Опишемо алгоритм пошагової регресії

12. Опишемо алгоритм пошагової регресії.

Крок 1. Усі вхідні дані стандартизують:

де y* - нормалізована залежна змінна;

х* - нормалізовані незалежні змінні.

Крок 2. Знаходять кореляційну матрицю (матриця парних коефіцієнтів кореляції):

r* = ,

де  - парні коефіцієнти кореляції між Y і незалежними змінними Х,

де n – кількість спостережень;

- парні коефіцієнти кореляції між Х_j i X_i :

.

 

Крок 3. Вибирають  . Відповідну незалежну змінну x_j включають в лінійну модель, для якої за допомогою 1МНК знаходять оцінки параметрів:

де g - оцінки параметрів моделі, яка будується на основі нормалізованих даних.

Крок 4. Серед тих, що залишилися, значень вибирається максимальний і в модель вводиться наступна незалежна змінна x_l.

.

Оцінюються параметри за допомогою відношення:

 

gr = r_xy,

де r – матриця парних коефіцієнтів кореляції між незалежними змінними;

r_yx - вектор парних коефіцієнтів кореляції між залежною та незалежними змінними.

Звідси оператор оцінювання параметрів моделі:

Якщо немає обмеження на кількість введених змінних, обчислення виконуються до тих пір, поки не будуть включені всі змінні.

Зв’язок між оцінками параметрів моделі на основі нормалізованих і ненормалізованих змінних запишеться таким чином:

.

13. Тіснота зв’язку загального впливу від незалежних змінних на залежну визначається коефіцієнтами детермінації і множинної кореляції. Коефіцієнт детермінації без урахування числа ступенів свободи

з урахуванням ступенів свободи:

.

14. Коефіцієнт детермінації показує, на скільки процентів варіація залежної змінної визначається варіацією пояснюючих (незалежних) змінних.

Коефіцієнт кореляції є інваріантною оцінкою коефіцієнта детермінації. Він характеризує тісноту зв'язку між залежною і пояснювальними змінними. Визначається як корінь квадратний від R².

15. Оскільки коефіцієнти детермінації і кореляції є вибірковими характеристиками, то їх числові значення також перевіряються на значущість згідно зі статистичними гіпотезами. Для перевірки значущості коефіцієнта кореляції використовується t-критерій.

Нульова гіпотеза: значення коефіцієнту кореляції несуттєво відрізняється від 0.

Розрахункове значення критерію визначається як:

Якщо розрахункове значення цього критерію t не менше за критичне (табличне) t_таб при вибраному рівні довіри a і ступені свободи n - m, тобто t³ t_таб , нульова гіпотеза відхиляється і відповідний коефіцієнт кореляції є достовірним.

16. Гіпотеза про істотність зв'язку між залежною і незалежною змінними може бути перевірена з допомогою F-критерію. Нульова гіпотеза: всі коефіцієнти регресії несуттєво відрізняються від 0, тобто Н₀: b₀ = b₁ = …….. =b_m = 0.

Розрахункове значення F-критерію визначається за формулою:

або в альтернативному запису:

Розрахункове значення порівнюється з табличним F_таб при n-m i m-1ступенях свободи та вибраному рівні довіри a. Якщо F ³ F_таб , нульова гіпотеза відхиляється і істотність моделі підтверджується, в протилежному випадку – відхиляється.

17. Гіпотезу про значущість кожного з параметрів b_j економетрічної моделі можна виконати за допомогою t-крітерію. Нульова гіпотеза: b_jнесуттєво відрізняються від 0, тобто H₀: b_j = 0. Розрахункове значення t-критерію:

де c_jj – діагональний елемент j-ї строки (стовпця) матриці ,

- стандартна помилка оцінки j-го параметра моделі.

Якщо t³ t_таб , нульова гіпотеза відхиляється і відповідний коефіцієнт регресії є достовірним.

18. На основі t-критерію і стандартної помилки будуються граничні інтервали для оцінок параметрів моделі:

де t_a - табличне значення t-статистики з рівнем довіри a та ступенями свободи n-m.

ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

Нехай маємо змінні:

- середньомісячна зарплата, ум. од.;

- продуктивність праці, ум. од.;

- фондомісткість продукції ум. од;

- виконання норми виробітку,%

Гіпотеза, що пропонується для перевірки - середньомісячна зарплата лінійно залежить від продуктивності праці, фондомісткості продукції та виконання норми виробітку.

Позначимо Y - середньомісячна зарплата, X₁ - продуктивність праці, X₂ - фондомісткість продукції, X₃ - виконання норми виробітку/

Вихідні дані наведено в таблиці.

номер цеху	середньомісячна з/п,Y	Продуктивність праці, X1	ФондомісткістьX2	Норма виробітку, X3
1	45	265	0,2	130
2	42	236	0,04	127
3	50	257	0,3	151
4	55	279	0,2	149
5	40	226	0,1	140
6	70	350	0,1	141
7	56	278	0,25	152
8	57	262	0,03	188
9	55	269	0,15	120
10	53	250	0,32	126

Матриця Х доповнюється стовбцем одиниць для врахування коефіцієнта регресії b₀: