1. Якщо до наявних двох точок розбиття додати нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса може від цього лише зрости, а верхня сума – лише зменшитися.
2. Кожна нижня сума Дарбу-Стілтьєса не перебільшує кожної верхньої суми, хоча б і такій, що відповідає іншому розбиттю проміжку.
Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стілтьєса:
=
і
,
то виявляється, що .
Нарешті, за допомогою сум Дарбу-Стілтьєса легко встановити для випадку, що розглядається, основну ознаку існування інтегралу Стілтьєса:
Теорема. Для існування інтегралу Стілтьєса необхідно і достатньо, щоб виконувалося
, або
, (4)
якщо під , як зазвичай, розуміти коливання
функції
в
-му проміжку
.
2.2 Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса
1. Якщо функція а функція
має обмежену зміну, то інтеграл Стілтьєса
(5)
існує.
Спочатку припустимо, що монотонно зростає, тоді за довільно заданим
, враховуючи рівномірну неперервність функції
, знайдеться таке
, що на будь-якому проміжку, довжина якого менше
, коливання
буде менше за
. Нехай тепер проміжок
розбитий на частини так, що
. Тоді всі
<
і
,
звідки й слідує виконання умови (4), а, отже, і існування інтеграла також.
У загальному випадку, якщо функція має обмежену зміну, її можна представити у вигляді двох зростаючих обмежених функцій:
. У відповідності до цього, перетворюється і сума Стілтьєса, що відповідає функції
:
Так, за вже доведеним, кожна із сум і
при
прямує до граничної межі, це справедливо і відносно суми
, що і треба було довести.
Можна послабити умови, що накладаються на функцію якщо одночасно посилити вимоги до функції
:
2. Якщо функція інтегровна на проміжку
за Ріманом, а
задовольняє умові Ліпшиця:
(6)
,
то інтеграл (5) існує.
Для того, щоб знов мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію як таку, що не лише задовольняє умові (6), але і монотонно зростаючу.
Враховуючи (6), очевидно , так, що
Але остання сума при і сама прямує до нуля, як наслідок інтегровності (за Ріманом) функції
, а тоді прямує до нуля і перша сума, що доводить існування інтеграла (5).
У загальному випадку функції , що задовольняє умові Ліпшиця (6), представимо її у вигляді різниці
=
.
Функція =
, очевидно, задовольняє умові Ліпшиця, і в той же час монотонно зростає. Теж саме справедливо і для функції
=
, так як в силу (6), при
і
.
У такому випадку міркування завершено, як і в попередньому випадку.
3. Якщо функція інтегровна за Ріманом, а функцію
можна представити у вигляді інтеграла зі змінною верхнею межею інтегрування:
, (7)
де абсолютно інтегровна на проміжку
, то інтеграл (5) існує.
Нехай , так, що
монотонно зростає. Якщо
інтегровна за власним змістом, і виходячи з цього, обмежена:
, то для
маємо
.
Таким чином, у цьому випадку задовольняє умові Ліпшиця, та інтеграл існує в силу (2).
Припустимо тепер, що інтегровна у невласному сенсі. Обмежимося випадком однієї особливої точки, скажімо
. Перш за все, за довільно взятим
вибираємо
так, щоб було
, (8)
де - загальне коливання функції
на розглядуваному нами проміжку.
Розіб’ємо проміжок довільно на частини і складемо суму
.
Вона розкладається на дві суми , з яких перша відповідає проміжкам, що цілком містяться в проміжку
, а друга – решті проміжків. Останні, скоріш за все, містяться в проміжку
, якщо тільки
; тоді в силу (8),
.
З іншого боку, так як на проміжку функція
інтегровна у власному сенсі, то за доведеним, при достатньо малому
і сума
стане меншою за
. Звідси слідує (4), що і потрібно було довести.
У загальному випадку, коли функція абсолютно інтегровна на проміжку
, ми розглянемо функції
,
очевидно, невід’ємні і інтегровні на даному проміжку. Так як
,
то питання зводиться до вже розглянутого випадку.
ЗАУВАЖЕННЯ. Нехай функція неперервна на проміжку
і має, виключаючи лише скінчене число точок, похідну
, причому ця похідна інтегровна (у власному чи невласному змісті) від
до
; тоді, як відомо, має місце формула (7):
.
Якщо абсолютно інтегровна, то до функції
повністю справедливо все викладене в п. 3.[1;3]
З визначення інтегралу Стілтьєса безпосередньо випливають такі його властивості:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
.
