Содержание и организация опытно-экспериментальной работы

2.3 Содержание и организация опытно-экспериментальной работы

В ходе исследовательской работы нами были выдвинуты следующие задачи:

определить возможности нестандартных задач в процессе развития математического мышления младших школьников;

изучить, как используются подобные задачи в практике работы учителей;

разработать на основе опыта работы передовых учителей методику обучения учащихся поисковой деятельности при решении нестандартных задач.

Руководствуясь перечисленными задачами, наше исследование проходило в несколько этапов.

Первый этап был посвящён изучению психолого-педагогической, математической, методической литературы по данной теме с целью сравнения возможностей нестандартных и типичных задач в качестве средства развития математического мышления.

На втором этапе анализировался опыт учителей МОУ «Смышляевская СОШ №3» Волжского района Самарской области по практическому применению нестандартных задач на уроках математики в начальных классах.

На третьем этапе проводилась разработка и апробация методики обучения учащихся решению нестандартных задач.

У них накоплен определенный опыт в составлении и использовании миниатюрных книг по занимательной математике. Первую из них – «Десять задач» - можно было сделать из материала книги В.Н.Русанова

« Математические олимпиады младших школьников». Эксперимент оказался плодотворным. Когда стали собирать и составлять свои книги, то некоторые из них имели вкладыши, из которых можно было сделать мини-книги. Так из «математических сундучков» появились книжечки: «Подарок для смекалистых», «Лакомство для ума» и др.

Такие книги предназначены для увлекательной самостоятельной работы индивидуального характера. Вот почему они снабжены ответами к задачам, решениями и указаниями к ним.

Книги из этой серии используются во фронтальной внеклассной работе, например. На занятиях кружка, посвященных знакомству с математической литературой.

В практике современного обучения математике на решение задач отводится большая часть времени как на уроках, так и при выполнении школьниками домашних заданий. Но из-за использования только типовых задач это учебное время используется неэффективно, что отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом.

Известный педагог-математик Д. Пойа так высказался по этому поводу: «Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».

Общепризнанна связь мышления и процесса решения задач: «мышление психологически выступает как деятельность по решению задач». И хотя мышление не отождествляется процессу решения задачи, можно утверждать, что формирование мышления эффективнее всего осуществляется через решение задач. Учитывая, что «задача - это осело, на котором оттачивается, шлифуется мысль ребёнка, мысль связанная, последовательная, доказательная», в ходе решения математической задачи можно формировать у школьников элементы творческого математического мышления вместе с реализации основных целей обучения математике. Но осуществить это можно в том случае, если в школьном курсе математики будет содержаться методическая система нестандартных задач, процесс решения которых формирует у учащихся познавательный интерес, и самостоятельность, развивает математические способности.

Для настоящего времени характерна тенденция к повышению роли проблемного обучения, поэтому решение нестандартных задач занимает всё более ведущее место в обучении математике, в котором основной акцент ставится на самостоятельное и творческое усвоение школьниками учебного материала, на формирование их математического развития.

Такой огромный и ещё до конца не изученный потенциал нестандартных задач уже используется многими учителями МОУ «Смышляевская СОШ №3» Волжского района Самарской области . Но чаще всего в своей деятельности они применяют логические задачи и задачи-шутки не замечая развивающих свойств других видов нестандартных задач: числовых ребусов, головоломок на смекалку, задач на взвешивание и переливание, математических софизмов, комбинаторных задач.

