Взаимозаменяемость продовольственных продуктов: масла животного и масла растительного. Их потребление

тема: Взаимозаменяемость продовольственных продуктов: масла животного и масла растительного. Их потребление.

Этап 1 Постановочный

Целью этой работы является изучение взаимозаменяемости продовольственных товаров: масла животного и масла растительного. А затем построение модели, которую можно было бы использовать для прогнозирования взаимозаменяемости товаров.

Этап 2 Априорный

Изучив сложившуюся ситуацию на рынке продовольственных товаров, я пришла к выводу, что взаимозаменяемость вышеуказанных продуктов зависит от цент на эти продукты, от национальных предпочтений, от удаленности от производства, сезонных особенностей употребления этих продуктов.

Итак, результативный признак Y – потребление животного масла кг., фактор Х – потребление растительного масла кг.

Этап 3 Информационный

Для изучения влияния именно фактора Х (потребление растительного масла), постараемся отобрать в выборку однородные участки, т.е. с примерно одинаковыми характеристиками, и за один и тот же период времени.

В выборку отобрано 55 регионов РФ, расположенных в Южном федеральном округе, Приволжском федеральном округе, Уральском федеральном округе, Сибирском федеральном округе и Дальневосточном федеральном округе на январь – февраль 2007 года.

Источник статистических данных – сайт Госкомстата РФ, распечатки прилагаются.

№	У (потребление животного масла), кг	Х (потребление растительного масла), кг
Республика Адыгея	50,8	138,4
Республика Дагестан	50,8	147,5
Республика Ингушетия	46,3	113
Кабардино-Балкарская Республика	65,1	167
Республика Калмыкия	45,5	105,6
Карачаево-Черкесская Республика	66,9	167,2
Республика Северная Осетия - Алания	76,1	198,7
Краснодарский край	83,1	252,1
Ставропольский край	63,9	197
Астраханская область	108,4	217,8
Волгоградская область	91,5	243,1
Ростовская область	86,5	242,1
Республика Башкортостан	105,6	261,3
Республика Марий Эл	64,4	149,4
Республика Мордовия	59,5	151,1
Республика Татарстан	118,5	266,8
№	У (потребление животного масла), кг	Х (потребление растительного масла), кг
Удмуртская Республика	68,1	172,7
Чувашская Республика	55,9	149,7
Пермский край	118,9	294,5
Кировская область	53	168,3
Нижегородская область	80,2	227,2
Оренбургская область	74,4	209,6
Пензенская область	82,8	183,8
Самарская область	85,2	237,1
Саратовская область	90,5	190,3
Ульяновская область	80,3	196,7
Курганская область	68,6	194
Свердловская область	104,2	285,1
Тюменская область	173,3	455
Ханты-Мансийский авт.округ-Югра	221,4	547,8
Ямало-Ненецкий авт. округ	195,9	546,1
Челябинская область	87	230,8
Республика Алтай	63,7	154,7
Республика Бурятия	80,2	190,4
Республика Тыва	41	88
Республика Хакасия	66,9	171,8
Алтайский край	66,4	202,9
Забайкальский край	79,9	167,3
Агинский Бурятский авт. округ	73,2	162,8
Красноярский край	103,2	276,9
Иркутская область	89,5	210,3
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ	43,7	82,7
Кемеровская область	93,3	258,4
Новосибирская область	90,5	229,9
Омская область	102,7	272,3
Томская область	107	273,5
Республика Саха (Якутия)	116,6	254,6
Камчатский край	90,8	293,2
Приморский край	73,9	208,3
Хабаровский край	83,5	294
Амурская область	56,4	185,2
Магаданская область	99	290,6
Сахалинская область	113,4	372,2
Еврейская автономная область	65,5	174
Чукотский авт. округ	108,2	285,8

Предварительный анализ статистических данных

Основные расчёты были проведены с помощью программы MathCAD (распечатки прилагаются).

(Или: Для удобства вычислений в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной таблицы (см. расчетную таблицу ниже), округляя и занося в неё промежуточные результаты).

Поле корреляции и линия регрессии

Сначала построим поле корреляции – точки с координатами (х_i, у_i), и по их расположению сформулируем предположение о связи Y(потребление животного масла) и X(потребление растительного масла).

Визуальный анализ полученного поля корреляции показывает, что точки располагаются вдоль некоторой воображаемой возрастающей прямой линии, причём достаточно плотно, слабо рассеиваясь около неё.

Т.е. можно сказать, что прослеживается тесная прямая (положительная) зависимость, т.к. чем больше потребление растительного масла, тем больше потребление животного масла, которое зависит от сезонных особенностей.

Также можно заметить, что варьирование (дисперсия) потребление животного масла сильнее при малом потреблении растительного масла, а при большем потреблении – дисперсия потребления животного масла мала. Следовательно, можно предположить, что в модели будет гетероскедастичность.

Проверим наши предположения аналитически, с помощью расчётов на следующих этапах.

Основные характеристики выборки

Средние значения:  и .

Стандартные отклонения:  и

(где  и ).

Итак, в данной выборке рассматриваются взаимозаменяемость потребления растительного масла в среднем на 225,275 кг. со стандартным отклонением 91,273 кг., потребления животного масла в среднем составила 86,02 кг. со стандартным отклонением 33,777 кг.

Линейный коэффициент корреляции:

(где ).

Это подтверждает сделанные ранее выводы.

Т.к. , то взаимозаменяемость животного масла«растительного масла действительно можно считать линейной. Эта линейная зависимость положительна. Теснота связи очень сильная. А значит, линейная парная регрессионная модель вполне подойдёт для исследования и описания взаимозаменяемость животного масла«растительного масла.

 

Этап 4 Спецификация и параметризация

 

Линейная парная регрессионная модель

На основе предыдущих этапов можем с большой уверенностью предположить, что взаимозаменяемость животного масла и растительного масла – линейна.

Тогда для моделирования используем линейную парную регрессионную модель  для генеральной совокупности.

Для выборки модель также линейна: .

Найдём объяснённую часть модели - линейное уравнение регрессии по выборке: . Для этого нужно найти коэффициенты регрессии а₀ и а₁, являющиеся оценками параметров a₀ и a₁ линейной модели. А затем оценим случайную составляющую e с помощью остатков e_i и проверим выполнение для них предпосылок МНК.

Этап 5 Идентификация

 

Для построения модели используем классический подход - метод наименьших квадратов МНК.

Из системы нормальных уравнений:

 находим коэффициенты регрессии а₀ и а₁.

Все необходимые числовые значения рассчитаны ранее (см. расчетную таблицу), подставим их в систему нормальных уравнений: ему нормальных уравнений: бюджет льуплений от налога на прибыль предприятий о с увеличением размера среднемесячной зарплаты Х н

и решим её относительно а₀, а₁. Получим коэффициенты регрессии: а₀=6,622 и .

Итак, уравнение регрессии имеет вид: .

Коэффициент а₀=6,622 формально интерпретируется как взаимозаменяемость потребление животного масла, равным нулю, т.е. при х=0. Это вполне имеет смысл. Т.о., взаимозаменяемость животного масла в среднем в январе – декабре 2007 г. составляла 6,622 кг.

А коэффициент  показывает, что полученная линейная связь взаимозаменяемости потребления животного масла (результативного признака Y) и растительного масла (фактора Х) – положительна, то есть при увеличении потребления растительного масла на 1 кг. от среднего значения, то потребление животного масла вырастит на 0,352 от среднего значения.

В декартовой системе координат ХОУ на поле корреляции строим и график линии регрессии по найденному уравнению.

Действительно, видим, что точки поля корреляции плотно расположены вдоль прямой регрессии. А значит, построенная линейная модель хорошо описывает стат. данные. Проведём подробный анализ её качества.

Этап 6 Верификация

 

Линейный коэффициент корреляции

Вычислим его по другой формуле, проверим правильность расчётов:

 - совпадает с вычисленным ранее (небольшое различие – из-за округления).

Коэффициент детерминации

По свойству: .

Он показывает, что вариация результативного признака Y (потребление животного масла) на 90,6% объясняется вариацией фактора X (потребление растительного масла). То есть потребление животного масла на 78,6% обусловлены взаимозаменяемостью растительного масла. А в остальном – на 9,4% потребления животного масла обусловлено колебаниями и изменениями других факторов и условий.

Т.е., подтвердилось предположение о взаимозаменяемости потребления животного масла и растительного масла.

Средний коэффициент эластичности

Для линейной регрессии: .

Средний коэффициент эластичности показывает, что в среднем при увеличении потребления животного масла на 1% от своего среднего значения, потребление растительного масла увеличится в среднем на 0,923% от своего среднего значения.

Эластичность взаимозаменяемых товаров достаточно велика, что вполне согласуется со сложившейся ситуацией на рынке продовольствия в РФ. Чем выше продажа растительного масла, тем сильнее и заметнее растет продажа животного масла. Проверим правильность вычислений:  (см. расчётную табл. - действительно).

Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции

Оценим статистическую значимость полученных коэффициентов регрессии а₀ и а₁, коэффициента корреляции r_ух с помощью t-критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05.

Эта проверка проводится по единой схеме, с помощью гипотез.

Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ о случайной природе полученного коэффициента, о незначимом его отличии от нуля, то есть гипотеза Н₀ состоит в том, что коэффициент=0. Альтернативная ей гипотеза Н₁ состоит в том, что  неслучайно, то есть полученный коэффициент статистически значим. Чтобы опровергнуть гипотезу Н₀ и подтвердить гипотезу Н₁ должно выполняться неравенство  на уровне значимости  и с (n–2) степенями свободы, где n – количество наблюдений, уровень значимости – вероятность совершить ошибку, отвергнув гипотезу Н₀, когда она верна.

Для а₁: Н₀: а₁=0, Н₁: .

Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии а₁ – .

Потребуется сделать промежуточные вычисления: подставляя фактические значения х_i в уравнение регрессии найдем смоделированные значения , затем вычислим разность между фактическими и смоделированными значениями, т.е. остатки , затем возведём остатки в квадрат е_i² и просуммируем; результаты представлены в расчетной таблице. Теперь подставим необходимые данные в формулу для расчёта :  и t-статистики по модулю: .

Затем сравним наблюдаемое значение  с табличным значением t-критерия Стьюдента. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n–2=55-2=53 степенями свободы: t_табл=2,01. Наблюдаемое значение t-статистики превышает табличное значение t-критерия: 22 > 2,01, то есть выполнено неравенство , а значит, гипотеза Н₀ о случайной природе полученного коэффициента отвергается и принимается альтернативная ей гипотеза Н₁, свидетельствующая в 95% случаев остатистической значимости полученного коэффициента регрессии а₁. Т.о., можно считать, что взаимозаменяемость товаров подтвердилась и статистически установлена.

Для а₀: Н₀: а₀=0, Н₁: .

Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии а₀– . Все необходимые цифры уже имеются в расчетной таблице, подставим эти данные в формулу: , а затем рассчитаем t-статистику по модулю: .

Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t-критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n–2=55-2=53 степенями свободы: t_табл=2,01,где 2<t_a0< 3 (t_{табл >} t_a0) можно сделать вывод, что коэффициент регрессии а₀можно признать статистически значимым в 90% случаев.

Для r_ух: Н₀: r_ух=0, Н₁: .

Для этого рассчитаем стандартную ошибку коэффициента корреляции r_ух– :  и t-статистику по модулю: .

Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t-критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n–2=55-2=53 степенями свободы: t_табл=2,01, можно сделать вывод остатистической значимости полученного коэффициента корреляции r_ухв 95% случаев, предполагаемая взаимозаменяемость товаров подтвердилась.

 Проверим правильность вычислений: , действительно 22»22,7.

Доверительные интервалы для параметров регрессионной модели a₀ и a₁

Доверительный интервал для a₀ с надежностью g=1-d: . Выбрав уровень значимости d=0,05, получаем надежность g=0,95. Все необходимые цифровые значения уже рассчитаны ранее, тогда , откуда получаем (0,4312; 12,813).ыберемрительной вероятностью ров регрессионной модели

Доверительный интервал для a₁ с надежностью g=1-d: . При выбранной надежности g=0,95: , откуда (0,32; 0,384).

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное значение параметра a₀ будет заключено в пределах от 0,4312 до 12,813, а истинное значение параметра a₁ - в границах от 0,32 до 0,384.

Следует отметить, что доверительные интервалы узкие, т.к. значения стандартных ошибок  и  малы. А это подтверждает, что другие факторы оказывают несущественное влияние на покупательскую способность товаров. Основным фактором является выбранный фактор Х – замена растительным маслом. Значит, точность модели будет вполне приемлемой.

Оценка качества уравнения регрессии в целом

F-критерий Фишера

Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии. Альтернативная ей гипотеза Н₁ о статистической значимости. Чтобы опровергнуть гипотезу Н₀ и подтвердить гипотезу Н₁ должно выполняться неравенство .

Рассчитаем наблюдаемое значение F-критерия (воспользуемся свойством для линейной парной регрессии): .

