Y-ỹ

1 y-ỹ

А= ∑ ∙100%

n y

Допустимый предел значений А – не более 8-10%

Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии т.е у и ỹх. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, это лучшее качество модели. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака( y-ỹх) по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Их число соответствует объему совокупности. В отдельных случаях ошибка аппроксимации может оказаться равной нулю. Для сравнения используются величины отклонений, выраженные в процентах к фактическим значениям.

Поскольку ( y-ỹх) может быть как величиной положительной так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю.

Отклонения ( y-ỹх) можно рассматривать как абсолютную ошибку аппроксимации, а

(y-ỹх)

*100

у

как относительную ошибку аппроксимации . Что б иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую:

l (y-ỹх)

А= n ∑ у ∙100

 

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

∑(у-у)²= ∑(ỹх-у)² + ∑(у-ỹх)²,

 где ∑(у-у)² общая сумма квадратов отклонений;

∑(ỹх-у)²  сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией

∑(у-ỹх)² остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R²:

∑(ỹx-y)²

R²= ∑(y-y)²

Коэффициент детерминации- квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-mecm-оценивание качества уровнения регрессии- состоит в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического

Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F критерия Фишера. Fфакт-

определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсией, рассчитанных на одну степень свободы:

∑(ỹx-y)²/m  r²xy

Fфакт= = (n-2)

 ∑(y-ỹ)² /(n-m-1)  1-r²xy  

 

n- число едениц совокупности;

m- число параметров при переменных х.

Fтабл- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости а

Уровень значимости а вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно а принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл< Fфакт то Но – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл> Fфакт , то гипотеза Но не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

УСЛОВИЕ

По пяти городам известны значения 2х признаков: табл.№1

город	Средний доход сельхоз-хозяйств в %	Средний прирост КРС
Красноярск	72,8	47,1
Брянск	63,2	59,2
Армавир	61,9	50,2
Ростов	58,7	63,8
Киев	57,0	60,8

Требуется:

1) для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций (линейной, степенной, показательной, равносторонней гиперболы).

2) оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А и F- критерии Фишера.

 

ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

Для расчета параметров а и b линейной регрессии у=а+b∙x ,решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

n∙a+b∙∑x=∑y

yx- y∙x

a∙∑x+b∙∑x²=∑y∙x получаем b= σ²x

табл.№2

№п/п	у	х	ух	x²	y²	ŷx	у – ŷx	Аi
1	72,8	47,1	3428,88	2218,41	5299,84	68,87	3,93	5,30
2	63,2	59,2	3741,44	3504,64	3994,24	60,64	2,56	4,04
3	61,9	50,2	3107,38	2520,04	3831,61	66,76	-4,9	7,80
4	58,7	63,8	3745,06	4070,44	3445,69	57,51	1,13	1,90
5	57,0	60,8	3465,6	3696,64	3249	59,55	-2,55	4,47
Итого	313,6	281,1	17488,36	16010,17	19820,38			23,51
Среднее значение	62,72	56,22	3497,672	3202,034	3964,076			4,7
σ	5,5025	6,43
σ²	30,2776	41,34

Дисперсия получается, по формуле

1

σy²= n ∑(yi-y)²

σy²=3964.076-62.72²=30.2776

σх²=3202.034-56.22²=41.3456

ух-у∙х

b= σ²x =(3497,672-62,72∙56,22)/41,3456=0,68

а= у-b∙x=62,72+0,68∙56,22=100,9

уравнение регрессии ŷ=100,9-0,68х

ŷ1=100,9-0,68∙47,1=68,87

ŷ2=100,9-0,68∙59,2=60,64

ŷ3=100,9-0,68*50,2=66,76

ŷ4=100,9-0,68*63,8=57,51

ŷ5=100,9-0,68*60,8=59,55

 

Считаем линейный коэффициент парной корреляции

rху=b∙σx ∕ σy=0,68*6,43/5,5025=0,79 следовательно, связь сильная прямая

rху²=0.79²=0.62- коэффициент детерминации

Вариация результата на 62% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения ŷx и занесем их в таблицу. Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

|yi-ŷxi|

Аi= yi *100%

А1=3,93/72,8*100%=5,3%

А2=2,56/63,2*100%=4,04%

А3=|-4,9| / 61,9*100%=7,8%

А4=1,13/58,7*100%=1,9%

А5=|-2,55| /57,0*100%=4,47%

 

 В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,7%

По каждому наблюдению вычислим величину отклонения. Полученные данные занесем в таблицу

У1-ŷ1=72,8-68,87=3,93

У2-ŷ2=63,2-60,64=2,56

У3-ŷ3=61,9-66,76=-4,9

У4-ŷ4=58,7-57,57=1,13

У5-ŷ5=57,0-59,55=-2,55

Рассчитываем F критерий

 ∑(ỹx-y)²/m  r²xy

Fфакт= = =0,62/(1-0,62)*(5-2)=4,89

∑(y-ỹ)² /(n-m-1)  1-r²xy  (n-2)

