А є l 2. А Ï l

1. А є l 2. А Ï l

Если точка принадлежит прямой, то на эпюре их одноименные проекции совпадают.

1.Точка D є l, тогда Dh є lh, Dv є lv, Dw є lw

Задача 1.

По заданному чертежу определить положение точек относительно заданной прямой.

 

Рисунок 5

Следы прямой

Следы прямой — это точки пересечения прямой или ее продолжения с плоскостями проекций. У горизонтального следа Z = 0, у фронтального Y = 0.

Для того чтобы найти горизонтальный след, необходимо фронтальную проекцию прямой продолжить до пересечения с осью Х. и провести линию связи до пересечения ее с горизонтальной проекцией прямой.

Чтобы найти фронтальный след, необходимо горизонтальную проекцию прямой продолжить до пересечения с осью Х и провести линию связи до пересечения ее с фронтальной проекцией прямой.

Рисунок 6

Взаимное положение прямых относительно друг друга. 1.         Прямые могут быть пересекаться между собой и тогда точки пересечения их одноименных проекций лежат на одной линии связи (рисунок а). 2.         Прямые могут скрещиваться между собой и тогда точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи (рисунок б). 3.         Прямые могут быть параллельны между собой и тогда их одноименные проекции также параллельны между собой (рисунок с).

а) б) в)

Рисунок 7

 

Проверьте себя:

1. Что такое прямая?

2. Способы задания прямой на чертеже.

3. Положение прямой в пространстве относительно плоскостей проекций.

4. В чем заключается сущность метода прямоугольного треугольника?

5. Деление прямой в заданном отношении.

6. Что такое следы прямой и как построить их проекции?

7. Взаимное положение прямых в пространстве.

Лекция 3

Плоскость

Плоскость – это множество точек с двумя измерениями. Определителем плоскости являются три точки. Через одну и две точки можно провести множество плоскостей, и только через три точки можно провести единственную плоскость. Плоскость безгранична, но если ее ограничивают каким-либо контуром, то она называется отсеком

Существует шесть способов задания плоскостей (рисунок 1):

1)         тремя точками,

2)         прямой и точкой, не лежащей на этой прямой,

3)         двумя параллельными прямыми,

4)         двумя пересекающимися прямыми,

5)         плоской фигурой,

6)         следами

Рисунок 1

Относительно плоскостей проекций плоскость заданная может занимать шесть различных положений:

1)          плоскости уровня: горизонтальная (1), фронтальная (2) и профильная (3), которые параллельны соответствующим плоскостям проекций, и перпендикулярны двум другим (рисунок 1),

2)          проецирующие плоскости: горизонтально-проецирующие (4), фронтально–проецирующие (5), профильно-проецирующие (6), которые перпендикулярны только к одной плоскости проекций (рисунок 1),

3)          плоскость общего положения, не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскости проекций (рисунок 2).

Рисунок 2

Из рисунка 2 видно, что следы плоскостей есть ничто иное, как нулевые горизонтали и фронтали, пересекающиеся между собой на оси ОХ, но для простоты оба следа обозначают одной и той же буквой.

Прямые линии и точки в плоскости

Прямая линия принадлежит плоскости, если:

а) она проходит через две точки этой плоскости (рисунок 3а);

б) следы прямой лежат на одноименных следах плоскости (рисунок 3б - частный случай п.1);

в) она проходит через произвольную точку заданной плоскости параллельно любой прямой этой плоскости (рисунок 3в).

а) б) в)

Рисунок 3

Главные линии плоскости

Это прямые:

Горизонталь, h - это прямая, лежащая в плоскости заданной и параллельная горизонтальной плоскости проекций (рисунки 4 а, б, в).

Фронталь, f – прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рисунок 4).

а) б) в) г)

Рисунок 4

 

Линия наибольшего ската, 1-2 (рисунок 4 г) – прямая, принадлежащая заданной плоскости и перпендикулярная к её горизонталям и фронталям. Прямой угол, составленный л.н.с. плоскости с ее горизонталью, проецируется на горизонтальную плоскость без искажения.

Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.

Задача

Указать, какие из заданных на чертеже точек, принадлежат плоскости Р.

Рисунок 5

 

Проверьте себя:

1.         Что представляет собой плоскость?

2.         Что является определителем плоскости?

3.         Сколько существует способов задания плоскостей? Назовите их.

4.         Какие положения относительно плоскостей проекций может занимать в пространстве плоскость?

5.         Условия принадлежности прямой плоскости.

6.         Условия принадлежности точки плоскости.

7.         Что представляют собой главные линии плоскости?

Лекция 4

Взаимное положение плоскостей в пространстве

Плоскости могут быть между собой параллельны, могут пересекаться и, как частный случай пересечения, могут быть перпендикулярны друг к другу (см. соответственно рисунок 5 – а, б и с).

Рисунок 5

Если плоскости параллельны между собой, то одна из них проходит через прямую, параллельную этой плоскости. Одноименные следы таких плоскостей параллельны между собой.

Задача 1. Через точки А и В провести плоскости Р (Р^н, Р^v) и Р(m∩n) параллельную плоскости (рисунок 6).

Рисунок 6 Рисунок 7

 

Задача 2

Проверить, параллельны ли между собой плоскости b (f ∩ h) и S (m∩n) (рисунок 7).

Пересекающиеся плоскости.

Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо определить их две общие точки. Или одну общую точку и через нее провести прямую параллельно любой прямой другой плоскости.

Если обе плоскости заданы следами, то общие точки находят на пересечении одноименных следов (рисунок 8 а, б, в, г,). В других случаях вводятся вспомогательные плоскости – посредники (8 е).

 

Задача 3

Построить линии пересечения двух плоскостей.

а) б) в) г) д) е)

Рисунок 8

 

Лекция 5

Прямая и плоскость

Прямая может быть параллельна плоскости (как частный случай принадлежать ей) и может пересекать ее, в том числе и под прямым углом.

1. Прямая, параллельная плоскости

Если прямая параллельна любой прямой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (рисунок 8).

Рисунок 8