Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса

Контрольна робота

З дисциплiни: Вища математика

За темою (роздiлом навчального плану)

Прізвище,ім’я, по батькові студента

Данiщук Мирослава Евгенiївна

Прiзвище та інiцiали викладача

Дюженкова Ольга Юріївна

Київ 2008 рiк.

Завдання 1

Систему рівнянь записати в матричній формі та розв’язати методом оберненої матриці та методом Гауса.

 (*)

Розв’язання.

Запишемо дану систему рівнянь (*) в матричній формі:

 = . (1)

 

Введемо позначення:

А≡  - матриця системи,

Х ≡  - вектор-стовпець з невідомих членів,

В ≡  - вектор-стовпець з вільних членів.

 

1) Розв’яжемо систему рівнянь (*) методом оберненої матриці.

Домноживши рівність (1) зліва на обернену матрицю A^-1 одержимо:

Знайдемо обернену матрицю до даної:

A^-1 = ,

де А₁₁= (-1) ²‌·=10-24=-14,А₁₂= (-1) ³‌·=- (-6+6) =0,А₁₃= (-

1) ⁴‌·=-12+5=-7,А₂₁= (-1) ³·=- (-2+4) =-2,А₂₂= (-1) ⁴‌

·=-6-1=-7,А₂₃= (-1) ⁵‌·=- (-12-1) =13,А₃₁= (-1) ⁴‌·=-

6+5=-1,А₃₂= (-1) ⁵‌·=- (-18-3) =21,А₃₃= (-1) ⁶‌·=-15-3=-18.

det A = = 30-6-12+5+6-72=-49.

Тому

A^-1 = = - .

Отже, розв’язок даної системи в матричній формі запишеться так:

X = - ·=-=

=-=.

Тобто х₁=1,х₂=1,х₃=1.

2) Розв’яжемо систему рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень.

Спочатку виключимо х₁ з другого та третього рівнянь системи (*).

Помножимо друге рівняння системи (*) на - 1 і додамо його до першого - запишемо замість другого рівняння,

Помножимо третє рівняння на - 3 і додамо його до першого - запишемо замість третього рівняння:

 (2)

Тепер виключимо х₃ з третього рівняння отриманої системи (2). Для цього помножимо третє рівняння системи (2) на - 1 і додамо до другого - запишемо замість третього рівняння системи:

 (3)

З рівняння (3) маємо:

х₂= 1,х₂ = = 1,х₃ = 5-3·1-1=1.

Відповідь. дана система в матричній формі:

 

  = ,

 

її розв’язок (1; 1;1).

 

Завдання 2

Показати, що перші три вектори , ,  утворюють базис тривимірного векторного простору, і розкласти вектор  за цим базисом (при розв’язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера):

= (1,2,3), = (2,2,3), = (1,1,1),  = (5,7,10)

Розв’язання.

Для того, щоб вектори , ,  утворювали базис, необхідно щоб вони були лінійно незалежними. Тобто має виконуватись рівність:

α +β +γ = 0,за умови, що α = β = γ = 0.

Тобто

α +β +γ = 0,

або

 = .

Тоді, система:

повинна мати тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.

Визначник системи:

А =   , det A = 1*2*1+2*1*3+2*3*1-3*2*1-2*2*1-3*1*1=10.

 

Отже, вектори , ,  утворюють базис тривимірного векторного простору.

Тоді вектор  є їх лінійною комбінацією:

 = b₁ + b₂ + b₃ .

Числа b₁, b₂, b₃ будуть координатами вектора у базисі , , . Знайдемо їх, розв’язавши відповідну систему:

Систему лінійних рівнянь розв’яжемо, використовуючи формули Крамера:

b1 = ,

b2 =

b3 = .

= det   = 5*2*1+2*1*10+7*3*1-10*2*1-7*2*1-3*1*5 = 2,= det   = 1*7*1+5*1*3+2*10*1-3*7*1-5*2*1-10*1*1 = 1,= det   =1*2*10+2*7*3+2*3*5-3*2*5-2*2*10-3*7*1 = 1.

Тоді b1 = 2,b2 = 1,b3 = 1.

Отримали вектор  у базисі , , :  = 2 + + .

Відповідь. вектори , ,  утворюють базис тривимірного векторного простору,  = 2 + + .

 

Завдання 3

Задано: координати трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти АК, знайти кут А і координати точки К.

A (0;

2), B (2;

3), С (1;

3).

Розв’язання.

рівняння АВ:

,

звідси рівняння прямої АВ: х - 2у + 4=0;

рівняння АС:

,

звідси рівняння прямої АС: х - у +2=0;

рівняння ВС:

,

звідси рівняння прямої ВС: у = 3.

