Определить алгебраические дополнения элементов 2‑й строки определителя 3-го порядка

7. Определить алгебраические дополнения элементов 2‑й строки определителя 3-го порядка

 

Для элемента а₂₁ i=2, j=1 и i+j=3 число нечетное, отсюда

Для элемента а₂₂ i=2, j=2 и i+j=4 число четное, отсюда

Для элемента а₂₃ i=2, j=3 и i+j=5 число нечетное, отсюда

8. Найти решение системы уравнений методом Крамера

 

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X_{1 - n} не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком – Δ. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый X_i = Δ_i / Δ, где Δ_i – это определитель составленный из коэффициентов при X_{1 - n}, только значения коэффициентов в i – ом стольбце заменены на значения за знаком равенства в сисетеме уравнений, а Δ – это главный определитель

 

Решение

Запишем систему в виде:

Главный определить

9. Выполните операцию произведения двух матриц АхВ

 

 

Решение

Найти матрицу |C| = |A| x |B|

Вычислим элементы матрицы |C|:

c_1,1 = a_1,1b_1,1+a_1,2b_2,1

c_1,2 = a_1,1b_1,2+a_1,2b_2,2

c_2,1 = a_2,1b_1,1+a_2,2b_2,1

c_2,2 = a_2,1b_1,2+a_2,2b_2,2

c1,1 =		2			*			1					+			1			*			4				=				2				+			4				=				6
c1,2 =		2			*				-2			+				1			*				0				=				-4			+				0				=				-4
c2,1 =	-3		*			1				+				4			*			4				=				-3				+			16				=				13
c2,2 =		-3		*			-2				+				4			*			0				=				6				+			0				=				6

Результирующая матрица |С|:

6	-4
13	6

10. Какие величины называются скалярными и векторными? Приведите примеры скалярных и векторных величин? Каково условие равенства векторов? Приведите пример сложения двух векторов по правилу параллелограмма и треугольника

 

Скалярной величиной или просто скаляром называется величина, которая при определённом выборе единицы измерения определяется числом (удельный вес, плотность, работа, мощность, температура и т.д.)

Вектор – направленный отрезок, имеющий определённую величину (скорость, ускорение, сила, напряженность магнитного и электрического поля и т.д.).

Скалярная величина – 10 минут, векторная – 100 км/ч.

Два вектора  и  равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль.

Правило треугольника

Для того чтобы сложить два вектора и нужно переместить вектор параллельно самому себе (рис. 1, б) так, чтобы его начало (точка B на рис. 1, а) совпадало с концом вектора (точка A на рис. 1, а). Тогда их суммой будет вектор (рис. 1, г), начало которого совпадает с началом вектора (точка D на рис. 1, в), а конец – с концом вектора (точка C на рис. 1, в).

 

а б

 

в г

Рис. 1.

 

Правило параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора и нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов и находились в одной точке (рис. 2, а). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора (рис. 2, б). Тогда их суммой будет вектор (рис. 2, в), начало которого совпадает с общим началом векторов (точка A на рис. 2, б), а конец – с противоположной вершиной параллелограмма (точка В на рис. 2, б).

а

 

б в

Рис. 2.

11. Напишите формулу разложения вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат

 

12. Как определяется вектор через координаты его начала и конца?

 

Пусть известны координаты начала вектора А(x₁, y₁, z₁) и его конца В(x₂, y₂, z₂). Точки А и В определяют радиус вектора

z

 и .

 

0

Рис. 3

Из треугольника ОАВ следует, что , отсюда .

Если обозначить через X, Y, Z – координаты вектора , т.е. =(X, Y, Z), то следует, что

X=х₂-х₁

Y=у₂-у₁

Z=z₂-z₁

Чтобы найти абсциссу вектора Х, необходимо из абсциссы конца вектора вычесть абсциссу начала вектора.

12. Какой вид имеет уравнение прямой в плоскости, проходящей через две точки?

 

 

13. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?

 

14. Напишите разложение вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат

 

Координаты вектора	X	-2
	Y	4
	Z	7

A (-2, 4, 7) означает, что абсцисса точки A x=-2, ордината у=4, аппликата z=7.

 

15. Чему равно скалярное произведение векторов и ? Данные для варианта взять из таблицы 2.3

 

Координаты вектора	X	-2
	Y	4
	Z	7
Координаты вектора	X	3
	Y	6
	Z	4

Т.к. векторы заданы в координатной форме, то по формуле  имеем:

16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых l₁ и l₂ и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный d

 

Уравнение прямой l1	Уравнение прямой l2	d	Координаты точки Р
			x	y
3x‑2y‑7=0	x+3y‑6=0	3	2	5

Отсюда находим х = 6 – 3у

x = 3

Значит точка пересечения двух прямых A (3; 1)

По условия отрезок равен 3, значит координата точки B (3; 0).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А и В.

Здесь знаменатель равен нулю. Полагаем числитель левой части равным нулю.

Получаем

17. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный d и проходящей параллельно прямой l₁

 

Уравнение прямой l1	Уравнение прямой l2	d	Координаты точки Р
			x	y
3x‑2y‑7=0	x+3y‑6=0	3	2	5

Найдем две точки прямой 3x‑2y‑7=0

Подставим в уравнение х=1 и х=3 и получим значения у соответственно -2 и 1.

A (1; – 2) и B (3; 1).

Координаты направляющего вектора  найдём по координатам конца и начала вектора   

Подставляя в формулу  координаты точки O (0; 3) и координаты вектора  получим искомое уравнение прямой

 или .

 

18. Как определяются горизонтальные асимптоты функции?

В случае если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты; прямая y = с = const является горизонтальной асимптотой графика y = f(x) при  или , если

или

соответственно.

19. Что такое частное приращение функции нескольких переменных?

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных  в точке  частные производные определяются так:

,

,

если эти пределы существуют.

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная  – угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности  и плоскости   в соответствующей точке.

20. Каковы выражения для частных дифференциалов функции z=f (x, y)?

 

Частной производной по x функции z = f (x, y) в точке M₀(x₀, y₀) называется предел ,

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

;;.

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f (x, y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f (x, y) в точке M₀(x₀, y₀):

=.

Приведем примеры вычисления частных производных

 

21. Каково выражение для полного дифференциала функции u=u (x, y, z)?

Полный дифференциал du функции u = f (x, y, z) (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов:

22. Напишите частные производные третьего порядка для функции z=f (x, y, z)

 

 

23. Найти частную производную и частный дифференциал функции.

 

24. Вычислить значения частных производных f’_x(M₀), f’_y(M₀), f’_z(M₀) для данной функции f (x, y, z) в точке M₀(x₀, y₀, z₀) с точностью до двух знаков после запятой

 

 

25. Вычислить значения частных производных функции z (x, y), заданной неявно, в данной точке M₀(x₀, y₀, z₀) с точностью до двух знаков после запятой

 

lnZ=x+2y-z+ln3 M₀(1,1,3)

 

26. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀(x₀, y₀, z₀). S: z=x²+y²-4xy+3x‑15, M₀(-1,3,4)

 

Следовательно, уравнение касательной плоскости будет таким:

а уравнение нормали таким: