Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом

Министерство образования Республики Беларусь Гомельский Государственный университет имени Франциска Скорины Курсовая работа «Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом» Гомель 2006

Реферат

Курсовая работа состоит из 19 страниц, 3-х источников.

Ключевые слова: эквивалентная система, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, эквивалентность систем в смысле совпадения отражающих функций, непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная скалярная нечётная функция.

Целью курсовой работы является нахождение связи между первым интегралом системы и эквивалентными системами.

Содержание

 

Введение

Отражающая функция

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий

Общее решение

Заключение

Список использованных источников

Введение

В курсовой работе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.

В результате приходим к теореме, которая звучит так:

Пусть  первый интеграл системы ,  (1). Если , удовлетворяет уравнению , то указанная система эквивалентна системе , ,  (2). И если, кроме того , где - некоторая функция (-может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где  и .

Отражающая функция

Определение. Рассмотрим систему

 (1)

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

 

Отражающей функцией системы (1) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

1.)       для любого решения системы (1) верно тождество

2.)       для отражающей функции F любой системы выполнены тождества

3) дифференцируемая функция  будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

Рассмотрим систему  (1*) считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция  со свойствами: 1) отражающая функция  любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения  с функцией ; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция  которая совпадает в области  с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию  при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .

 

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему =   (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:GR, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V VR, определяемую равенством

.

Обозначим V (t, x(t))t.

Лемма

Дифференцируемая функция U (t, x), U:GR, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества

U

Откуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) из определения будем иметь тождества

а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию , для которой выполняется неравенство

 и

Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий

Наряду с исходной дифференциальной системой

   

будем рассматривать множество возмущённых систем

   

где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). При совпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига на симметричном промежутке вида  и, значит, для периодических систем совпадают их отображения за период .

Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению

 

Если вектор-функция, а

вектор-столбец, то полагаем

 ,

 

Лемма 1.

Для любых трёх вектор-функций    из которых функция  дважды непрерывно дифференцируема, а функции  и  дифференцируемы, имеет место тождество

 

Лемма 2.

Пусть отражающая функция системы  с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор функции  функция

 

удовлетворяет тождеству

 

Доказательство. Учитывая соотношение , простыми выкладками установим тождества

К первым двум слагаемым последней части этого тождества применим тождество . Тогда после несложных формальных преобразований придём к соотношению

Прибавим к левой и правой частям этого соотношения выражение  придём к нужному нам тождеству

Лемма доказана.

Теорема 1

Пусть вектор-функция  является решением дифференциального уравнения в частных производных

 

Тогда возмущённая дифференциальная система

   ,

где - произвольная непрерывная скалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе .

Доказательство. Пусть отражающая функция системы . Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что она удовлетворяет и тождеству

 

Для этого введём функцию  по формуле . Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы с учётом соотношения  это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции  верно тождество , имеет место соотношения

.

Таким образом, функция  является решением задачи Коши

 

Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество  влекущее за собой тождество .

Теперь покажем, что отражающая функция  системы  является также и отражающей функцией системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде

 

Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечётность функции  приходим к следующей цепочке тождеств:

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое – в силу того, что для отражающей функции системы  верно тождество , второе – потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество  выполняется и функция  является отражающей функцией системы . Теорема доказана.

А теперь рассмотрим пример.

Пример

 

Рассмотрим систему

в которой непрерывные и периодические функции ,  таковы, что  и  – нечётные функции.

Эта система эквивалентна стационарной системе

Здесь  и , ,

.

Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл , которому соответствуют периодические решения, то из сказанного следует, что все решения ,  рассматриваемой системы, начинающиеся при  на окружности , являются периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при  стремится к одному из указанных периодических.

Общее решение системы

Рассмотрим две дифференциальные системы

,  (1)

, , , (2)

где - непрерывная скалярная нечётная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Лемма 1

Для любой нечётной функции , определённой в окрестности , справедливо .

Доказательство.

Так как - непрерывная нечётная функция, то  и

 при

Лемма 2

Пусть  есть первый интеграл системы . Тогда  есть первый интеграл системы .

Доказательство. Т.к.  есть первый интеграл системы , то его производная в силу системы равна , т.е. .

Полагая здесь , получаем , что и означает что  первый интеграл системы

.

Теорема 1.

Пусть  – отражающая функция системы  и удовлетворяет следующему соотношению  (3)

Тогда система  эквивалентна системе  в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Поскольку  отражающая функция системы , то  (4). Рассмотрим выражение

(равно  т.к.  отражающая функция системы )+(равно  по ) (4)

означает, что отражающая функция системы . Поскольку у систем  и отражающие функции совпадают, то системы  и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.

Введём такие обозначения

 и - семейства функций, являющиеся решениями систем  и , соответственно  и - решение систем  и  соответственно.

Лемма 4

Пусть  первый интеграл системы . Если выполнено соотношение  (5), где некоторая функция, то  есть первый интеграл системы , где .

Доказательство. Так как , то  удовлетворяет уравнению , так как , то . Умножим обе части справа на , получим . Перенесём всё в левую часть и к левой части прибавим выражение . Так как - первый интеграл, получим . Т.е. производная функции  в силу системы  равна , а это означает, что  есть первый интеграл системы . Ч.т.д.

Лемма 5. Если  удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:

 (6), где - правая часть системы (1), первый интеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой  в смысле совпадения отражающей функции.

Доказательство. Умножим (6) на скалярную функцию , получим:

 (7)

Так как - первый интеграл системы (1), то

 (8)

Прибавим (7) к (8) и преобразуем, получим: . Таким образом,  удовлетворяет теореме 1 (если  удовлетворяет , то (1) эквивалентно (2) и значит, если , то система (2) эквивалентна системе (1).

Теорема 2

Пусть  первый интеграл системы (1). Если , удовлетворяет уравнению (6), то система (1) эквивалентна системе (2). И если, кроме того  (9), где - некоторая функция (-может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где  и .

Доказательство.

Доказательство 1-й части теоремы прямо  из леммы 3.

Требуется доказать вторую часть теоремы. Найдём производную  в силу системы (2)

 и

обозначим её (*).

Выражение в […]=0, так как -первый интеграл системы (1),  (*) преобразуется в следующее выражение

[так как ]= (**)

Так как  удовлетворяет уравнению , то таким образом (**)=0, что и означает, что первый интеграл системы (2). Требование  вытекает из леммы 2.

Лемма

Пусть системы  и  эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций. Пусть  их отражающая функция и пусть  есть первый интеграл системы , тогда U, ,  и .

Доказательство. Возьмём произвольное решение  системы . Покажем, что на нём U обращается в постоянную.

Действительно, т. к.  отражающая функция, то . По определению функции   и т. к. первый интеграл системы , то U.

То, что U очевидно. Действительно, возьмём любую функцию . Обозначим  по свойству отражающей функции .

Обозначим , так как  только функциям из  сопоставляет функции из , то  и по определению первого интеграла  U отлична от  и обращается в  только вдоль решений системы . А это и означает, что U – первый интеграл системы .

(U удовлетворяет лемме 2).

Лемма даёт понимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущённой и не возмущённой систем.

Заключение

В данной работе рассмотрены эквивалентные системы. Сформулирована теорема, которая говорит об эквивалентности систем. Сформулированы и доказаны леммы, которые применяются для доказательства теоремы.

Сформулированы определения дифференциальных систем, эквивалентных систем в смысле совпадения отражающих функций, первого интеграла, определение отражающей функции и общие свойства отражающей функции.

Список использованных источников

 

1.     Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.

2.     Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 – 19 с.

3.     Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.