Теорема косинусов

3. теорема косинусов

.  .

 

Следствие. Если , то  (теорема Пифагора).

4. Обобщенная теорема Пифагора. Если функции (k = = 1, 2, …, n) попарно ортогональны на промежутке , то

.

Используя свойство билинейности скалярного произведения, получим

.

В силу ортогональности функций  скалярные произведения  при , поэтому

.

5. неравенство Коши – Буняковского , или, что то же самое,

.

При любых вещественных  

.

Таким образом, квадратный трехчлен в левой части последнего неравенства сохраняет знак на всей вещественной оси, следовательно, его дискриминант .

Упражнение 1. Доказать свойства скалярного произведения функций 1-3.

Упражнение 2. Показать справедливость следующих утверждений:

а) функция  ортогональна функциям  и  на промежутке  при любых целых k и m;

б) при любых целых k и m функции  и ортогональны на промежутке ;

в) функции  и , а также  и  при  ортогональны на промежутках  и ;

г) функции  и  не ортогональны на промежутке .

Упражнение 3. Используя свойство нормы 5, доказать неравенство треугольника

.

§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье

Счетное множество непрерывных на промежутке  функций  образуют на этом промежутке ортогональную систему, если

1. , 2.  при .

Пусть  – ортогональная система функций на промежутке  и . По аналогии с (1.2) образуем величины

, (3.1)

где .

Числа  называются коэффициентами Фурье функции  относительно ортогональной системы .

Ряд

 (3.2)

называется рядом Фурье для функции .

В отличие от того, что имеет место в векторной алгебре [см. (1.1)], здесь нельзя утверждать ни того, что суммой ряда Фурье (3.2) является заданная функция , ни даже того, что ряд (3.2) вообще сходится. Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемые полиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции  линейными комбинациями функций .

Термином аппроксимация будем обозначать замену заданной функции  другой, близкой к , функцией , более простой или более удобной для исследования. При этом, естественно, возникает вопрос о величине погрешности, связанной с такой заменой. Погрешность аппроксимации обычно оценивается с помощью среднего квадратического отклонения

,

или более простой величины

.

Ясно, что чем меньше величина δ, тем ближе располагаются друг к другу графики функций  и , тем лучше функция  аппроксимирует функцию .

Определим, при каком наборе коэффициентов  линейная комбинация

первых п функций ортогональной системы  наилучшим образом аппроксимирует функцию , или, иначе говоря, при каких  величина  принимает наименьшее значение.

Преобразуем выражение для d_п, используя последовательно теорему косинусов, свойство билинейности скалярного произведения, обобщенную теорему Пифагора и формулу (3.1) для коэффициентов Фурье:

.

Применив тождество , получим

Из последнего выражения сразу следует, что  принимает наименьшее значение

, (3.3)

при

Таким образом, именно частичная сумма ряда Фурье является наилучшей аппроксимацией функции  по сравнению с другими линейными комбинациями функций  

Упражнение. Показать, что, во-первых, система функций  ортогональна на промежутке , и, во-вторых, системы функций   и  ортогональны на промежутке .

Указание. Воспользоваться свойствами скалярного произведения функций.

§ 4. Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля

Из формулы (3.3) с учетом того, что величина  по определению не отрицательна, следует

. (4.1)

Левая часть неравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числового ряда

. (4.2)

Положительный ряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно, сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при , получим неравенство Бесселя

. (4.3)

Возвращаясь к формуле (3.3), заметим, что с увеличением п величина  уменьшается, оставаясь неотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательная последовательность  сходится. из (3.3) получим ее предел

. (4.4)

Если , где  – частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции . В этом случае из (4.4) следует

 (4.5)

Соотношение (4.5) называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модуля вектора.

Замечание. Из сходимости ряда в среднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова.

Если равенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества , или, что то же самое, для любой функции из  ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная система  называется замкнутой, а соотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например, являются системы функций из упражнения в § 3. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящего пособия.

Свойства замкнутых систем следующие:

1. Если непрерывная функция  ортогональна всем функциям замкнутой системы, то она тождественно равна нулю. Действительно, в этом случае все коэффициенты Фурье равны нулю. Из (4.5) следует, что , и тогда (см. § 2, свойство нормы 2)

Таким образом, к замкнутой системе функций нельзя присоединить никакой новой функции, отличной от тождественного нуля, которая была бы ортогональна ко всем . Это свойство замкнутой системы функций называют ее полнотой.

Следствие. Если две непрерывные функции  и  имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они тождественно совпадают. Доказательство этого утверждения следует найти самостоятельно.

2. Пусть  и  – коэффициенты Фурье функций  и  относительно замкнутой ортогональной системы . Тогда

 (4.6)

где, как и ранее,  

Соотношение (4.6) называется обобщенным равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.3) для скалярного произведения векторов.

Так как для функций  коэффициенты Фурье, очевидно, равны , в силу замкнутости системы из (4.5) следует

Вычитая почленно эти равенства и используя тождества

получим равенство (4.6).

3. Если  – замкнутая ортогональная система функций, то

, (4.7)

т.е. интеграл от функции  можно получить почленным интегрированием ее ряда Фурье. Для доказательства достаточно применить формулу (4.6) к функциям  и

и учесть, что в этом случае . Тогда

Отметим, что справедливость формулы (4.7) установлена даже без предположения о сходимости ряда Фурье.

Упражнение. Доказать, что если ряд Фурье сходится равномерно на промежутке [а, b] к функции , то он сходится в среднем к этой функции.