т.к Fтабл.α=0,05 =10,13 следовательно Fтабл> Fфакт  отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

ПОСТРОЕНИЕ СТЕПЕННОЙ РЕГРЕССИВНОЙ МОДЕЛИ

У=а*х предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+b* lg x;

Y=C+b*X где

Y=lg y.,C= lg a., X= lg x

Табл.№3

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
1	1,86	1,67	3,1062	3,4596	2,7889	68,61	4,19	17,6	5,76
2	1,80	1,77	3,186	3,24	3,1329	60,24	2,96	8,76	4,68
3	1,79	1,70	3,043	3,2041	2,89	66,17	-4,27	18,23	6,90
4	1,77	1,80	3,186	3,1329	3,24	57,72	0,98	0,96	1,67
5	1,76	1,78	3,1328	3,0976	3,1684	59,33	-2,33	5,43	4,09
Итого	8,98	8,72	15,654	16,134	15,22			50,98	23,1
Сред.знач	1,796	1,744	3,1308	3,22	3,044			10,196	4,62
σ	0,3010	0,05
σ²	0,0906	0,0025

Рассчитаем σ:

1

σ²x= n ∑(хi-х)²=3,044-1,744²=0,0025

1

σy²= n ∑(yi-y)²=3,22-1,769²=0,0906

вычислим значения С и b по формуле:

b= yx-y∙x =(3,1308-1,796*1,744)/0,0025= -0,5696

σ²x

С=Y-b∙X=1,796+0,5696*1,744=2,7894

Получим линейное уравнение Ỹ=2,7894-0,5696*Х, после потенцирования

2,7894 -0,5696 -0,5696

получим: ŷ=10  *х =615,7 *х

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоритические значения результата ŷx. По ним рассчитываем показатели: тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации Аi

2,7894

Ŷ1=10 *47,1=68,61

2,7894

Ŷ2=10 *59,2=60,24

2,7894

Ŷ3=10 *50,2=66,17

2,7894

Ŷ4=10 *63,8=57,72

2,7894

Ŷ5=10 *60,8=59,33 далее рассчитаем Аi

l  (yi-ỹхi)

А= n ∑ Аi = уi ∙100%

 

А1=4,19/72,8*100%=5,76%

А2=2,96/63,2*100%=4,68%

А3=4,27/61,9*100%=6,90%

А4=0,98/58,7*100%=1,67%

А5=2,33/57,0*100%=4,09%

 

ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√ l-10,196/30,2776=0,81

определим коэффициент по формуле детерминации:

r²xy=(Pxy)²=(0,81)²=0,6561

 

Аi=4,62%

 

Характеристика степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

 

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

Построению уравнения показательной кривой у=а ·bx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+x*lgb

Y=C+Bx где,

Y=lg y., C=lg a., B=lgb

Табл.№4

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
1	1,86	47,1	87,606	3,4596	221,41	67,96	4,84	23,42	6,65
2	1,80	59,2	106,56	3,24	3504,64	60,18	3,02	9,12	4,77
3	1,79	50,2	89,858	3,2041	2520,04	65,87	-3,97	15,76	6,41
4	1,77	63,8	112,926	3,1329	4070,44	57,45	1,25	1,56	2,12
5	1,76	60,8	107,008	3,0976	3696,64	59,22	-2,22	4,92	3,89
Итого	8,98	281,1	503,958	16,1342	16010,17	310,68	2,92	54,78	23,84
Сред.знач	1,796	56,22	100,7916	3,2268	3202,034				4,77
σ	0,037	6,4
σ²	0,0012	41,34

 

Значения параметров регрессии А. и В составили:

b= Υ·x - Υ· x =(100,7916-1,796*56,22)/41,34=-0,0043

σ²x

А=Υ-В * х=1,796+0,0043*56,22=2,0378

Получено линейное уравнение : Ỹ=2,0378-0,0043* х далее, исходя из этого уравнения произведем потенцирование и запишем его в обычной форме

2,0378 -0,0043 * х х

ŷ=10 *10 =109,1*0,99

47,1

ŷ1=109,1*0,99 =67,96

59,2

ŷ2=109,1*0,99 =60,18

50,2

ŷ3=109,1*0,99 =65,87

63,8

ŷ4=109,1*0,99 =57,45

60,8

ŷ5=109,1*0,99 =59,22

рассчитаем Аi

l  (yi-ỹхi)

А= n ∑ Аi = уi ∙100%

 

А1=4,84/72,8*100%=6,65%

А2=3,02/63,2*100%=4,77%

А3= 3,97/61,9*100%=6,41%

А4=1,25/58,7*100%=2, 12%

А5=|2,22/57,0*100%=3,89%

Аi=4,77%

Тесноту связи оцениваем через индекс корреляции:

ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-10,95/30,2776=0,8

Связь умеренная, но немного хуже чем в предыдущем случае.

Коэффициент детерминации : r²xy=(Pxy)²=(0,8)²=0,64.

Аi=4,77%. Показательная функция чуть хуже, чем степенная- она описывает изучаемую зависимость.

РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ РАВНОСТОРОННЕЙ ГИПЕРБОЛЫ.

1

Уравнение равносторонней гиперболы у=а+b х линеаризуется при замене

1

Z= х , тогда уравнение равносторонней гиперболы принимает следующий вид: у=а+b*z

Табл.№5

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
1	72,8	0,021	1,52	0,000441	5299,84	67,63	5,17	26,72	7,1
2	63,2	0,017	1,07	0,000289	3994,24	61,85	1,35	1,82	2,14
3	61,9	0,019	1,17	0,000361	3831,61	64,74	-2,84	8,06	4,58
4	58,7	0,015	0,88	0,000225	3445,69	58,95	-0,25	0,06	0,42
5	57,0	0,016	0,91	0,000256	3249	60,40	-3,4	11,56	5,96
Итого	313,6	0,009	5,55	0,001572	19820,38	313,6	0,03	48,22	20,2
Сред знач	62,72	0,018	1,11	0,000314	3964,076			9,644	4,04
σ	5,5	0,0021
σ²	30,28	0,00000424

1

σy²= n ∑( yi – y )²= 3964,076 - 62,72²=30,2776

σ²z= 0,000314 – 0,0176²=0,00000424

значения параметров регрессии а и b составили:

b= y·z - y · z =(1,11-62,72*0,0176)/0,00000424 = 1445,28

σ²z

а=y - b * z = 62,72-1445,28*0,0176=37,28, получено уравнение

ŷ=37,28+1445,28* z

ŷ1=37,28+1445,28*0,021=67,63

ŷ2=37,28=1445,28*0,017=61,85

ŷ3=37,28=1445,28*0,019=64,74

ŷ4=37,28=1445,28*0,015=58,95

ŷ5=37,28=1445,28*0,016=60,40

Индекс корреляции: ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-9,644/30,2776=0,8256

Связь тесная, но хуже чем в предыдущих моделях.

r²xy=(Pxy)²=(0,82)²=0,6816

 А=4,04%, т.е остается на допустимом уровне.

P²xy n-m-l 0,6816 0,6561

Fфакт= l-P²xy * m = l- 0,6816 *3 = 0,3184 *3 =6,18

Т.к Fтабл.α=0,05=10,13 следовательно Fфакт< Fтабл отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В заключении проанализируем полученные в курсовой работе результаты исследований и выберем рабочую модель.

Экономический анализ моделей, по результатам исследования получил следующие значения:

Коэффициент парной корреляции rxy= 0,79 у линейной модели;

Индекса корреляции Pxy =0,81 у степенной модели;

Индекса корреляции Pxy =0,80 у показательной модели;

Индекса корреляции Pxy =0,82 у модели равносторонней гиперболы.

Данные индексы показывают, что связь у(х) (среднесуточная производительность труда от стоимости основных производственных фондов) прямая, тесная, высокая.

С экономической точки зрения, все модели достаточно хороши, т.е у всех моделей при увеличении расходов на подготовку и освоение производства – производительность труда увеличивается. Это значит что на данных предприятиях есть резервы для расширения производства, резервы для введения новых технологий с целью увеличения прибыли.

Руководствуясь целью курсовой работы можно сделать вывод, что из всех рассмотренных моделей линейная модель лучше всех отражает экономический смысл. А теперь сравним регрессивные модели по средней ошибке аппроксимации А ,которая показывает, на сколько фактические значения отличаются от теоретических рассчитанных по уравнению регрессии т.е у и ŷx:

У линейной модели  А1=4,7%;

У степенной модели  А2=4,62%;

У показательной модели А3=4,77%;

У равносторонней гиперболы А4=4,04%.

Средняя ошибка аппроксимации А1, А2, А3, А4 находятся в допустимом пределе.

Вывод: чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным (лучшее качество модели). По расчетным данным моей работы показательная модель имеет лучшее качество. Сравнивая регрессивные модели по коэффициенту детерминации r²xy линейной, степенной. Показательной и равносторонней гиперболы видим, что статистические характеристики модели равносторонней гиперболы превосходят аналогичные характеристика других моделей, а именно : коэффициент детерминации у линейной модели равен 0,62; у степенной 0,6561; у показательной 0,64 и у равносторонней гиперболы 0,6816. Это означает, что факторы, вошедшие в модель равносторонней гиперболы. Объясняют изменение производительности труда на 68,16%, тогда как факторы, вошедшие в линейную модель на 62%, в показательную на 64% и в степенную на 65,61%, следовательно, значения, полученные с помощью коэффициента детерминации модели равносторонней гиперболы более близки к фактическим. На основании этого, модель равносторонней гиперболы выбирается за рабочую модель в данном примере.

Список используемой литературы:

1)   А.М.Беренская – Курс лекций по теме «Математическое моделирование»

2)   М.Ш.Кремер –«Исследование операций в эконометрике»

3)   И.И.Елисеева - «Практикум по эконометрике»

4)   И.И.Елисеева - «Эконометрика»