1.3 В общем виде

Изложим метод Винера-Хопфа в общем виде. Возьмем обобщенное уравнение

и поставим задачу: найти функции Ψ1, Ψ2,удовлетворяющие нашему уравнению в полосе ,стремящихся к нулю при .A,B,C – аналитические в нашей полосе функции, для ограничения вырожденного случая A,B не равны в полосе нулю. Идею решения такого уравнения мы в основном уже излагали, здесь она немного расширена. Итак, представляем A/B как частное функций L+ ,L- ,

,

причем L+ аналитическая в области Im(k) > τ-, L- аналитическая в области Im(k) < τ+ .Подставляя это в уравнение, и приводя к общему знаменателю, получаем:

Теперь, если удается разбить слагаемое, не содержащее Ψ,на два, как

,

что будет верно в некоторой подполосе нашей полосы, и сгруппировать идентичные слагаемые, то получаем:

 

- это чуть более общее равенство, чем то, что мы получали ранее для частного случая. Как и ранее – из сходимости обоих пси к нулю при стремлении k по модулю к бесконечности, сходимости L+ L- не быстрее многочлена степени n, а также учитывая, что существует единственная пси в нашей полосе, составленная из Ψ1, Ψ2, мы получаем следующие соотношения:

Рn(k) – многочлен, коэффициенты которого определяются из доп.условий. Далее – решение будет равно обратному преобразованию Фурье от суммы Ψ1, Ψ2.

Что осталось выяснить, так это саму возможность так раскладывать функции. Приведем нескольку лемм, обосновывающих возможность такой работы с нашими функциями.

Лемма1: Пусть образ F(k) аналитический в полосе ,F(k) равномерно стремится к 0 при |k|-> ∞ Тогда в этой полосе возможно разбиение функции F как ,F+(k) аналитическая в Im(k)>τ- , F-(k) аналитическая в Im(k)<τ+ .

 

 

 

 

 

Доказательство: Рассмотрим систему отсчета так, как это изображено на картинке. Посчитаем значение F(k0) – в точке, лежащей внутри прямоугольного контура abcd.По формуле Коши расписали в интеграл по контуру.Перейдем к пределу A ->∞,и устремим контур к полосе.

Тогда в пределе получаем

,

где эти части есть

Каждая функция задана в своей области, а на их пересечении в нашей полосе мы имеем равенство. Что и требовалось доказать, в общем то. Очевидно, что из их сходимости следует и ограниченность F+(k),F-(k) в рассматриваемой полосе.

Лемма2:Пусть функция Ф(k) является аналитической и не равной нулю в полосе ,причем Ф(k) равномерно стремится к 1 при |k|->∞.Тогда ,где функции Ф+- соответственно аналитические в

 и

 

Доказательство:

Заметим, что для функции выполнены условия леммы1,значит,мы имеем право ее представить суммой F+ , F- , а Ф – произведением:

,Ф=Ф+- .

Условия на границы по мнимой оси для функций Ф+- сохранятся => лемма доказана.

Теперь сделаем еще одно обобщение – покажем, как в общих чертах работает этот метод для неоднородного уравнения

 (7)

Проводя аналогичные рассуждения, разбивая u(x) на две вспомогательные функции, замечаем, что при выполнении условий для модуля

в полосе  мы можем переходить к образам функций и мы получим

предварительно разбив F на две. Принимая за функцию L(x) ф-ю

,

аналитическую в стандартной полосе  и равномерно стремящуюся к 1 при наше алгебраическое уравнение перепишется как

Далее, точно также разделяем L на две части как

,

И L+ - аналитическая в , L- - аналитическая в . По аналогии приводя к общему знаменателю, получаем уравнение на U+,U- :

При успешном разложении последнего члена как

,

где по все той же аналогии D+ и D- аналитические в областях  соответственно, мы записываем решения в виде

.

При этом мы воспользовались той же сходимостью – L+,L- растут не быстрее чем kn, а значит, для выполнения условий необходим полином в числителе.