Одной из особенностей нестандартных задач является то, что в их решении нельзя «натаскать» учеников, заучить с ними последовательность операций, которая лежит в основе решения определённых видов нестандартных задач, что не исключается при решении задач типовых. Каждая нестандартная задача оригинальна и неповторима в своём решении. В связи с этим разработанная нами методика обучения поисковой деятельности при решении нестандартных задач не формирует навыки решения нестандартных задач, речь может идти лишь об отработке определённых умений:

умения понимать задачу, выделять главные (опорные) слова;

умения выявлять условие и вопрос, известное и неизвестное в задаче;

умения находить связь между данным и искомым, то есть проводить анализ текста задачи, результатом которого является выбор арифметического действия или логической операции для решения нестандартной задачи;

умения записывать ход решения и ответ задачи;

умения проводить дополнительную работу над задачей;

умение отбирать полезную информацию, содержащуюся в самой задаче, в процессе её решения, систематизировать эту информацию, соотнося с уже имеющимися знаниями.

Сформированность у учащихся этих умений обеспечивает их продуктивную работу в ходе решения нестандартных задач и тем самым влияет на развитие уровня математического мышления.

«Уровень мышления – это сложное понятие, включающее определённый уровень общности, абстракции и строгости обоснования и изучаемого материала, определённые логические структуры».

А. А. Столяр выделил уровни математического мышления.

1 уровень. Число неотделимо от множества конкретных предметов, которое оно характеризует, а операции проводятся непосредственно над множествами предметов.

2 уровень. Числа определены от конкретных объектов, которые они характеризуют; при этом оперируют с числами, записанными в определённой системе счисления, а свойства операций устанавливаются индуктивно.

3 уровень. Переход от конкретных чисел, выражаемых цифрами, к абстрактным буквенным выражениям. Осуществляется «локальное» логическое упорядочение свойств чисел и операций.

4 уровень. Выясняется, возможность дедуктивного построения всей математики.

5 уровень. Отвлекаются от конкретной природы объектов исчисления, от конкретного смысла операций и строят математику как абстрактную дедуктивную систему.

Раньше считалось, что учащимся начальных классов доступны только два первых уровня развития математического мышления. Но современные исследования показали, что «дети этого возраста обладают значительно более широкими возможностями в усвоении знаний, нежели это предполагалось ранее, что у них можно сформировать более высокий уровень абстракции и обобщения, чем тот, на который ориентировалось традиционное преподавание»[4].

Следовательно, традиционные формы обучения не в состоянии поднять математическое мышление младших школьников на более высокий уровень. Как же решает эту проблему нетрадиционное обучение? Какие свойства математического мышления развивает решение нестандартных задач?

Во-первых, развивается гибкость мышления. Ученик учится ориентироваться в новых условиях, перестраивать систему усвоенных знаний. Например, необходима гибкость мышления при решении следующей задачи: «В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой кошки по три кошки. На хвосте каждой кошки по одной кошке. Сколько же всего кошек в комнате?».

Ученик, который мыслит косно и шаблонно будет вычислять так: 4 кошки в углах, по 3 кошки против каждой – это ещё 12 кошек, да на хвосте каждой кошки по кошке, значит, ещё 16 кошек. Всего 32 кошки. Выходит, что пока мысль движется в привычной колее, решение будет неправильным.

Влияют нестандартные задачи и на глубину мышления, то есть на умение выделять существенное в задаче, её скрытые особенности.

Чтобы решить следующую задачу: Дедушка Коли празднует каждый свой день рождения. В 1988 году он отпраздновал 17-й раз день своего рождения. Когда родился дедушка Коли? – нужно догадаться, что дедушка родился 29 февраля високосного года и только потом выполнять вычисления.

В ходе решения нестандартных задач формируется рациональность мышления, потому что само условие нестандартной задачи заставляет искать оптимально простое решение. Вот подобная задача: На сковороде помещается 2 кусочка хлеба. На поджаривание кусочка с одной стороны требуется 1 минута. Как поджарить за 3 минуты три кусочка хлеба с обеих сторон?

Нестандартные задачи развивают пространственное мышление, которое выражается в способности воссоздавать в уме пространственные образы объектов и выполнять над ними операции. Пространственное мышление проявляется при решении задач типа: Сверху на кромке круглого торта поставили 5 точек из крема на одинаковом расстоянии друг от друга. Через все пары точек сделали разрезы. Сколько всего получилось кусочков торта?

