Навигация
4.5 Розклад по піддіапазонам
Іноді буває корисно розкласти сигнал на компоненти, енергія яких зосереджена в різних частотних піддіпазонах (тобто істотно відмінна від нуля на різних під відрізках відрізка 
), і кодувати їх з різним ступенем детальності (наприклад, залежно від чутливості людського вуха до звуків різної частоти). Розподіл «енергії» сигналу по частотах характеризує 
, Задовго до створення вейвлет-аналіза для цього використалася схема, що ми зараз опишемо.
Ми хочемо знайти два фільтри, 
(придушуючий високі частоти) і 
( придушуючий низькі частоти), які дозволяли б розкласти сигнал на два компоненти, 
і 
, удвічі їх прорідити (половина значень стає зайвою – адже частотний діапазон скоротився вдвічі!), а потім, за допомогою транспонованих фільтрів, точно відновити за цими даними вихідний сигнал (цю операцію можна застосовувати рекурсивно). Умови на шукані фільтри зручно записати в термінах z-перетворення.
Нехай 
– z-перетворення однієї з компонентів. Перед кодуванням вона проріджується вдвічі, а перед відновленням вихідного сигналу доводить до вихідної довжини вставкою нулів між сусідніми значеннями. При цьому z-перетворення з перетворюється в 
. Підставивши дане рівняння для кожного з фільтрів, одержимо z-перетворення компонентів перед відновленням
(4.5.10)
z-перетворення транспонованих фільтрів мають вигляд 
і 
. Сигнал відновиться з їхньою допомогою точно, якщо:
.
Одержуємо умови точного відновлення :
(4.5.11)
У матричній формі вони записуються так:
,
де
(4.5.12)
Підставивши 
, одержимо умови на ДПФ шуканих фільтрів:
(4.5.13)
Допустимо, що ми знайшли такий, що
(4.5.14)
Тоді, підставивши
(4.5.15)
ми бачимо, що умова виконується. Завдання звелося до знаходження тригонометричного багаточлена 
, що задовольняє умові. На методах побудови таких багаточленів ми зупинимося в наступній лекції. Фільтри і , що задовольняють умові, називаються квадратурними дзеркальними фільтрами. На рисунку 4.7 (a) і (б), показані ДПФ такої пари фільтрів і , а також вихідний сигнал до й після фільтрації (без проріджування)[12].
 |
Рисунок 4.7(а) – Сигнал до фільтрації
Рисунок 4.7 (б) – Сигнал після фільтрації
5. ЗАСТОСУВАННЯ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛІЗА ДЛЯ ОБРОБКИ СИГНАЛІВ
5.1 Огляд існуючих методів
5.1.1 Пірамідне представлення сигналів
На рисунку 5.1 схематично зображене пірамідне представлення одномірного сигналу. Сигналові ставляться у відповідність дві піраміди: піраміда гауссіанів (ПГ) і піраміда лапласіанів (ПЛ). Ці назви відбивають аналогію з популярними в графіку операціями згладжування (згортки з колоколообразним фільтром) і виділення перепадів (обчислення “дискретного оператора Лапласа”). Можна вважати цю конструкцію спрощеним варіантом попередньої.
В основі ПГ знаходиться вихідний сигнал. Наступний поверх ПГ – вихідний сигнал, профільтрований низькочастотним фільтром 
і проріджений після цього вдвічі – передбачається, що фільтр h «убиває» верхню половину частотного діапазону, тому густоту вибірки можна відповідно зменшити. До цього поверху застосовується та ж операція, і так далі. У випадку кінцевих сигналів кожний наступний поверх удвічі коротше попереднього.
Рисунок 5.1 – Пірамідне представлення сигналів
Поверхи ПЛ – різниці між послідовними поверхами ПГ. Вони обчислюються так. Нехай, наприклад, 
і 
– перший і другий поверхи ПГ, 
– перший поверх ПЛ, що ми хочемо обчислити. Для цього спочатку вирівнюються довжини поверхів:
а потім виконується фільтрація сполученим фільтром 
(його коефіцієнти – переставлені у зворотному порядку коефіцієнти , у Фур'є-області це рівнозначно переходу к) 
. У результаті виникає вектор 
. По визначенню, 
.Тепер замість вихідного сигналу ( ) досить запам'ятати пари (
). Вихідний сигнал можна точно відновити по формулі:
Сигнал удвічі коротше вихідного, а сигнал , як правило, майже цілком складається з дуже малих величин. Багато хто із цих величин можна без помітного збитку для точності відновлення замінити нулями, а інші закодувати більш короткими словами, чим компоненти вихідного сигналу. За рахунок цього загальна довжина запису ( ) буде істотно меншої довжини запису вихідного сигналу. Це скорочення стане ще більшим, якщо обчислити кілька поверхів ПЛ, і запам'ятовувати замість вихідного сигналу кілька поверхів ПЛ і останній поверх ПГ.
Ступінь стиску інформації цим методом залежить від вибору фільтра . При експериментах з пірамідними представленням було зроблене спостереження: «якість» фільтра зручно виражати в термінах еквівалентної вагової функції. Ця функція виникає так. Неважко обчислити коефіцієнти фільтрів, згортка сигналу з якими дає відразу другий поверх ПГ, третій поверх, і т.д. Виявляється, що при відповідній нормуванню вектори цих коефіцієнтів сходяться до якоїсь граничної «форми» – графікові функції 
, що повинні задовольняти функціональному рівнянню[12]:
(3.1)
 |
Процес одержання
зображений на рисунку 5.2. Рисунок 5.2 – Процес одержання графікові функції
Похожие работы
... функції, що використовується. Ця ширина називається носієм функції. Якщо вікно досить вузьке, то говорять про компактний носій. Як побачимо надалі, ця термінологія особливо широко використовується в теорії вейвлет-перетворень. Часова інформація при ПФ відсутня. При ВПФ вікно має кінцеву довжину, накриває тільки частину сигналу, тому частотне розрізнювання погіршується. Отже, чим вужче вікно, тим ...
... залежить від віконної функції, що використовується при ВПФ або материнського вейвлета при вейвлет-перетворенні. 3. Апроксимуюча і деталізуюча компоненти вейвлет-аналізу Одна з основних ідей вейвлет-подання сигналу полягає в розбивці наближення до сигналу на дві складові: грубу (апроксимуючу) і витончену (деталізуючу), з подальшим уточненням ітераційним методом. Кожен крок такого уточнення ві ...
... регулирования движения судов: Отчет о НИР (промежуточный) // ХАИ. – 501-4/2002; – Харьков, 2002. – 30 с. АНОТАЦІЯ Жеребятьєв Д.П. Методи обробки динамічних сцен при впливі нестаціонарних завад у радіотехнічних системах супроводження надводних протяжних об'єктів. – Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за фахом 05.12.17 – радіотехнічні та телевізійні ...
... масштабу. (г) Многомасштабне градієнтное зображення Інші автори дотримуються підходу, при якому остаточна картина границь складається на основі аналізу градієнтних зображень від точних масштабів до не точних. При цьому, основними завданнями при такому підході є зменшення впливу шуму, до якого чутливі оператори градієнта малого розміру, і комбінування границь, отриманих на точних масштабах, із ...
0 комментариев