Табличное значение по таблице распределения Фишера на уровне значимости d=0,05 с k₁=1 и k₂=n–2=23-2=21 степенями свободы: F_табл=4,03. Наблюдаемое значение F–критерия превышает табличное: 510,83 > 4,03, то есть выполнено неравенство , а значит, гипотеза Н₀ о случайной природе полученного уравнения регрессии отклоняется в пользу гипотезы Н₁, свидетельствующей в 95% случаев оего статистической значимости и взаимозаменяемости товаров. Уравнение по данным выборки можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

Оценка аппроксимации модели

Потребуется сделать промежуточные вычисления: остатки е_i разделим на фактические значения у_i, полученные частные от этих делений возьмем по модулю  и просуммируем; результаты представлены в расчетной таблице.

Средние ошибки аппроксимации: , . Ошибки почти совпадают и равны »25%.

В среднем смоделированные значения взаимозаменяемость животного масла отклоняются от фактических на 9-12%. Подбор модели к фактическим данным можно оценить как не точный, так как средняя ошибка аппроксимации превышает 20%.

Но, учитывая высокое качество модели и сильную линейную зависимость между Y (потребление животного масла) и Х (потребление растительного масла), эту модель можно использовать для прогнозирования с осторожностью.

Т.к. большую погрешность. Только при этом следует помнить, что в некоторых случаях прогнозы могут быть вполне точны, а в некоторых содержать немаленькую погрешность, до 12% в среднем.

Этап 7 Выводы, предложения. Прогнозирование

 

Прогнозирование по полученному уравнению регрессии

Полученные оценки уравнения регрессии не позволяют использовать его для качественного прогноза взаимозаменяемости товаров. Как уже говорилось, точность модели невысока. Можно её использовать лишь для того, чтобы составить приблизительное мнение о взаимозаменяемости и только в рассмотренный период.

Пусть прогнозное значение фактора х=300 кг (при этом реальное потребление животного масла в январе-феврале 2007 г. - 100 кг.) Точечный прогноз: кг.

Как видим, прогноз непригоден, сильно завышен.

Пусть прогнозное значение фактора х=90 кг (при этом реальная потребление животного масла в январе-феврале 2007 г. - 43 кг.)) Точечный прогноз: кг.

Как видим, в этом случае прогноз занижен, но более-менее соответствует действительности, особенно если учесть, что его погрешность 9-12%. Можно сделать поправку на эту погрешность, и тогда получим 32,902 кг., тоже не равно реальному значению. Реальное значение 43 кг., оказалось как раз между ними. Но как это угадать при неизвестном значении Y (продажа животного масла)?

Доверительный интервал для средней продажи животного масла при условии, при условии взаимозаменяемости растительным маслом, х=90 км с надежностью g=0,95:  ,

где стандартная ошибка для средних значений: .

И даже этот доверительный интервал продаж животного масла от 34,242 до 42,362 кг. не включает в себя реального значения, занижает прогноз.

 Доверительный интервал для индивидуальной продажи животного масла при условии, при условии взаимозаменяемости растительным маслом, х=90 кг с надежностью g=0,95: ,

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

.

В этот интервал продажи животного масла попало. Но интервал получился очень широким.

Таким образом, если продажа растительного масла равнялась 90 кг, то продажа животного масла в январе - феврале 2007 г. могла составлять от 15,374 до 61,23 кг. Этот интервал определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 5% значений цен, которые могли быть зафиксированы для взаимозаменяемых товаров.

Выводы, сделанные ранее о прогнозах по этой модели подтвердились. Ни точечный, ни интервальный прогноз не отличаются точностью, и с трудом пригодны для практического использования в отдельных случаях.