Логическое мышление, а это умение выводить следствия из посылок, которое крайне необходимо для успешного овладения математикой, активизируется при решении логических задач. Вот одна из них: Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказал А. Н. Толстой, а совсем иначе. Она вынесла три коробочки: красную, синюю и зелённую. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой ключик», а на синей – «Зелёная коробочка пуста», а на зелёной – «Здесь сидит змея».

Тортила прочла надписи и сказала: «Действительно в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой – змея, а третья – пуста, но все надписи неверны. Если отгадаешь, в какой коробочке лежит золотой ключик, он твой». Где лежит золотой ключик?

За четыре года экспериментальной работы нами были изучены способности школьников разных возрастов и уровней подготовки к решению нестандартных задач (с 1 по 4 классы). Можно с уверенностью сделать следующий вывод: детям, начиная с 6 лет уже доступно решение нестандартных задач, конечно, немного упрощённых. В первом классе лучше воспринимаются учениками задачи-шутки. Например: На груше росло 10 груш, а на иве на 2 меньше. Сколько груш росло на иве?

Но не следует считать, что такие задачи носят лишь развлекательный характер, несмотря на свою занимательность, они ещё и развивают гибкость мышления, внимание, память.

Кроме задач-шуток в первом классе можно вводить и другие виды нестандартных задач, но несколько упрощённые к примеру, комбинаторные задачи: Расставить знаки «+» и «-« между числами 9…2…4 и составить все возможные соотношения. Или логические задачи типа: Ребята кидали мяч. Володя кинул дальше Димы, а Серёжа – ближе Димы. Кто кинул мяч дальше – Володя или Серёжа?

В последующих классах данные типы нестандартных задач следует усложнять и вводить новые виды – числовые ребусы, головоломки на смекалку, задачи на взвешивание и переливание, математические софизмы.

Во время исследовательской работы нами были выделены экспериментальный и контрольный классы. С учениками экспериментального класса регулярно решались нестандартные задачи. Учащиеся контрольного класса занимались по типовой программе, без использования нестандартных задач. В итоге наметилась следующая тенденция. Если в течении первого месяца эксперимента заметных различий между этими двумя группами учащихся не наблюдалось, а именно: с решением нестандартных задач справились лишь отдельные учащиеся, то к концу года, а тем более к концу курса начальных классов расхождения заметно усиливаются. В качестве контрольного материала здесь давали нестандартные задачи (см. приложение 1).

Таблица 2

Справились с заданием (в%) Учебный год	Контрольный класс		Экспериментальный класс
	Начало года	Конец года	Начало года	Конец года
2000-2001, 1 класс 2001-2002, 2 класс 2002-2003, 3 класс 2003-2004, 4 класс В среднем	17 20 29 41 27	20 26 35 44 31	17 35 47 56 39	32 44 56 62 48

Ещё одним непосредственным доказательством того, что решение нестандартных задач влияет на развитие математического мышления, является оценки за итоговые годовые контрольные работы (см. приложение 2), проведённые в экспериментальном и контрольном классах.

Таблица 3

Класс и оценки (в%) Учебный год	Контрольный класс			Экспериментальный класс
	5	4	3	5	4	3
2000-2001, 1 класс 2001-2002, 2 класс 2002-2003, 3 класс 2003-2004, 4 класс В среднем	26 26 29 32 28,3	57 55 59 62 58,7	17 19 12 6 13	19 32 36 44 32,8	60 62 64 56 60,5	21 6 - - 6,7

Таким образом, проведённая нами экспериментальная работа подтверждает необходимость введения в курс начальной математики нестандартных задач, их влияние на увеличение числа успевающих по этому предмету учащихся, на общее развитие математического мышления школьников.

Заключение

Проведённое исследование по изучению нестандартных задач как средства развития математического мышления младших школьников поставленных целей и задач достигло.

