что  является верхней функцией, то есть

 , = 0;

итак,

(P’).

Следовательно, .

2)  Пусть ─ любая верхняя функция семейства P’:

для любой (P’).

Тогда по определению 1.6

 

.

Так как ─ любое, то

для любой функции (P).

Следовательно,

_.

Тем самым утверждение 2 доказано.

Следствие 1.(из утверждений 1 и 2)

Пусть P =─ семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогда если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’= , и P’ P , то верхнее среднее значение функции  не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть

 .

Доказательство.

Так как P’ P, то из утверждения 1 следует, что

(P’)(P)

и

  _.

Так как P’ состоит из одной функции, то есть P’= , то из утверждения 2 следует, что

 .

Следовательно,

_,

то есть

.

Следствие 1 доказано.

Следствие 2.(из следствия 1)

Пусть P = ─ семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций. Тогда

.

Доказательство.

Из следствия 1 вытекает, что для любого  выполняется

.

Следовательно,

.

Следствие 2 доказано.

Воспользуемся доказательством следствия 2 для доказательства следующего утверждения.

Утверждение 3.

Пусть  ─

некоторая линейная система дифференциальных уравнений и

P = ─

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

.

Тогда старший показатель Ляпунова  не превосходит верхнего центрального числа  семейства P, то есть

_.

Доказательство.

 Так как ,

то

.

Выразим из последнего равенства :

, .

Тогда из определения 1.2 следует, что

[определение 1.6],

то есть

.

Из этого следует, что

.

Так как по определению 1.5

,

то

.

Тогда из следствия 2 получаем, что

.

Так как по определению 1.9

_,

 

то .

(утверждение 3 доказано)