Решение неоднородных дифференциальных уравнений

3. Решение неоднородных дифференциальных уравнений

Познакомившись с общим подходом к построению решений линейных векторных дифференциальных уравнений, покажем теперь, как получаются решения неоднородных уравнений.

Представим исходное уравнение с неоднородностью, локализованной в правой части уравнения, и умножим обе части уравнения на матричную экспоненту :

.

Обращаясь к правилам дифференцирования векторно-матричных выражений, приведенных выше, несложно заметить, что слева от знака равенства находится производная от произведения матричной экспоненты  на вектор y:

.

Сделаем соответствующую замену и проинтегрируем левую и правую части по независимой переменной t:

.

Умножая слева обе части равенства на матрицу , получим общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

Формула общего решения в своей нотации точно соответствует случаю скалярного уравнения. При невозможности аналитического решения переходный процесс можно вычислить по точкам, заменив непрерывное время дискретным  с шагом , где R – радиус сходимости степенного матричного ряда с матрицей :

.

В интеграле можно заменить независимую переменную на дискретную с тем же шагом, что и при разложении экспоненты: , тогда, применяя метод интегрирования по правилу прямоугольников и обозначая матричную экспоненту на k-том шаге через , получим

.

Удобно из формулы вычисления дискретных значений векторного переходного процесса получить рекуррентную формулу. Этого можно добиться, если найти в выражении для  часть, которую можно заменить значением :

Повышения точности вычисления переходного процесса достигают за счет замены интеграла квадратурами более высокого порядка, например, первого – формула трапеций, или второго – формула парабол (Симпсона).

Использование формулы трапеций приводит после соответствующих преобразований к следующей рекуррентной формуле:

Если использовать формулу Симпсона, то рекуррентная формула для расчета переходного процесса от точки к точке будет такой:

В приведенных рекуррентных формулах матричные экспоненты имеют следующий вид:

.

4. Примеры численного решения векторно-матричных уравнений

В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений:

.

Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной :

,

или относительно переменной :

.

Характеристическое уравнение  имеет два комплексных корня: . Общее решение этих уравнений будет:

,

где  – постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:

Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:

Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.

Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:

.

Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:

Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу  и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:

Векторное аналитическое решение имеет вид:

Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.

Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:

Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:

:

…

В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.

t	Аналитическое решение		Аппроксимация Падэ порядка 1		Аппроксимация Падэ порядка 2		Аппроксимация Падэ порядка 3
0	1	1	1	1	1	1	1	1
0.1	1.066	0.3475	1.0670	0.3483	1.0660	0.3475	1.066	0.3475
0.2	1.072	-0.2023	1.0740	-0.2018	1.0720	-0.2023	1.072	-0.2023
0.3	1.029	-0.6434	1.0320	-0.6440	1.0290	-0.6434	1.029	-0.6434
0.4	0.9478	-0.9755	0.9513	-0.9778	0.9478	-0.9755	0.9478	-0.9755
0.5	0.8380	-1.203	0.8420	-1.207	0.8380	-1.203	0.8380	-1.203
0.6	0.7103	-1.335	0.7145	-1.341	0.7102	-1.335	0.7102	-1.335
0.7	0.5737	-1.383	0.5779	-1.391	0.5737	-1.383	0.5737	-1.383
0.8	0.4360	-1.360	0.4398	-1.369	0.4360	-1.360	0.4360	-1.360
0.9	0.3035	-1.280	0.3068	-1.290	0.3035	-1.280	0.3035	-1.280
1.0	0.1814	-1.156	0.1839	-1.167	0.1814	-1.156	0.1814	-1.156

Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5–6-ю достоверными десятичными знаками.

Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:

.

Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h=0.1):

.

Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:

.

В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2.

t	Точное решение		Интегрирование по формуле прямоугольников		Интегрирование по формуле трапеций		Интегрирование по формуле парабол
0	1	1	1	1	1	1	1	1
0.1	1.16576	0.328872	1.16422	0.302569	1.16514	0.330031	1.16576	0.328872
0.2	1.26681	-0.271328	1.26234	-0.318851	1.26567	-0.269062	1.26680	-0.271346
0.3	1.31004	-0.785828	1.30176	-0.849621	1.30849	-0.782554	1.31125	-0.802579
0.4	1.30354	-1.20604	1.29100	-1.28147	1.30167	-1.20189	1.30354	-1.20605
0.5	1.25599	-1.52886	1.23917	-1.61178	1.25389	-1.52399	1.25944	-1.55740
0.6	1.17619	-1.75579	1.15542	-1.84257	1.17395	-1.75039	1.17618	-1.75580
0.7	1.07265	-1.89209	1.04854	-1.97973	1.07033	-1.88633	1.07991	-1.92961
0.8	0.953246	-1.94585	0.926640	-2.03193	0.950907	-1.93991	0.953243	-1.94586
0.9	0.825009	-1.92713	0.796891	-2.00986	0.822699	-1.92120	0.837584	-1.97248
1.0	0.693974	-1.84722	0.665412	-1.92534	0.691726	-1.84145	0.693977	-1.84722

Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.

Литература

 

1.   Бахвалов И.В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.

2.   Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304c.

3.   Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 608 с.

4.   Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Паскаль, Фортран и Бейсик. МП «Раско», Томск, 1991.

5.   Пантелеев А.В., Киреев В.И., Пантелеев В.И., Киреев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2004. – 480c.

6.   Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мызникова Б.И. Численные методы линейной алгебры. Учебное пособие. Издательство: ИНФРА-М, 2008.