§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [–L, L]

Система функций

 (5.1)

ортогональна на промежутке [–L, L] (см. упражнение в § 3).

Показать, что  следует самостоятельно.

Каждой функции , кусочно-непрерывной на промежутке [–L, L], сопоставим ее ряд Фурье:

. (5.2)

Коэффициенты Фурье , в соответствии с (3.1), определятся формулами

 (5.3)

Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.

Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции  ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид

. (5.4)

Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции  на промежутке [–L, L].

Частичные суммы

тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции  ее тригонометрическим полиномом Фурье,

. (5.5)

§ 6. Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле

Функция  называется кусочно-монотонной на промежутке , если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.

Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке , то говорят, что на этом промежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема.

Теорема Дирихле. Если функция  удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L], то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точках промежутка сумма ряда Фурье , если в точке х функция непрерывна; в точках разрыва ; на концах промежутка , где  – односторонние пределы в точке а.

Если доопределить (или переопределить) функцию , полагая  в точках разрыва и f(–L) = = на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле

, (6.1)

где коэффициенты  по-прежнему определяются формулами (5.3).

Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции  в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1)

 (6.2)

называются гармониками. Введем в рассмотрение величины  и , связанные с коэффициентами Фурье  и  соотношениями  и . Тогда гармоника (6.2) запишется в виде , где  – амплитуда гармоники;  – ее частота;  – начальная фаза. Множество частот  образует дискретный частотный спектр функции  на промежутке [–L, L]. Формула (6.1) примет вид

, (6.3)

т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.

Из равенства Парсеваля (5.4) следует

, (6.4)

где .

Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции  на промежутке [–L, L]. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.

В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [–L, L] следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2L-периодическая функция , которая на промежутке [–L, L] совпадает с заданной функцией . Функция , определенная указанным образом, называется периодическим продолжением.

Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция  удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L], то тригонометрический ряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.

Замечание. Если функция , заданная для всех , является 2L-периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию  на всей числовой оси. В этом случае можно

получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:

, (6.5)

где с – любое число.

Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция  имеет период Т, то интеграл  не зависит от а. Действительно,

Выполнив в среднем интеграле замену переменной  и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим

Последний интеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.

Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах , убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).

Если функция  не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции  должно входить ее периодическое продолжение .

Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2L, т.е.  .

§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций

Функция , область определения  которой симметрична относительно начала координат, называется четной (нечетной), если . Тогда  или []. Так, например, функции  и  нечетны, а  и  четны. Легко видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Предлагаем доказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла:

а) если функция  четна, то

; (7.1)

б) если функция  нечетна, то

. (7.2)

 

Указание. Представить интеграл  в виде суммы интегралов:  и в первом из них выполнить замену .

Пусть четная функция  удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L]. Произведение  будет нечетной функцией, и, поэтому, в силу (7.2)

.

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:

. (7.3)

Так как  – четная функция, то вследствие (7.1)

 . (7.4)

Подобным же образом получим, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:

 (7.5)

где

. (7.6)

§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L]

Пусть функция удовлетворяет на промежутке [0, L] условиям Дирихле. Построим четное продолжение данной функции на промежуток [–L, 0], полагая  для . Полученную четную функцию разложим в тригонометрический ряд Фурье (7.3), содержащий только косинусы:

. (8.1)

Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (7.4), в которые входят только значения первоначально заданной функции:

. (8.2)

Аналогично, если функцию  продолжить на промежуток [–L, 0] нечетным образом, полагая  для , и разложить полученную функцию в ряд Фурье на промежутке [–L, L], то в этом разложении будут содержаться только синусы:

 (8.3)

где

. (8.4)

На промежутке [0, L] ряды (8.1) и (8.3) представляют одну и ту же функцию , но вне этого промежутка эти ряды ведут себя по-разному. Так на промежутке [–L, 0] ряд (8.1) сходится к четному, а ряд (8.3) к нечетному продолжению функции .

Функции

; (8.5)

, (8.6)

участвующие в разложениях (8.1) и (8.3), образуют ортогональные системы на промежутке [0, L]. Кроме того, как нетрудно проверить, . Поэтому величины  и , определяемые формулами (8.2) и (8.4), представляют собой коэффициенты Фурье функции  относительно ортогональных систем (8.5) и (8.6) соответственно, и, следовательно, ряды (8.1) и (8.3) являются рядами Фурье на промежутке [0, L] для этой функции.

Замечание. Если функцию , заданную на [0, L], продолжить произвольным образом на промежуток [0, L], например, просто положив  для , то ее разложение в тригонометрический ряд будет содержать и синусы, и косинусы:

. (8.7)

На промежутке [0, L] этот ряд будет представлять заданную функцию, но, в отличие от рядов (8.1) и (8.3), ряд (8.7), вообще говоря, не является рядом Фурье для функции  на указанном промежутке, так как система функций

,

участвующая в разложении (8.7), не ортогональна на [0, L] (см § 2, упражнение 2, д).

§ 9. Ряды Фурье для комплексных функций

Рассмотрим элементы теории рядов Фурье для комплексных функций, т.е. функций вида , где i – мнимая единица,  – вещественные функции вещественного аргумента. Обозначим символом  множество комплексных кусочно-непрерывных функций, определенных на промежутке .

Скалярным произведением функций  назовем комплексное число

,

где  – функция, комплексно сопряженная с функцией .свойства скалярного произведения комплексных функций следующие:

1.