Оцінимо параметри регресії за допомогою 1МНК

1. Оцінимо параметри регресії за допомогою 1МНК.

Підготуємо необхідні проміжні матриці:

Використовуючи оператор оцінювання МНК, отримуємо

 

Þ Рівняння регресії має вигляд:

Y = -23,83+0,23X₁+9,018X₂+0,097X₃

Ця модель має бути проаналізована на значущість в цілому (2), а також на значущість кожного коефіцієнта регресії зокрема (3).

2. Перевірка значущості моделі

Значущість всієї моделі в цілому будемо проводити для рівня значущості a=0,05 за допомогою F-крітерія при (m-1) і (n-m) ступенях свободи. Розрахункове значення F-критерію розраховується по формулі:

де ,

Y – спостеріганні значення фактора (вихідні дані),

n – число спостережень,

m – число оцінюваних параметрів.

Нульова гіпотеза для перевірки значущості моделі: Н₀: b₀ = b₁ = …… = b_m= 0.

Проведемо необхідні попередні розрахунки.

Використовуючи вихідну матрицю Х і побудовану модель, отримуємо розрахункові Yp:

Y_p = X*B^T і залишки е = Y - Y_p :

 

Сума квадратів відхилень значень регресії від середнього та сума залишків дорівнює:

 583,5752 ,

Табличне значення для (m-1), (n-m) F-критерію (0,95) = 4,76. Оскільки F_p>F_табл , модель можна вважати статистично значимою. (нульова гіпотеза відхиляється).

Далі оцінюєтья значущість кожного з параметрів b_j.за допомогою t-статистики.

3. Оцінка значущості окремих коефіцієнтів регресії.

Гіпотезу про значущість кожного з параметрів b_j економетрічної моделі можна виконати за допомогою t-крітерію. Нульова гіпотеза, найбільш поширена притестуванні економетричної моделі - bjнесуттєво відрізняються від 0, тобто H₀: b_j = 0. Поширеність такої постанови нульової гіпотези – в тому, що якщо вона підтверджується, то це має означати, що відповідний X_j статистично незначущо впливає на Y, його вплив з високою вірогідністю дорівнює 0, залежності між Y та Х практично немає і відповідна змінна повинна бути виключена з моделі. Виключенням є випадок, коли при незначущому b_j залежність між X і Y таки існує, але нелінійна. В цьому випадку треба змінити специфікацію моделі (надати їй іншу аналітичну форму).

Розрахункове значення t-критерію:

де S_bj – стандартна помилка коефіцієнта b_j,

c_jj – діагональний j-й елемент матриці С=

Визначимо значення стандартних помилок коефіцієнтів регресії S_bj як корінь з дисперсії коефіцієнта b_j:

Для отримання оцінок дисперсії D_j розрахуємо дисперсійно-коваріаційну матрицю (іноді її називають коваріаційною).

Розраховується вона за формулою

,

де - дисперсія залишків

Матрицю С= ми маємо.

, де

n – кількість спостережень, n=10

m – кількість оцінюваних параметрів моделі, m=4.

Стандартне відхилення залишків = 4,912352.

Отримуємо:

 =

На діагоналі коваріаційної матриці отримуємо дисперсії коефіцієнтів регресії b_j:

D(b₀) = 318,9421,

D(b₁)=0,002358,

D(b₂)=272,2121,

D(b₃)=0,007489

Визначимо значення стандартних помилок коефіцієнтів регресії S_bj:

S_b0 = = 17,85895,

S_b1 == 0,048839,

S_b2 = = 16,49885,

S_b3 == 0,086537

17,85895

0,048839

16,49885

0,086537

S_b =

Розрахункове значення t-статистики отримуємо для кожного коефіцієнта:

t_b0 = b₀ / S_b0 = -23,83/ 17,85895 = -1,33433 і т. п.

-1,33433

4,658181

0,546609

1,121298

t_p =

Розрахункові значення t-статистики порівнюються за абсолютною величиною з табличним t_10-4 = 1,943. Параметр вважається статистично значимим (нульова гіпотеза не підтверджується), якщо

Це означає, що в нашому випадку тільки b₁ є статистично значущим і суттєво впливає на модель.

Довірчі інтервали для оцінок регресії будуються за формулою:

b0 =-23,8298±34,699

b1 =0,2275±0,0949

b2 =9,018423±32,0573

b3 =0,097034±0,1681

 :

4. Якість побудованої моделі можна визначити за допомогою коефіцієнта детермінації:

,

Його значення показує, що на 85,8073% варіацію змінної Y можна пояснити варіацією пояснювальних змінних Х.

5. Тіснота зв’язку між Y і X для множинної регресії визначається за допомогою коефіцієнтів кореляції трьох типів:

-    коефіцієнта множинної кореляції R (визначається як корінь з коефіцієнта детермінації) – показує тісноту зв’язку між Y і всією множиною пояснювальних зміннихX (1 на модель) ;

-    парних коефіцієнтів кореляції r, що знаходяться в кореляційній матриці r* і характеризують тісноту зв’язку між Y та окремим X_j.Вони діляться на два типи:

а) парні коефіцієнти кореляції між Y та окремим X_j

б) парні коефіцієнти кореляції між окремими X_k і X_j r_XkXj (їх для моделі існує m*m);

-    частинних коефіцієнтів кореляції, що також характеризують тісноту зв’язку між Y та окремим X_j, але при умові, що інші незалежні змінні сталі, тобто їх варіація не впливає на залежність між Y та Х:

де R_kj – алгебраїчне доповнення до (j,k)-го елемента кореляційної матриці r;

R_kk та R_jj – відповідні діагональні елементи цієї матриці.

За вимогами роботи треба розрахувати коефіцієнт множинної кореляції R:

R =

де R² – коефіцієнт детермінації;

0,926322 – тіснота зв’язку між Y і X для нашої регресії є досить великою.

 Його значущість перевіряється також за допомогою t-статистики (нульова гіпотеза – R незначущо відрізняється від 0). В цьому випадку розрахункове значення крітерію визначається за формулою:

Розрахункое значення t-статистики порівнюється за абсолютною величиною з табличним t_10-4 = 1,943. Оскільки розрахункове значення більше, коефіцієнт кореляції є статистично значущим.

 

4. Побудова прогнозу по регресійній моделі

Точковий прогноз. Задані прогнозні Х₀₁, Х₀₂, Х₀₃ для певного 0-го періоду. Прогнозне значення Y₀ для цього періоду розраховується по формулі:

Y₀ =

Якщо Х₀₁ = 252, Х₀₂=0,35, а Х₀₃ = 128 (задаються дослідником або визначаються по продовженню тенденції їх зміни), то точковий прогноз на 0-й період складе:

Y₀ = = -23,83+0,23 * 252 + 9,02 0,35 + 0,10*128 = 49,07704,

чи в матричному вигляді:

Y = B^Т*X₀=49,07704

Де В – матриця оцінок параметрів моделі. Його стандартна похибка складає

16,60574

Інтервальний прогноз визначається як

=49,07704  1,943*24,1312*= =49,07704  11,58627