Мера угла

Дисциплина: "Высшая математика"

Тема: "Мера угла"

1. Градусная и радианная мера угла

Как было показано ранее, функция задает определенное соотношение между двумя числовыми множествами. Однако в некоторых случаях область определения функции может являться множеством чисел, имеющих размерность. В частности, речь идет о множестве значений некоторого угла. Прежде чем приступить к рассмотрению подобных функций, напомним некоторые факты, связанные с измерением углов.

Определение 1. Углом в  называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющей длину, равную ее  части.

Исторически сложилось деление градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд, то есть: , . Секунды делятся на десятые, сотые и т.д. части. Градус является наиболее распространенной единицей измерения углов.

Определение 2. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу окружности, имеющую длину, равную ее радиусу.

Таким образом, для отыскания радианной меры  центрального угла достаточно длину дуги (l), на которую он опирается, разделить на длину радиуса (R), то есть .

Из сказанного выше следует, что полной окружности будет соответствовать в градусах угол в 360 раз больший, то есть . В радианах это будет  радиан. Необходимо также отметить, что величина угла в градусной и радианной мере никак не связана с радиусом окружности. Следовательно, в дальнейшем можно рассматривать окружность любого радиуса, проще всего - единичного.

Формулы перехода от градусной меры дуг и углов к радианной и наоборот имеют вид:

, .

Отсюда следует, что

1 рад = , а рад0,01745 рад.

Рассмотрим теперь координатную плоскость с началом координат в точке О. Проведем окружность единичного радиуса с центром в точке О и отметим точки ее пересечения с осями координат.

Рассмотрим произвольную точку M на окружности и вектор , который называется радиус-вектором точки M.

Будем рассматривать центральные углы AOM, образованные векторами  и  при перемещении точки M по окружности.

	Y

D

C

B

A

O

X

M

Если точка M совпадает с точкой A, то  полагают равным нулю. Будем считать  положительным, если вращение вектора  от начального положения  происходит в направлении противоположном движению часовой стрелки. В противном случае  будем считать отрицательным.

Так как полный оборот вектора  приводит его в то же положение, однозначно определить величину угла, если это не оговорено, нельзя. Иначе говоря, в общем случае

Или

.

2. Элементарные тригонометрические функции произвольного угла

Введем определение основных тригонометрических функций угла. Для этого изобразим вначале единичную окружность.

	Y

R

y

x

M

O

X

Определение 1. Синусом угла  называется отношение ординаты  конца подвижного радиус-вектора , который образует угол  с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается .

Определение 2. Косинусом угла  называется отношение абсциссы  конца подвижного радиус-вектора , который образует угол  с осью абсцисс, к длине этого радиус-вектора и обозначается .

Определение 3. Тангенсом угла  называется отношение ординаты  конца подвижного радиус-вектора , который образует угол  с осью абсцисс, к абсциссе  конца этого радиус-вектора и обозначается .

Определение 4. Котангенсом угла  называется отношение абсциссы  конца подвижного радиус-вектора , который образует угол  с осью абсцисс, к ординате  конца этого радиус-вектора и обозначается .

Из приведенных определений следует, что

, , ,

причем у единичной окружности

, .

Введение произвольных по знаку и абсолютной величине углов позволяет каждому действительному числу  поставить в соответствие угол в  радиан и, наоборот, каждому углу - однозначно определяемое действительное число, равное числу радиан. Такое взаимнооднозначное соответствие позволяет определить тригонометрические функции числового аргумента.

Определение 5. Тригонометрическая функция числа  это та же тригонометрическая функция угла величиной в  радиан.

Рассмотрим графики основных элементарных тригонометрических функций.

Y

.

1

X

O

-1

Здесь

; ;

период ; ; корни , где .

2. .

1

X

O

Y

-1

Здесь

; ;

период ; ; корни , где .

3. .

Здесь

,

где ; ; период ; ; корни , где .

4. .

Здесь

,

где ; ; период ; ; корни , где .

Y

5. .

O

X

-1

1

Здесь

; ; ; корень .

Y

6. .

X

O

1

-1

Здесь

; ; ; корень .

7. .

O

X

Здесь

; ; ; корень .

8. .

	Y

X

O

Здесь

; ; ; корней нет.

Литература

1.    Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.

2.    Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. Изд-во: ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.

3.    Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Издательство "Академия/Academia", 2009. - 2008c.

4.    Фролов С. Начертательная геометрия Учебник.3-е изд., перераб. и доп. Изд-во: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2007. - 286c.