Аналіз математичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача

2 Аналіз математичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача

При будь-яких додатних цінах  і доході  розв’язок задачі поведінку споживача, існує й єдиний.

Очевидно, що цей розв’язок залежить від  і , тобто вибір споживача є функцією, що залежить від цін і доходу. Ця функція називається функцією попиту  або в розгорнутому вигляді:

.

Цей запис означає, що при цінах  і доході  вибирається споживчих благ у кількостях .

Основною властивістю функції попиту є її однорідність щодо всіх цін і доходу, тобто значення попиту інваріантні відносно пропорційних змін  й :

, де .

Ця властивість виражає той факт, що вибір споживача залежить тільки від співвідношення цін на товари, а не від масштабу цін.

Аналіз моделі поведінки споживача полягає у вивченні чутливості розв’язку до зміни її параметрів  і . Цей підхід у математичній економіці називається методом порівняльної статистики.

Розглянемо задачу, в якій рівняння являють собою  умови першого порядку й можуть бути розв’язані відносно оптимальних кількостей усіх продуктів  і оптимального множника Лагранжа , тобто розв’язок подається у вигляді функції попиту  та функції попиту та доходу . Поставимо  й в

або в розгорнутому вигляді

(1)

Позначимо  і .

Отже перейдемо до аналізу математичної моделі поведінки споживача відносно зміни її параметрів  і : 1. Розглянемо вплив зміни доходу  на розв’язок задачі споживання. Для цього продиференцюємо (1) по , тоді одержимо

(2)

де  і  відображають ступінь чутливості стосовно зміни .

Позначимо , тоді в матричному позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:

,

де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, що облямована цінами, тобто

, де  – вектор-рядок.

Припустимо, що . Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні  одержимо

де  – алгебраїчні доповнення елементів ,  відповідно.

Якщо , то -й товар називається коштовним (цінним), при збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. На випадок, коли  -й товар називається малоцінним.

2. Розглянемо вплив зміни ціни одного товару, наприклад , на поведінку споживача. Диференціюючи (1) по , одержимо:

(3)

де  – дельта Кронекера . Запишемо систему (3) у такому вигляді:

.

Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто, тоді маємо при фіксованому  такий розв’язок, який називають рівнянням Слуцького

(4)

Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності. Вираз  називається коефіцієнтом Слуцького. З рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на -й товар зміна попиту на -й товар наведена двома доданками, перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальний ефект = вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на -й товар відбувається зростання доходу (ефект доходу), але він іде не повністю на закупівлю -го товару – частина його витрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).

Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх  та  таких, що , тоді матриця  розміром  симетрична й від’ємно визначена, тобто .

Можна встановити властивості цієї матриці.

Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначають зміну , яка є результатом варіації ціни , за умови, що доход підтримується на такому рівні, що значення  залишається незмінним.

При  товари  та  прийнято вважати взаємозамінюючими, при  – взаємодоповнюючими, а при  – незалежними.