Расчетная таблица

№	xi2	yi xi	yi2	ei	ei2
Республика Адыгея	19154,56	7030,72	2580,64	4,5388	20,601	0,08934646
Республика Дагестан	21756,25	7493	2580,64	7,742	59,939	0,15240157
Республика Ингушетия	12769	5231,9	2143,69	0,098	0,010	0,00211663
Кабардино-Балкарская Республика	27889	10871,7	4238,01	0,306	0,094	0,00470046
Республика Калмыкия	11151,36	4804,8	2070,25	-1,7068	2,913	0,03751209
Карачаево-Черкесская Республика	27955,84	11185,68	4475,61	-1,4236	2,027	0,02127952
Республика Северная Осетия - Алания	39481,69	15121,07	5791,21	0,4644	0,216	0,0061025
Краснодарский край	63554,41	20949,51	6905,61	12,2612	150,337	0,14754753
Ставропольский край	38809	12588,3	4083,21	12,066	145,588	0,18882629
Астраханская область	47436,84	23609,52	11750,56	-25,1124	630,633	0,23166421
Волгоградская область	59097,61	22243,65	8372,25	0,6932	0,481	0,00757596
Ростовская область	58612,41	20941,65	7482,25	5,3412	28,528	0,06174798
Республика Башкортостан	68277,69	27593,28	11151,36	-7,0004	49,006	0,06629167
Республика Марий Эл	22320,36	9621,36	4147,36	-5,1892	26,928	0,08057764
Республика Мордовия	22831,21	8990,45	3540,25	0,3092	0,096	0,00519664
Республика Татарстан	71182,24	31615,8	14042,25	-17,9644	322,720	0,15159831
Удмуртская Республика	29825,29	11760,87	4637,61	-0,6876	0,473	0,01009692
Чувашская Республика	22410,09	8368,23	3124,81	3,4164	11,672	0,06111628
Пермский край	86730,25	35016,05	14137,21	-8,614	74,201	0,07244743
Кировская область	28324,89	8919,9	2809	12,8636	165,472	0,24270943
Нижегородская область	51619,84	18221,44	6432,04	6,3964	40,914	0,07975561
Оренбургская область	43932,16	15594,24	5535,36	6,0012	36,014	0,08066129
Пензенская область	33782,44	15218,64	6855,84	-11,4804	131,800	0,13865217
Самарская область	56216,41	20200,92	7259,04	4,8812	23,826	0,05729108
Саратовская область	36214,09	17222,15	8190,25	-16,8924	285,353	0,18665635
Ульяновская область	38690,89	15795,01	6448,09	-4,4396	19,710	0,05528767
Курганская область	37636	13308,4	4705,96	6,31	39,816	0,09198251
№	xi2	yi xi	yi2	ei	ei2
Свердловская область	81282,01	29707,42	10857,64	2,7772	7,713	0,02665259
Тюменская область	207025	78851,5	30032,89	-6,518	42,484	0,03761108
Ханты-Мансийский авт. округ-Югра	300084,84	121282,92	49017,96	-21,9524	481,908	0,09915266
Ямало-Ненецкий авт. округ	298225,21	106980,99	38376,81	2,9492	8,698	0,01505462
Челябинская область	53268,64	20079,6	7569	0,8636	0,746	0,00992644
Республика Алтай	23932,09	9854,39	4057,69	-2,6236	6,883	0,04118681
Республика Бурятия	36252,16	15270,08	6432,04	-6,5572	42,997	0,0817606
Республика Тыва	7744	3608	1681	-3,402	11,574	0,08297561
Республика Хакасия	29515,24	11493,42	4475,61	0,1956	0,038	0,00292377
Алтайский край	41168,41	13472,56	4408,96	11,6428	135,555	0,17534337
Забайкальский край	27989,29	13367,27	6384,01	-14,3884	207,026	0,1800801
Агинский Бурятский авт. округ	26503,84	11916,96	5358,24	-9,2724	85,977	0,12667213
Красноярский край	76673,61	28576,08	10650,24	0,8908	0,794	0,00863178
Иркутская область	44226,09	18821,85	8010,25	-8,8524	78,365	0,0989095
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ	6839,29	3613,99	1909,69	-7,9676	63,483	0,18232494
Кемеровская область	66770,56	24108,72	8704,89	4,2788	18,308	0,04586066
Новосибирская область	52854,01	20805,95	8190,25	-2,9532	8,721	0,03263204
Омская область	74147,29	27965,21	10547,29	-0,2284	0,052	0,00222395
Томская область	74802,25	29264,5	11449	-4,106	16,859	0,03837383
Республика Саха (Якутия)	64821,16	29686,36	13595,56	-20,3588	414,481	0,17460377
Камчатский край	85966,24	26622,56	8244,64	19,0284	362,080	0,20956388
Приморский край	43388,89	15393,37	5461,21	6,0436	36,525	0,08178078
Хабаровский край	86436	24549	6972,25	26,61	708,092	0,31868263
Амурская область	34299,04	10445,28	3180,96	15,4124	237,542	0,2732695
Магаданская область	84448,36	28769,4	9801	9,9132	98,272	0,10013333
Сахалинская область	138532,84	42207,48	12859,56	24,2364	587,403	0,21372487
Еврейская автономная область	30276	11397	4290,25	2,37	5,617	0,03618321
Чукотский авт. округ	81681,64	30923,56	11707,24	-0,9764	0,953	0,00902403
Сумма	3256815,82	1228553,66	469716,49	»0	5938,511	5,036

 

Проверка выполнения предпосылок МНК

 

Предпосылка 2. О гомоскедастичности остатков.

На Этапе 3 по полю корреляции и характеру стат. данных было сделано предположение о наличии гетероскедастичности. Проверим его с помощью теста Голдфельда-Квандта.