2) З урахуванням перпендикулярності прямої ВС і висоти АK нормальний вектор прямої ВС є напрямним прямої АК:  (0;

1) - нормальний вектор прямої ВС,  (0;

1) - напрямний вектор прямої АК. Напишемо рівняння цієї прямої, враховуючи, що їй належить т. А (0;

2) -

 =0

х = 0 - рівняння прямої АК.

3) кут А - гострий кут між прямими АВ і АС:

∟A = ∟BAK - ∟CAK,

де ∟BAK = arctg (BK / AK) = arсtg (2/1) = arсtg 2,∟CAK=arctg (CK / AK) = arctg (1/1) = ,

тому ∟ A = arctg 2 - .

4) Знайдемо точку К - точку перетину висоти АК і прямої ВС, тобто координати т. К є розв’язком системи рівнянь даних прямих:

Маємо: К (0;

3).

 

Відповідь. (АВ): х - 2у + 4=0, (АС): х - у +2=0;

(ВС): у = 3;

(АК): х=0;

∟ A = arctg 2 - ;

К (0;3).

 

Завдання 4

Знайти границі функцій (не використовуючи правило Лопіталя):

а) ;

б) ;

в)

 

Розв’язання:

а) Коли x прямує до нескінченності, молодшими степенями x можна нехтувати:

= ==-3;

б) Здійснимо заміну змінних y = x - 2:

== - ,

розпишемо синус за допомогою формули Тейлора:

sin у = y - +…

Тоді:

= - = - = - 1 -  (-) +…=-1+0+…=-1;

в) Скористаємося визначенням числа e:

е =

і здійснимо заміну змінних y = - 2x - 1:

= =  = =

= = е².

 

Відповідь. - 3; - 1; е².

Завдання 5

Знайти похідну функції:

у = е^{sin x} ln x

 

Розв’язання.

Скористаємося формулою диференціювання добутку і складної функції:

.

Відповідь. .

 

Завдання 5

Дослідити функцію методами диференціального числення і побудувати її графік. Досліджувати функцію рекомендується за такою схемою:

1) знайти область визначення й область зміни функції;

2) дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву функції (якщо вони існують) і точки перетину її графіка з осями координат;

3) знайти інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму;

4) знайти інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину;

5) знайти асимптоти графіка функції.

у = .

 

Розв’язання.

1) Область визначення - вся числова вісь за винятком x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль:

х є (-∞; - 3) U (-3; +3) U (+3; +∞),

область значень функції - вся числова вісь за виключенням y = 0: у є (-∞; 0) U (0; +∞).

2) Точки розриву x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль;

функція перетинає вісь y при х = 0, у = - .

3) Інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму:

знайдемо похідну функції:

,

похідна додатна при x < 0, тому функція при x <0 зростає,

похідна від’ємна при x > 0, тому функція при x > 0 спадає,

похідна дорівнює 0 при x = 0, тому функція при x = 0 досягає локального екстремуму;

знайдемо другу похідну функції:

,

друга похідна дорівнює -  при x = 0, тобто від’ємна, тому даний локальний екстремум - це локальний максимум.

4) Знайдемо інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину:

друга похідна додатна в інтервалах (-∞; - 3), (+3; +∞), тому в них функція випукла вниз;

друга похідна від’ємна в інтервалі (-3; +3), тому в ньому функція випукла вгору;

відповідно, точки x = - 3 и x = +3 - точки перегину

5) Знайдемо асимптоти графіка функції:

при х→-∞ і х→+∞ функція прямує до нуля, тому пряма y = 0 - горизонтальна асимптота;

точки x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль, визначає дві вертикальні асимптоти.

6) Побудуємо графік функції:

 

Відповідь.1) х є (-∞; - 3) U (-3; +3) U (+3; +∞), у є (-∞; 0) U (0; +∞);

2) точки розриву x = - 3 и x = +3;

функція перетинає вісь в т. (0; - );

3) функція при x <0 зростає,

функція при x > 0 спадає,

функція при x = 0 досягає локального екстремуму;

у=- при x = 0 - локальний максимум;

4) в інтервалах (-∞; - 3), (+3; +∞) функція випукла вниз;

в інтервалі (-3; +3) функція випукла вгору;

точки x = - 3 и x = +3 - точки перегину;

5) y = 0 - горизонтальна асимптота;

x = - 3 и x = +3 - вертикальні асимптоти.

 

Завдання 6

Знайти невизначені інтеграли:

а) , б) .

Розв’язання.

а) Здійснимо заміну змінних y = cos x - 4, dy = - sin x dx:

;

б) Скористаємося формулою інтегрування за частинами:

=

=-

Відповідь. ; .

 

Завдання 7

Знайти частинні похідні за обома змінними функції двох змінних:

 

z (x,y) =x ln y + y

Розв’язання.

Скористаємося формулою диференціювання і складної функції:

,

Відповідь. ; .