Нами было проанализировано современное состояние изучения этой проблемы, был обобщён опыт решения нестандартных задач с младшими школьниками в русле соответствующей методики. Кроме анализа уже достигнутого в этой области, мы внесли и свой вклад в теоретическую разработку данной темы – составили классификацию нестандартных задач.

Предположение о том, что нестандартные задачи развивают математическое мышление школьников было проверено в ходе опытно-экспериментальной работы. Это исследование проводилось с учащимися МОУ «Смышляевская СОШ №3» Волжского района Самарской области . Нами были выделены экспериментальный и контрольный классы, математическое мышление учеников которых мы изучали в течение четырёх лет. Оба класса занимались по типовой программе начального обучения, единственным отличием было то, что учащиеся экспериментального класса регулярно на уроках математики решали задачи нестандартного содержания.

Результаты исследования выявлялись в двух направлениях:

как влияет решение задач на развитие математического мышления школьников, которое отражается в итогах годовых контрольных работ. Здесь сложилась следующая ситуация: если в конце первого класса ученики экспериментального класса отразили в контрольной работе знания гораздо слабее, чем учащиеся контрольного класса, то уже к концу второго класса экспериментальный класс показал лучшие результаты, чем контрольный. А в третьем классе в экспериментальной группе не было даже ни одной оценки «удовлетворительно» за итоговую контрольную работу;

второе направление, по которому мы делали контрольные срезы – это развитие умений решать нестандартные задачи. Приобретаются ли эти умения школьниками, которые решают нестандартные задачи регулярно, и теми школьниками, которые подобной деятельностью не занимаются? Результаты проведённых срезов показали, что, оказывается, при постоянной тренировке и с течением времени у школьников накапливается опыт решения нестандартных задач и учащиеся начальных классов уже способны овладеть приёмами решения нестандартных задач при соответствующем обучении. Тогда как контрольный класс подобными приёмами не овладел и к концу четвёртого класса показал те же результаты, что класс экспериментальный, но на втором году обучения.

Проведённые исследования позволяют сделать вывод о том, что нестандартные задачи благоприятно влияют на развитие математического мышления младших школьников.

Кроме того, занимательная форма данных задач содействует развитию интереса учащихся начальных классов к математике, повышению их активности на уроке, предотвращает психическую усталость однообразной деятельностью.

Список использованной литературы

1.         Алексеев М. Н. Логика и педагогика. – Народное образование.- 1970. - № 6. – С.133 – 142.

2.         Альперович С. А. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики // Начальная школа. – 1979. - № 5. – С.30 – 33.

3.         Акимова С. Занимательная математика. – Санкт-Петербург, «Тригон», 1997. – 608 с.

4.         Арбатская Л. Ф. Решение задач жизненного содержания // Начальная школа. – 1977. - № 1. – С. 42.

5.         Артемов А. К. О развитии математического мышления // Начальная школа. – 1979. - № 5. – С.36 – 38.

6.         Байрамукова П. У. Внеклассная работа по математике в начальных классах. – М.: Издат.-школа, «Райл», 1997.

7.         Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.- 1976.

8.         Белокурова Е. Е. Характеристика комбинаторных задач // Начальная школа. – 1994. - № 1. – С.34 – 38.

9.         Белокурова Е. Е. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики // Начальная школа. – 1992. - № 1. – С.20 – 23.

10.      Брадис В. М. и др. Ошибки в математических рассуждениях. Пособие для учителей. Изд. 3-е. – М.: Просвещение.- 1967. – 191с.

11.      Волинова В. Праздник числа. – М.: АСТ-ПРЕСС.- 1994. – 304с.

12.      Возлинская М. В. Задачник. Нестандартная математика в школе. – М.: Лайда.- 1993. – 96с.

13.      Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы) / Под ред. Д.Б.Эльконина, В.В.Давыдова. – М.: Просвещение.- 1966.

14.      Губанова О.В. Олимпийские игры в обучении младших школьников // Начальная школа. – 1995. - №5. – С. 22.