Как видим, и эта, неоднородная задача, успешно решилась методом Винера-Хопфа. Как таковой, метод основан на некой аналогии разделения переменных – мы разделяем одну функцию на сумму двух, каждая из которых закрывает свою зону комплексной плоскости, и с каждой половиной работаем отдельно.

Метод мы рассмотрели, поняли, как он работает, теперь рассмотрим его конкретное применение – в краевых задачах математической физики.


 

2. Применение метода Винера-Хопфа

До этого мы рассматривали наш метод для решения интегральных уравнений, однородных и неоднородных, с специальным ядром. Сейчас же рассмотрим уравнение Лапласа и краевую задачу на нем, тем самым обобщив м. В.-Х. и на дифференциальные уравнения в частных производных.

Итак, задача: в верхней полуплоскости найти гармоническую функцию, удовлетворяющую следующим условиям:

Для этого решим к. задачу на уравнении , ,и перейдем уже в решении к пределу в нуле по каппа.

Разделяя переменные, и применяя метод Фурье, в общем виде находим решение:

,

где f(k) - произвольная функция комплексного параметра k,

Для удовлетворения функции u граничным условиям должны выполняться 2 условия на f(очевидно из представления u):

Решение строится, если L(k) аналитическая в полосе τ- < Im(k) < τ+,если при этом τ- < 0, τ+ > 0. Тогда

,

где L+ аналитическая в верхней полуплоскости τ- < Im(k), L- аналитическая в нижней п.п Im(k) < τ+.Если мы так представили L, несложно убедится в истинности решения

,

где константа определяется как

Эти результаты мы получаем, замыкая контур интегрирования и пользуясь леммами Жордана об интегрировании по верхней/нижней полуплоскости. Убеждаемся, что вид функции L

нам подходит. Подставляя его в предыдущие равенства, получаем

и

,

что решает задачу. Теперь, как мы в самом начале говорили, перейдем к пределу по каппа к нулю и в пределе получаем гармоническую функцию:

вычисляя интеграл, получаем

Дальнейшие вычисления приводят нас к следующему результату:

-

если вводим вспомогательную функцию так, то

,z=x+iy.

Получили ответ задачи.


Вывод

В работе мы рассмотрели метод на примере интегральных уравнений ,и обосновали его правильность. После мы применили его к решению краевой задачи матфизики, используя представления о методе Винера-Хопфа из области специальных интегральных уравнений.

В общем то, мы применили небанальный переход, когда устремляли каппа к 0,и получали гармоническое уравнение.

В общем и целом, метод Винера-Хопфа, хоть и является достаточно узким методом, направленным на решение конкретного И.У. с определенным ядром, позволяет решать многие математические задачи помимо своего прямого предназначения.


Список использованной литературы

1. Б.Нобл. “Применение Метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных.”

2. Свешников, Тихонов, “Теория функций комплексного переменного.”


Информация о работе «Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 13624
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 7

Похожие работы

Скачать
21777
0
0

... . В феврале 1964 г. журнал “Юнайтед Стэйтс Ньюс энд Уорлд Рипорт” публикует последнее его интервью “Машины изобретательнее людей?”. Смерть постигла основателя кибернетики 18 марта 1964 г., в возрасте 69 лет.   2. Кибернетика Норберта Винера Концепция кибернетики родилась из синтеза многих научных направлений. Во-первых - как общий подход к описанию и анализу действий живых организмов и ...

Скачать
138248
8
0

... со строгими методами оптимизации образуют жесткую структуру, изменения которой осуществляются разработчиками или специальными лицами, администрирующими информационную компоненту и сопровождающими систему автоматизированного проектирования. Они не являются специалистами в данной предметной области. ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЗНАНИЙ Предварительно остановимся на изложении некоторых понятий ...

Скачать
19065
0
0

... . Колмогоров, подобно великим ученым прошлого Эйлеру и Бернулли, был математиком-универсалом, внесшим огромный вклад во многие ее разделы — математическую логику, гидромеханику, теорию множеств и функций, классическую механику. Он автор ряда основополагающих работ по стиховедению и теории связи. Жизнь Андрея Николаевича Колмогорова – пример необычайно счастливой и созидательной жизни человека, ...

0 комментариев


Наверх