Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса

Задания к контрольной работе.

 

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁ =0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

-       случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

-       независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁, = l,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ =0,32;

-       нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Вариант 9	41	52	62	40	44	56	68	41	47	60	71	44	52	64	77	47

Решение:

1. Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса:

Исходные данные:

Таблица 1.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	41	52	62	40	44	56	68	41	47	60	71	44	52	64	77	47

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из таблицы 1. Линейная модель имеет вид:

Y_p(t) = a(0) + b(0) * t

Определим коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам:

Произведем расчеты в Excel (рис.1):

Рис .1 расчеты в Excel

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Y_p(t) = 47 + 0,79*t

Из этого уравнения находим расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (рис. 2):

Рис. 2

Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта –Уинтерса.

Рис. 3

Оценив значения а(0) и b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0) перейдем к построению адаптивной модели Хольта Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t), F(T) для t=1 значения параметров сглаживания α1=0,3, α2=0,6, α3=0,3.

Рис. 4

2. Проверка точности построенной модели.

Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%.

1,26%<5%, следовательно, условие точности выполнено.

3. Оценка адекватности построенной модели.

3.1 Проверка случайности уровней.

Гипотеза подтверждается если P > q, где

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть.

Из таблицы P = 10, 6<10, т.е. можно заключить, что гипотеза выполнена.

3.2 проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверка проводится двумя методами:

а) по d-критерию Дарбина – Уотсона: табличные значения d₁ = 1,08, d₂ = 1,36

В данном случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.

d’ = 4 – d = 4-2,53 = 1,48

Уточненное значение d сравниваем с табличными значениями d1 и d2, в данном случае d₁=1,1 и d₂=1,37.

Так как d₂<1,48<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

б) по первому коэффициенту автокорреляции

Для нашей задачи критический уровень r_таб = 0,32 - значит уровни независимы.

3.3 Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

, где , S = 0,93

Рис. 5

Полученное значение не попало в заданный интервал.