15.      Гоноблин Ф.Н., Лезендова Т.Е. О подготовке к уроку по математике. – Л.- 1935.

16.      Дедюхин А.М, Сухомлинский В.А. О развитии мышления младших школьников // Начальная школа. – 1984. - №1. – С. 70 – 72.

17.      Депман И.Я. Рассказы о математике. – Л.- 1954.

18.      Детская домашняя энциклопедия / Под ред. Т.В. Нилова. – М.: Знание.- 1995. – С. 320 – Т. 2.

19.      Дышинский Е.А. Игротека математического кружка. – М.: Просвещение.- 1972.

20.      Дьюдени Г.Э. 520 головоломок. – М.: Мир.- 1975.

21.      Еленский Щ. По следам Пифагора. – М.: Детгиз.- 1961.

22.      Жикалкина Т.К., Бредихина Э.М. Математика. Учебник-тетрадь / №№ 1 – 4 / . – М.: Просвещение.- 1995.

23.      Занимательная математика / Сост. Л.М. Кубашина. – Чебоксары.- 1995.

24.      Задачник. Нестандартная математика в школе. – М.: Лайда.- 1993.

25.      Зак А.З. Задачи для развития логического мышления // Начальная школа. – 1989. - №6. – С. 32 – 33.

26.      Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – М.: Наука.- 1982.

27.      Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. Пособия для учителя. – М.: Просвещение.- 1985.

28.      Козлова Е.Г. Сказки и подсказки: Задачи для математического кружка. – М.: МИРОС.- 1994. – 128 с.

29.      Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. – М.- 1980.

30.      Комар О. Активизация познавательной деятельности учащихся при изучении мер времени // Начальная школа. – 1994. - №6. – С. 43.

31.      Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – 3-е изд. – М.: Гостехиздат.- 1956. – 575 с.

32.      Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку. – М.: Учпедгиз, 1958.

33.      Король А.Я., Хаперская А.А. Приёмы активизации на уроках математики // Начальная школа. – 1979. - №10. – С. 28.

34.      Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. – М.: Просвещение, 1976.

35.      Лаврова Н.Н. Логические ошибки младших школьников и некоторые причины их возникновения. – В кн.: Дидактика начального обучения. – М.,1977. – С. 66 – 71.

36.      Лебедева Л.Л. Для развития познавательной активности. Задачи для 2 – 3 класса // Начальная школа. – 1988. - №6. – С.37 – 40.

37.      Левенберг Л.Ш. Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. – М.: Просвещение, 1978.

38.      Левитас Г. Нестандартные задачи на уроках математики в первом классе // Приложение к газете «Первое сентября».– 2001. - №4.

39.      Левитас Г. Нестандартные задачи на уроках математики во втором классе // Приложение к газете «Первое сентября». – 2002. - №12.

40.      Левитас Г. Нестандартные задачи на уроках математики в третьем классе // Приложение к газете «Первое сентября». - 2002. - №22.

41.      Левитас Г. Нестандартные задачи на уроках математики в четвёртом классе // Приложение к газете «Первое сентября». - 2002. - №39,44

42.      Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. – М.: Политиздат.- 1977.

43.      Мазаник А.А. Реши сам. – Минск: Народная асвета.- 1980.

44.      Махмутов М.И. Проблемное обучение. – М.: Педагогика.-1975.

45.      Махров В.П. Решение логических задач // Начальная школа. – 1979. - №2. – С.56.

46.      Мельник Н. Б. Развитие логического мышления при изучении математики // Начальная школа. – 1997. - №5. – С.63.

47.      Михайлов И.И. Занимательные задачи // Начальная школа. – 1986. - №6. – С.32 – 33.

48.      Моро М.И, Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1 – 3 классах. – М.: Просвещение.- 1988.

49.      Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – 5-е изд. – М.: Просвещение.- 1988. – 180с.

50.      Николау Л.Л. Логические упражнения // Начальная школа. – 1996. - №6. – С. 25 – 26.