При цьому у випадках 2, 3, 4 з існування інтегралів у правій частині випливає існування інтеграла у лівій частині. Далі маємо
5. ,
у припущенні, що і існують всі три інтеграли.
Для доведення цієї формули достатньо включити точку с в число точок розбиття проміжку , при складанні суми Стілтьєса для інтегралу
.
Перш за все, з існування інтеграла уже випливає існування обох інтегралів
і
.
Для своєрідного граничного процесу, за допомогою якого для стілтьєсової суми отримується інтеграл Стілтьєса, має місце принцип збіжності Больцано-Коші. Таким чином по заданому враховуючи існування інтеграла
знайдеться таке
, що будь-які дві суми
і
, яким відповідають
і
, різняться менш ніж на
. Якщо при цьому у склад точок розбиття включити точку с, а точки розбиття, що припадають на проміжок
, брати в обох випадках одними й тими самими, то різниця
зведеться до різниці
двох сум Стілтьєса, що належать вже проміжку
, бо решта доданків взаємно скорочуються. Застосовуючи до проміжку
і обрахованим для нього стілтьєсовим сумам той же принцип збіжності, зробимо висновок про існування інтеграла
. Аналогічним чином встановлюється і існування інтегралу
. Але, важливо відмітити, що з існування обох інтегралів
і
, взагалі кажучи, не випливає існування інтегралу
. Щоб упевнитися в цьому, достатньо розглянути приклад. Нехай на проміжку
функції
і
задані наступними рівностями:
Легко побачити, що інтеграли
обидва існують і рівні 0, бо відповідні суми Стілтьєса всі рівні 0: для першого це випливає з того, що завжди =0, для другого – з постійності функції
, завдяки чому
=0.
У той же час інтеграл не існує. Дійсно, розіб’ємо проміжок
так, щоб точка 0 не потрапила у склад точок розбиття, і складемо суму:
.
Якщо точка 0 потрапляє в проміжок , так, що
, то в сумі
залишиться лише один
-й доданок; решта будуть нулі, тому що
для
. Отже,
.
В залежності від того, чи буде або
, виявиться
або
, так що
границі не має
Вказана своєрідна умова пов’язана з наявністю розривів у точці для обох функцій
і
. [8]
§4. Інтегрування за частинами
Для інтегралів Стілтьєса має місце формула
–
(8)
в припущенні, що існує один з цих інтегралів; існування іншого звідси вже випливає. Ця формула носить назву формули інтегрування за частинами. Доведемо її.
Нехай існує інтеграл . Розклавши проміжок [а, b] на частини [xi , xi+1] (i = 0, 1, ..., n — 1), оберемо в цих частинах довільно по точці
таким чином, що
Суму Стілтьєса для інтеграла
можна представити у вигляді
Якщо додати або відняти зправа вираз то
перепишеться так:
Вираз у фігурних дужках представляє собою стілтьесову суму для інтеграла (існування якого припущено!). Вона відповідає розбиттю проміжку [а, b] точками ділення
якщо в якості обраних з проміжків
точок узяти xi, а для проміжків
, відповідно, а і b. Якщо, як зазвичай, покласти
то тепер довжини всіх частинних проміжків не перевищать
.
При сума у квадратних дужках прямує до
, з чого слідує, що існує границя і для
, тобто інтеграл
і цей інтеграл визначається формулою (9). [8]
§5. Зведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Рімана
Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a, b], a g(x) монотонно зростає в цьому проміжку, і притому в суворому сенсі. Тоді, як показав Лебег (Н. Lebesgue), інтеграл Стілтьеса за допомогою підстановки
безпосередньо зводиться до інтегралу Рімана.
Доведемо тепер, що
(10)
де останній інтеграл береться у звичайному сенсі, його існування забезпечено, так як функція g(v), а з нею і складна функція f(g-1(v)) неперервні.
Для цього розкладемо проміжок [а, b] на частини за допомогою точок ділення
a=x0<x1<…<xi<xi+1<…<xn=b
и складемо стілтьесову суму
Якщо покласти vi = g(xi) (i = 0, 1, . . ., n), то будемо мати
v0<v1< ... <vi< vi+1 < ... <vn = V.
Так як хi = g-1 (vi), то
Цей вираз має вигляд ріманової суми для інтеграла
Маємо
і
так що
Припустимо тепер настільки малими, щоб коливання функції f(x) у всіх проміжках [xі, хі+1] були менше довільно наперед заданого числа
> 0. Так як при
, очевидно,
, то одночасно і
<
.
В такому випадку
<
Цим доведено, що
звідки и слідує (10). [4;6]
Доведемо наступну теорему:
0 комментариев