Каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

5.   каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6.   " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

 

Доказательство: Пусть S - редуцированное полукольцо. Такое S - симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).

1)Þ3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. Пусть P Î Spec S и ab ÎOp при a, b Î S.

Тогда $ сÎS \ P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для " s Î S.

Возьмём s = 1 Þ abc = 0 Þ bc Î Ann aS (по определению Ann aS). Но  Ann aS Í Ann a . Тогда bc ÎAnn a. По условию 1) S - слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S для a ÎS, bc Î Ann aS.

$ e ÎAnn aS, f ÎAnn bc: e + f = 1 (1ÎS).

Предположим, что a ÏOp Þ Ann aS Í P (по определению Ann aS) Þ e ÎP.

Тогда f ÏP, т.к. в противном случае 1ÎP. Но P - первичный идеал Þ P - собственный Þ 1ÏP.

f ÎAnn bc Þ bcf = 0. Т.к. S - симметрическое Þ bScf = 0. Но cf ÏP (т.к. c ÏP, f ÏP , а P - первичный идеал) Þ b Î Op .

Таким образом, получили, что все идеалы Op , P Î Spec S, вполне первичны.

3)Þ4). По условию 3 все идеалы Op , где P Î Spec S, первичны. Но M Î Max S – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M Î Spec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM , где M Î Spec S и M Î Max S, первичны.

Пусть P Í M. Тогда OM Í Op (лемма 2).

Если a Î Op , т.е. ab = 0 при некотором b ÎS \ P и s = 1ÎS, то a ÎOM , ибо  b ÏOM Í P, а ab = 0 ÎOM и  OM псевдопрост (доказано выше). Значит и Op Í OM . Тогда Op = OM .

4)Þ5). Пусть P – первичный идеал из S и P Í M. По условию 4) данной теоремы OM – первичный идеал и так как P Í M Þ Op = OM . Также Op Í P (Лемма 2). Докажем, что OM – минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q - минимальный первичный идеал полукольца S. Но Q Í M Þ OM Í OQ Í Q. По условию 4) данной теоремы OM  = OQ. . Так как Q – минимальный первичный идеал Þ OQ = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что Op = OM =Q.

Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P ¢ - произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP¢ = OM (по условию 4)). Также OP¢ = P ¢ .

Тогда получили равенство Q = OQ = OM = OP¢ = P ¢ . Единственность доказана.

Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M ÎMax S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.

5)Þ6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b ¹ S для некоторых a, b ÎS.

Тогда Ann a + Ann b Í M для подходящего M Î Max S.

Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. Тогда OM Í P (Лемма 2). Предположим, что $a Î P \ OM .  Степени элемента a образуют m-систему (0 Ï{a}, 1Î{a} и для "a,aÎ{ a}  $с = 1ÎS: aсa= aÎ{ a}),не пересекающуюся с OM. Действительно, если aÎ OM, n Î N, то ab = 0 для некоторого b ÎS \ M. Но тогда (ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a ÎOM ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢ OM, не содержащий a, который будет первичным.

Пусть q, w Î S \ P и q, w Î S \ P ¢. Тогда $s Î S: qsw Ï P Þ qsw Ï P Ç P ¢ Þ  P Ç P ¢ -первичный идеал, что противоречит минимальности P. Значит  P Í OM и P = OM. Первичный идеал OM псевдопрост, поэтому aÎOM или b ÎOM. Откуда по определению нуль-компонент Ann a M Ú Ann bM Þ  Ann a + Ann b  M Þ противоречие Þ Ann a + Ann b = S.

6)Þ1). Возьмём "a, b ÎS: ab = 0 Þ b Î Ann aS.

Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:

Ann a + Ann b = S. Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким образом, полукольцо S-слабо риккартово, что и требовалось доказать.

2)Û6). Пусть a, b Î S и ab = 0. D(a) Ç D(b) = {PÎSpec S: aÏP Ù bÏP} = { PÎSpec S: ab Ï P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = Æ.

Обратно, D(a) Ç D(b) ={PÎSpec S: aÏP Ù bÏP} ={PÎSpec S: ab Ï P}=D(ab) =Æ Þ ab = 0, так как D(x) = Æ Û x = 0.

Таким образом, ab = 0 Û D(a) Ç D(b) = Æ.

Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы

  = {SÎSpec S: Ann aÍP Ù Ann bÍP} = Æ.

Тогда Ann a + Ann b  M для " M Î Max S Í Spec S Þ Ann a + Ann b = S.

В другую сторону, пусть Ann a + Ann b = S Þ Ann aM Ú Ann bM для подходящего M Î Max S Í Spec S.

 Тогда  = {S Î Spec S: Ann a ÍP Ù Ann b ÍP} = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.

Теорема доказана полностью.

 Cвойство:

Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:

ab = 0 и a + b Î A Þ a Î A.

Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a + b ÎA. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда  Ann a + Ann b = S, то есть c + k = 1 при некоторых c ÎAnn a и k ÎAnn b.

c Î Ann a Þ ac = 0 (по определению аннулятора).

k Î Ann b Þ bk = 0.

 a = a×1 + 0 = a×(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b)×k = (a + b)×k ÎA.

Получили a ÎA, что и нужно было доказать.

 

Литература.

1.               Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.

2.               В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. - 131 с.