51.      Основы методики начального обучения математике / Под ред. А.С. Пчелко. – М.: Просвещение, 1965.

52.      Павлов Ю.В. Статистическая обработка результатов педагогического эксперимента. – М., 1972.

53.      Педагогическая энциклопедия, Т. 2. – М.- 1965. – С.266.

54.      Перельман Я.И. Весёлые задачи. – М.: Пилигрим, 1997

55.      Перельман Я.И. Живая математика. – Чебоксары: РИО тип. №1 по заказу ТОО «Арта», 1994. – 200с.

56.      Пойа Д. Как решать задачу. Пер. с англ.: Пособие для учителей / Под ред. Ю.М.Гайдука. – М.: Учпедгиз, 1959.

57.      Поляк Г.Б. Занимательные задачи. – М., 1953.

58.      Психологические возможности младших школьников в усвоении математики / Под ред. В.В. Давыдова. – М., 1969.

59.      Русанов В.Н. Математические олимпиады младших школьников: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990. – 77с.

60.      Русанов В.Н. Занимательные задачи сказочного характера // Начальная школа. – 1989. - №5. – С.33 – 36.

61.      Свечников А.А. Решение математических задач в 1 – 3 классах. – М.: Просвещение, 1976.

62.      Столяр А.А. Как мы рассуждаем? – Минск, 1968.

63.      Терентьева Л.П. Час интеллектуального развития младшего школьника: Спецкурс. – Чебоксары: ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 2000

64.      Труднев В.П. Методика проведения внеклассной работы по математике. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1975. – 175с.

65.      Считай, смекай, отгадывай / для учащихся начальной школы / - СПб.: Лань, МИК, 1996. – 208с.

66.      Шамова Т. И. Активизация учения школьников. – М.: Знание, 1979.

Приложение 1

Примерная контрольная работа с использованием нестандартных задач за 4 класс, применённая нами в ходе исследования.

Задача 1

Три брата (Иван, Дмитрий и Сергей) преподают различные дисциплины (химию, биологию и историю) в университетах Москвы, Санкт-Петербурга, Киева.

Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Санкт-Петербурге.

Москвич преподаёт не историю.

Тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподаёт химию.

Дмитрий преподаёт не биологию.

Способ решения, предложенный учеником экспериментального класса Соловьёвым Дмитрием.

Москва Иван химия

Санкт-Петербург Дмитрий биология

Киев Сергей история

Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Санкт-Петербурге (стрелки зачёркиваю).

Москвич преподаёт не историю.

Тот, кто работает в Санкт-Петербурге, преподаёт химию.

Дмитрий преподаёт не биологию.

Москвич преподаёт не историю, следовательно, он преподаёт биологию, т.к. петербуржец преподаёт химию. Тогда киевлянин преподаёт историю.

Дмитрий не проживает в Санкт- Петербурге и не преподаёт биологию, а петербуржец преподает химию. Следовательно, Дмитрий преподаёт историю в университете Киева.

Иван работает не в Москве. Следовательно, он работает в Санкт-

Петербурге и преподает химию.

8) Тогда Сергей преподаёт биологию в Москве, в университете.

Задача 2

Три товарища, Алёша, Коля и Саша, сели на скамейку в один ряд. Сколькими способами они могут это сделать?

Способ решения, предложенный ученицей экспериментального класса Пинариной Надеждой.

Пусть А – Алёша, К – Коля, С – Саша. Тогда возможны варианты: А,К,С; А,С,К; К,А,С; К,С,А; С,А,К; С,К,А.

Алёша, Коля и Саша могут расположиться на скамейке 6 способами.

Задача 3

У Марины было целое яблоко, две половинки и четыре четвертинки. Сколько было у неё яблок?

Ответ: 3 яблока.

Приложение 2

Примерная годовая контрольная работа для 4 класса, проведённая нами во время опытно-экспериментальной работы